备战2024年高考数学一轮复习3.5幂函数与一元二次函数(精讲)(原卷版+解析)

3.5幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一幂函数及性质【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．2【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（

）A．函数是偶函数 B．函数是增函数C．当时， D．当时，2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．考点二一元二次函数【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（

）A． B． C． D．【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或22．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________考点三一元二次函数与其他知识综合【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数有最大值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．考点四图像问题【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是（

）A．B．C．D．4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数在R上的图象大致为（

）A． B．C． D．3.5幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一幂函数及性质【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6【答案】B【解析】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴，且为偶数或当时，满足条件；当时，，舍去因此：m＝1故选：B【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】A【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，解得，又，所以或，当时，定义域为，且，所以是偶函数，满足题意；当时，定义域为，而，所以是奇函数，不满足题意，舍去；综上，.故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（

）A．函数是偶函数 B．函数是增函数C．当时， D．当时，【答案】BCD【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，则，所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；又，所以是增函数，故B正确；因此当时，，故C正确；当时，因为，，则，所以，故D正确.故选：BCD.2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【解析】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.易见，故函数是单调递增的奇函数.由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.综上可知，，且或或.故选：BC.3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．【答案】【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，又，即，的图像关于轴对称，即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，则实数a的值_____．【答案】1【解析】因为函数为幂函数，所以或.当时，为偶函数，不符合题意，所以舍去；当时，为奇函数，符合题意.故答案为：1考点二一元二次函数【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的图象如图所示，因为当或时，；当时，，因为函数的定义域为，所以．故选：C．【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知，则函数在上是增函数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设对称轴为，而，函数开口向上，所以的增区间为，故在上是增函数有，综上，对应可行域如下阴影部分：所以阴影部分面积为，而的面积为1，故在上是增函数的概率为.故选：D【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BC【解析】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，结合a是正整数，所以BC正确.故选：BC.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D【解析】由，，成等差数列，可得，所以，所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为，故选：B3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得故实数a的取值范围是故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________【答案】【解析】由题意，不等式且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.故答案为：.考点三一元二次函数与其他知识综合【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，因为二次函数的值域为，则，且，所以，，可得，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【一隅三反】1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数有最大值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，要使函数有最大值，则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，可知0＜a＜1．要使内层函数要有最小正值，则，解得．综合得a的取值范围为．故选：B.2．（2022·黑龙江）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．3．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的值域为，可得真数部分取到所有的正数，即函数取到所有的正数，所以是函数的值域的子集，所以解得：或，所以实数的取值范围是：.故选：A.考点四图像问题【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；当时，指数函数递增，，B不符合题意．故选：C．【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；当时，可得，则，当时，，单调递减；排除A选项当时，，单调递增，所以排除D选项，选项C符合.故选：C.【一隅三反】1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得和是方程的两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，函数，因为，令，可得，即函数图象过点，又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，令，可得，可排除B、C项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增