高中数学：平面与平面垂直的性质

高中数学：平面与平面垂直的性质

目录

1.【教材要点】要点平面与平面垂直的性质....................................1

2.【基础自测】................................................................1

3.题型讲解....................................................................2

4.【方放归他】...............................................................2

5.【方眩按佃】...............................................................3

6.易错警示...................................................................4

7.【课堂十分钟】.............................................................4

8.答案........................................................................5

8.1.［基础自测］...............................................................5

8.2.题型探究•课堂解透........................................................6

8.3.［课堂十分钟］............................................................7

1.【教材要点】要点平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，如果_____有一直线垂直于这两个平面的

文字语言

____,那么这条直线与另一个平面____

川]

符号语言

图形语言

作用①面面垂直=_____垂直；②作面的垂线

状元随笔对面面垂直的性质定理的理解

1.定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.

2.已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.

2.【基础自测】

1.思考辨析（正确的打“，错误的打“义”）

（1）两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一

个平面内.（）

（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（）

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(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平

面.()

(4)若直线平面a,直线a_L直线则直线平面a.()

2.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线。垂直于第二个平面

内的一条直线从那么()

A.直线。垂直于第二个平面

B.直线人垂直于第一个平面

C.直线。不一定垂直于第二个平面

D.过。的平面必垂直于过8的平面

3.平面0_1_平面“，anB=/,8,nA-l,直线机_La,则直线相与〃的

位置关系是.

3.题型讲解

题型1平面与平面垂直的性质定理的应用

例1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是

ND4B=60。且边长为。的菱形.侧面玄。为正三角形，其所在平面垂直于底面

ABCD若G为AD边的中点，求证：8GL平面%D

变式探究在本例中，若求证又该如何证明？

4.【方法爆的】

应用面面垂直证明线面垂直时，应注意以下几点：

(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利

用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利

用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面

垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.

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(2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，注意寻找线

面平行、垂直所需的条件，善于运用转化思想解决.

题型2垂直关系的综合应用

例2如图，AABC和△BCD所在平面互相垂直，且

=ZDBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.

⑴求证：平面BCG；

(2)求三棱锥D-BCG的体积.

变式探究1若本例中条件不变，证明：平面8CG_L平面ACD

变式探究2若本例中的条件NABC=NOBC=120。，改为/ABC=/DBC

=90°,即还垂直于平面BCG吗？

5.【方法归佃］

(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是

孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：

判定定理判定定理

暖面垂直定义性质定理

(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，

要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形

的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对

于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.

跟踪训练如图，C是以AB为直径的圆。上异于A,8的点，平面

平面ABC,E,尸分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为/.

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(1)求证：平面平面附C.

(2)求证：直线LLAC

易错辨析对平面与平面垂直的条件把握不准确致误

例3［多选题］已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有()

A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

C.经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直

D.过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

解析:如图所示，在正方体45CD-A出iGDi中，对于A,ADi<=平面AA1D1D,

BOu平面ABC。，ADi与80是异面直线，且夹角为60。，故A错误；B正确；

对于C,平面ABCD,4AU平面A\ABB\,所以平面4A8Bi_L平面ABCD,

C正确；对于D,过平面内的点5,作。C,因为AO_L平面OiDCG,

OiCu平面D\DCC\,所以但D\C不垂直于平面ABCD,故D错误.故

选BC.

答案：BC

6.易错警示

易错原因纠错心得

D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即"两

对平面与平面垂直的条件把握个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平

不准确，很容易认为D正确，导面垂直"与"两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线

致错选为BCD.的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点

作的直线不一定在平面内.

7.【课堂十分钟】

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1.已知平面a,§及直线a满足（1邛,ccDB=AB,a//a,aLAB,则（）

A.auBB.al.£

C.a〃BD.。与夕相交但不垂直

2.若平面a_L平面夕，平面夕，平面》则（）

A.allyB.a_Ly

C.a与y相交但不垂直D.以上都有可能

3.已知平面a,4和直线机，I,则下列命题中正确的是（）

A.若a_L尸，aAP=m,/±m,则I邛

B.若aCiB=m，/ca,ILn,则/_L4

C.若。，夕，lua,则/_L4

D.若a_L夕，aAB=m,/ca,则/_1_4

4.如图，空间四边形ABC。中，平面平面BCD,ZBAD=90°,且

AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.

5.如图，在平行四边形ABC。中，BD=25AB=2,AO=4,将△CB。

沿3。折起到△E3O的位置，使平面平面ABD求证：ABLDE.

8.答案

要点

一个平面内交线垂直auaa±l线面

8.1.［基础自测］

1.(1)V(2)X(3)V(4)X

2.解析：直线。与直线人均不一定垂直两面的交线.故选C.

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答案：c

3.解析：由题意知"_La,又因为〃?_La,所以机〃江

答案：平行

8.2.题型探究•课堂解透

例1证明：连接PG,BD,

'：四边形ABCD是菱形且ND4B=60。，

，△A3。是正三角形.

YG为中点，

：.BG±AD.

又平面平面ABCD,

且平面外。A平面ABCD=AD,BGu平面ABCD,

，36_1_平面PAD.

变式探究证明：由例题可知BGLA。，

•.•△孙。为正三角形，G为AO的中点，：.PG±AD.

又；PGnBG=G,.'.A。，平面PBG,：.AD1PB.

例2解析：(1)证明：•:AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=\20°,

：.AAfiC^ADBC,，AC=OC；G为AO的中点，

：.CG±AD.

同理BG_LA。，VCGABG=G,...A。，平面BCG.

又〈E,尸分别是AC,CO的中点，/〃AO,

...EV，平面BCG.

(2)在平面ABC内，作AOLCB,交CB的延长线于。，如图所示.

△ABC和二BCD所在平面互相垂直，平面ABCA平面BCD=BC,且AOu

平面ABC,

，AO_L平面BCD.

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•.•G为AO的中点，，G到平面BCD的距离〃是A。长度的一半.

在△A03中，AO=ABsin600=V3,/./2=y.

在△3C0中，BF=BDcos60°=2X|=1,DF=BDsin60°=V3,

：.DC=2^3,故5ADC«=|BF-Z)C=1X1X2V3=V3.

，VD-BCG=VG-BCD=15ADCB-/Z=|xV3x-=~-

变式探究1证明：在例2中知EF±平面BCG,

又知ER=平面ACD,

二平面8CG,平面ACD

变式探究2解析：垂直，理由：由已知得△ABCgAOBC,因此AC=OC,

又因为G为A。的中点，贝||CG_LAD

同理，BGLAD,BGACG=G,因此A。，平面8CG.

由题知，E/为△D4C的中位线，所以EE〃AO,所以平面BCG.

跟踪训练证明：（1）因为AB是。。的直径，所以AB所对的圆周角NACB

=90°,所以ACLCB,

又因为平面出CJ_平面A6C,且平面如CC平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以平面B4C,又因为BCu平面PBC,所以平面P8C,平面%C.

（2）因为E,尸分别为PC,P8的中点，所以EF为△PCB的中位线，所以

EF//BC,又因为E网平面ACB,BCu平面ACB,所以石尸〃平面ABC,又因为

EFu平面AEF,且平面AEbn平面4BC=/,所以EF〃/,故l〃BC,由（1）知，

BC±AC,所以/LAC

8.3.［课堂十分钟］

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