用空间向量研究距离、夹角问题教学课件

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题⑵

敌材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主

要学习运用空间向量解决计算空间角问题。

在向量坐标化的基础上，将空间中线线角、线面角及二面角问题，首先转化为向量语言，进而运用向

量的

教学过程教学设计意图坐标

表示，

核心素养目标

从而

实现运用空间向量解决空间角问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提

供了更广阔的空间。

教学目标与被心需兼

课程目标学科素养

A.理解两异面直线所成角与它们的方向向1.数学抽象：向量语言表述空间角

量之间的关系，会用向量方法求两异面2.逻辑推理：运用向量运算求解空间角的原理；

直线所成角.3.数学运算：空间向量的坐标运算解决空间角问题.

B.理解直线与平面所成角与直线方向向量

和平面法向量夹角之间的关系，会用向量

方法求直线与平面所成角.

C.理解二面角大小与两个面法向量夹角之

间的关系，会用向量方法求二面角的大小.

教学重难息

1.教学重点：理解运用向量方法求空间角的原理

2.教学难点：掌握运用空间向量求空间角的方法

课前发备

多媒体

敢学过程

一、情境导学

地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面

交角（二面角的平面角）为23。26.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.

黄道及其附近的南北宽9。以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星

在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十通过生活中的

地轴现实情况，帮助学生

二宫”.从春分（节气）

春分日（3月21日前后）回顾空间角的概念，

M夏至日

点起，每30。便是一D（6月22日前后）并提出运用向量解

,冬至日

宫,并冠以星座名，如公转方向.（12月22日前后空间角的问题，引导

秋分日（9月23日箱后）

0匕极星

学生回顾空间中线

白羊座、狮子座、双《北极\

8634'

线、线面、面面的平

子座等等，这便是星

行问题的解法方法，

（黄道平面）

座的由来.进一步体会空间几

南极

何问题代数化的基

问题：空间角包括哪些角？求解空间角常用的方法有哪些?

答案：线线角、线面角、二面角；传统方法和向量法.本思想

二、探究新知

L利用向量方法求两异面直线所成角

若两异面直线也所成角为仇它们的方向向量分别为a,b,则有

cos9^|cos<a,b>I.

\a\\b\

特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起

来，因为两异面直线所成角的范围是（0,*而两个向量夹角的范围是

[0两,事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补

的关系.

1.若异面直线/,/的方向向量分别是2=（0,-2,-1）力=（2,0,4）,则异面直线

12

4与72的夹角的余弦值等于（）

解析因为a-b=-4,|a|=V^,|b|=2V^,所以cos6(=|cos<a,b>|=|^|=

舄上答案：B

2.利用向量方法求直线与平面所成角

若直线1与平面«所成的角为。，直线/的方向向量为a,平面a的

法向量为n,则有sin8=|cos<a,n>|=^

特别提醒直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐

角的余角.

2.若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,则直线1与

平面a所成的角等于（）

A.1200B.60°C.150°D.30°

解析：因为直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,所

以它们所在直线的夹角为60。,则直线1与平面a所成的角等于

90。-60。=30。.答案：D

3.利用向量方法求二面角由基本问题出

（1）若二面角a-1-P的平面角的大小为仇其两个面a,13的法向量分别为

发，让学生掌握运用

n,n,贝IJ|cos6|—|cos<n,n>|=1zl

1212|ni||n2|空间向量解决空间

（2）二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角角问题的基本原理，

a-1-p的两个半平面a,p内，各取一条与棱/垂直的直线,则当直线的方实现将立体几何问

向向量的起点在棱上时,两个方向向量的夹角即为二面角的大小.题向量化。发展学生

特别提醒：由于二面角的取值范围是［0㈤,而两个面的法向量的逻辑推理，数学抽象

方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个和数学运算的核心

面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，素养。

从而求得其大小.

3.二面角a-1-p中，平面a的一个法向量为m=（今-1甸，平面6的一

个法向量是112=（0,|,加）,那么二面角a-1-P的大小等于（）

A.120°B.1500C.30°或150°D.60。或120°

解析：设所求二面角的大小为。，贝"cos。|=臀含=¥，所以8=30。或

1九加212

150。.答案：C

例1.如图所示，在三棱柱ABC-ABC中A4J_底面

1111

ABC,AB=BC=AA，乙48C=90。,点&F分别是棱的中点，试求直

11

线所和3C所成的角.

1

B

思路分析:建立空间直角坐标系，求出直线E尸和的方向向量的坐

标,求它们的夹角即得直线所和所成的角.

1

解:分别以直线BA,BC,BB］为x9y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).

B

设AB=\,贝IJB(O,O,O),EQ,0,0),F(0,0,0,Ci(0,l,l),所以加=

(彳。)8。1=(。，1，1).于是cosvBQ,七F>=黑篇=’后?=也所以

直线EF和BCi所成角的大小为60°.

1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.

(1)建立适当的空间直角坐标系.

(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.

(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.

(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.

2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.

(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应

的方向向量的夹角可能为钝角.

⑵范围:异面直线所成角的范围是(0,引,故两直线方向向量夹角的余

弦值为负时，应取其绝对值.

跟踪训练1如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中,A4=24民则异面直

11111

线A8与所成角的余弦值为

1।--------------

解析：以。为坐标原点,QAQCQq所在直线为X轴,y轴,Z轴建立空

间直角坐标系。孙z,设43=1.则

5(1,1,0)41(1,0,2)4(1,0,0),01(0,0,2),^=(0,1,-2),而=(-1,0,2),

cos＜砧，屈＞=项.=熹=-3，故异面直线A1B与AD1所成角

硒瓯I

的余弦值为：答案W

例2.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PAL底面4802。〃

通过典型例题

BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC

的分析和解决，让学

的中点.

⑴证明〃平面PAB;生感受空间向量坐

(2)求直线AN与平面所成角的正弦值.标运算在解决立体

几何问题的应用。发

展学生数学抽象、逻

辑推理的核心素养。

BC

思路分析：(1)线面平行的判定定理平面PAB.

⑵利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角今直线AN与

平面RWN所成角的正弦值.

⑴证明:由已知得AM=/D=2.如图，取3尸的中点T,连接AT,7W,

由N为PC的中点知TN//BC,TN^BC=2.

又A£)〃BC,故TN//AM且TN=AM,

所以四边形AMNT为平行四边形，

于是MN//AT.

因为ATu平面平面PAB,

所以MN〃平面PAB.

⑵解:如图，取BC的中点瓦连接AE.由AB=AC得从而AEL

AD,且AE=ylAB2-BE2=JAB2-(Y)2=V5.

以A为坐标原点，荏的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐

标系A-xyz.由题意知尸(0,0,4),M(0,2,0),C(%,2,0),N(孚,1,2),

丽=(0,2,-4),丽=(字1,-2)前=律,1,2).

设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量很叱“上=

\n-PN=0,

'2y-4z=0,__

即卜.C可取n=(0,2,l).于是|cos<n,而>1=%!；=8V5

—x+y-2z=0,回MM"25~,

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为誓.

若直线I与平面a的夹角为。，利用法向量计算Q的步骤如下:

跟踪训练2在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E为CC的中点,

11111

则直线AB与平面BDE所成的角为()

1

A.-B.-C.-D.-7t

6326

解析:以D为原点建立空间直角坐标系，可求得平面BDE的法向量

n=(l,-l,2),而瓦彳=(0,-1,1),所以cos6=亲=泉则6=30°,故直线AiB

与平面BDE成60。角.

答案：B

例3.如图，在正方体ABERDCE尸中,MN分别为AC,BF的中点，求平

面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.

思路分析:有两种思路，一是先根据二面角平面角的定义，在图形中作

出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角

通过典例解析，进一

的大小;另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得二

面角的大小.步让学生体会空间

解:设正方体棱长为L以2为坐标原点，胡乃邑BC所在直线分别为x向量坐标运算在解

轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,^\

决立体几何中的应

M(|,0,|),朋,1,0)4(l,0,0),B(0,0,0).

用，提升推理论证能

（方法1）取MN的中点G,连接BG4G,则G（|,i,J.力，提高学生的数学

因为为等腰三角形，所以AG±MN,BG±MN,运算及逻辑推理的

故/AGB为二面角的平面角或其补角.

核心素养。

^_GA'GB_

又因为懑=©,［，1）,方所以cos<G4GB

Z44/~\GA\\GB\~

故所求两平面所成锐二面角的余弦值为:

（方法2）设平面AMN的法向量m={x,y,z）.

由于前=(-|,o,|),x]v=(-|,|,0),

则.竺=0,即0,令尸1,解得y=l,z=l,于是

(.n^AN=0,^--x+-y=0,

ni=(l,l,l).

同理可求得平面BMN的—Is法向量112=(1,-1,-1),

ULI、I7li'Tlo-11

所以cos<m,n2>=两两=反而=々

故所求两平面所成锐二面角的余弦值为

利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个

面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种

方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，

不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.

跟踪训练3如图，在直三棱柱ABC-AQq中A4J=BC=AB=2AB_LBC,

求二面角B-AC-C的大小.

解：如图,建立空间直角坐标系.则

A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),8(0,0,2),C(0,2,2),

111

即BM=(l,l,0)是平面AiCiC的一个法向量.

设平面AiBiC的一个法向量是"=(尤,y,z),不？=(-2,2,-2),石瓦=(-2,0,0),

所以n-?l1B1=-2x=0,n-41C=-2x+2y-2z=0,

令z=l,解得x=0,y=l,故n=(0,l,l).

设法向量n与前的夹角为外

二面角Bi-AiC-Ci的大小为。，显然9为锐角.

因为cos6*=|cos夕尸嘴=/解得吟，

所以二面角Bi-AiC-Ci的大小为热

金题典例如图,四棱柱ABCD-ABCD的所有棱长都相

iiii

等2cnB£)=(Mcnso=0,

11111

四边形ACCA和四边形均为矩形.

1111

⑴证明：。］。,底面ABCD

⑵若/CBA=60。,求二面角C-OB-D的余弦值.

(1)证明因为四边形ACqA1和四边形BDD巴均为矩形，

所以CCLAC,DD_LB。,又CC//DD〃。。，所以00VAC,00±

1111111

BD,因为ACnBO=。,所以001.底面4BCD

।

(2)解：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABC。为菱形，

AC_L2D又Oy_L底面ABCD,所以0B,0C,00、两两垂直.

如图，以。为原点,。民。(7,。0］所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角

坐标系.

设棱长为2,因为/C8A=60。,所以0B的0C=\,

所以0(0,0,0)11(遮,0,2),G(0,l,2),

平面BDD\B\的一个法向量为n=(0,1,0),

设平面OCiB\的法向量为m=(无,y,z),则由111_1函>,1]1_1沆；,所以

。'取z=-百厕x=2,y=2g,所以m=(2,2V3,-V3),

所以|cos<m,n>|=|线|=第=誓・

由图形可知二面角Ci-OBi-D的大小为锐角，

所以二面角Cr-OBi-D的余弦值为誓.

延伸探究1本例条件不变，求二面角B-A]C-D的余弦值.

解:建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2,

则4(0,-1,2),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(-V3,0,0).

所以丽=(-8,1,0),中=(0,2,-2),CD=(-V3,-l,0).

设平面A\BC的法向量为ni=(xi,yi,zi),

即｛鬻;3，取

则xi=V3,则yi二zi=3,故

111=(遍,3,3).设平面4。£>的法向量为n2=(x2j2,Z2),

则［*'C^y2~^z2=°,

t-V3x2-y2=°,

取X2=V5,则y2=Z2=-3,故112=(百,-3,-3).所以|cos<m,n2>|=|已需|=

由图形可知二面角B-AiC-D的大小为钝角，所以二面角B-AiC-D的余

弦值为

延伸探究2本例四棱柱中,/CBA=60。改为/CBA=90。,设E,F分别

是棱BC,C。的中点，

求平面ABE与平面ADF所成锐二面角的余弦值.

11

解:以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长

为1,则A(0,0,0),Bi(l,0,l),£(1,1,0),£)i(0,l,1,0),AF=(1,i,0

设平面ABiE的法向量为ni=(xi,yi,zi),

则小丝i=0,I。令刀=2,则xi=-l,zi=l,

[n^AE=0,(%i+*=0，

所以ni=(-l,2,l).

设平面AD\F的法向量为112=(冗2)2/2).

n2,丽*=0,丫2+Z2=°，

几2,标=0+丫2=0.

令上二2,则>2=-1/2=1.所以02=(2,-1,1).

所以平面ABiE与平面AD.F所成锐二面角的余弦值为

Ini-nol31

cos<ni,n2>=；~--=-p-7==

\n^n2\V6xV62

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤

(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标；

(2)求出两个半平面的法向量n,n;

12

(3)设二面角的平面角为4则|cos6)|=|cos<n],n^>|;

(4)根据图形判断0为钝角还是锐角，从而求出仇或其三角函数值).

三、达标检测

L平面«的斜线I与它在这个平面上射影/'的方向向量分别为

通过练习巩固本

a=(lQl),b=(0,1,1),则斜线I与平面a所成的角为()

节所学知识，通过学

A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：/与«所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，因为生解决问题，发展学

cos<a,b>=黑;=所以<a,b>=60。.答案：C生的数学运算、逻辑

回网2

2.已知向量m,n分别是直线I和平面a的方向向量和法向量，若推理、数学建模的核

cos<m,n>=-之,则/与a所成的角为()心素养。

A.30°B.60°C.120°D.1500

解析：由已知得直线/和平面a法向量所夹锐角为60。,因此/与a所

成的角为30。.答案：A

3.在正方体ABCD-ABCD中,M、N分别为棱BC和棱CC的中点,

11111

则异面直线AC和MN所成的角为()

A.3O0B.45°C.90°D.60°

解析以D为原点，分别以ZMQCQR所在直线为x轴,y轴,z轴建立空

间直角坐标系，设正方体ABCD-ABCD中棱长为2,

1111

：加、N分别为棱3c和棱CC的中点，

1

ZM(l,2,0),M0,2,l)4(2,0,0),C(0,2,0),

丽=(-1,0』)"(-220),

设异面直线AC和MN所成的角为仇.cos=-=3

则又。是锐角,•：6=60。

•:异面直线AC和所成的角为60。,故选D.

答案D

4.在三棱锥P-ABC中