高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)1.2子集、全集、补集(原卷版+解析)

1.2子集、全集、补集TOC\o"1-4"\h\z\u1.2集合的概念与表示 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1子集的概念及其性质 3知识点2真子集的概念与性质 4知识点3补集 6知识点4全集 7二、典型题型 8题型1集合关系的判断 10题型2集合之间的包含关系 12三、难点题型 14题型1补集与子集的综合应用 15四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1子集的概念及其性质：(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.例1已知集合，则A的子集共有（

）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个例2（多选题）已知集合，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．集合A的子集个数为例3写出下列集合的所有子集：；

；

．知识点2真子集的概念与性质：1．元素与集合的表示(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，则AC.例1设集合，则集合M的真子集个数为（

）A．16 B．15 C．8 D．7例2（多选题）已知集合，为自然数集，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．例3（1）写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；（2）填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？知识点3补集：(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：(4)补集的性质①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A.例1设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．例2（多选题）设是一个集合，下列关系成立的是（

）A．； B． C． D．例3把R看成全集，用区间形式写出下列各集合的补集：(1)；(2)；(3)．知识点4全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.例1如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知集合且，则中的元素是（

）A．0 B．2 C．1 D．-2例3已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．二．典型题型题型1集合关系的判断：解题技巧：判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系．例1若全集，则（

）A． B． C． D．例2（多选）下列选项中的两个集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，例3已知集合，，若，则实数的取值范围是__.题型2集合之间的包含关系解题技巧：1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．例1已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知集合，则的值可能为（

）A．0 B． C．1 D．2例3集合A=[1，6]，B={x|y=}，若AB，则实数a的范围是________________.三．难点题型题型1补集与子集的综合应用解题技巧：集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键例1设全集，，则的值为()A．2 B．8C．2或8 D．－2或8例2已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．例3已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．四．活学活用培优训练一、单选题1．已知集合，，则满足的集合C的个数为（）A．4 B．7 C．8 D．152．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（

）A． B．C． D．3．已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．同时满足：①，②，则的非空集合M有（

）A．6个 B．7个C．15个 D．16个二、多选题5．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．16．已知集合，，下列说法正确的是（

）A．不存在实数使得B．当时，C．当时，D．存在实数使得三、填空题7．若集合，且，则实数的取值集合为____．8．若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．四、解答题9．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.10．已知集合，，若，求实数的取值范围．11．已知集合，.（1）若⫋，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围.1.2子集、全集、补集TOC\o"1-4"\h\z\u1.2集合的概念与表示 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1子集的概念及其性质 3知识点2真子集的概念与性质 4知识点3补集 6知识点4全集 7二、典型题型 8题型1集合关系的判断 10题型2集合之间的包含关系 12三、难点题型 14题型1补集与子集的综合应用 15四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1子集的概念及其性质：(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.例1已知集合，则A的子集共有（

）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【答案】C【解析】【分析】根据题意先求得集合，再求子集的个数即可.【详解】由，得集合所以集合A的子集有个，故选：C例2（多选题）已知集合，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．集合A的子集个数为【答案】AC【解析】【分析】空集是任何集合的子集，可以判断选项A；是元素和集合之间的关系，可以判断B；交集取两个集合公共的部分，可以判断C；一个集合有个元素，它的子集有个，即可判断D.【详解】空集是任何集合的子集，故A正确.；，故B错误；为自然数集包含0，故C正确.；集合中有四个元素，其子集个数为个，故D错误.故选：AC.例3写出下列集合的所有子集：；

；

．【答案】，；，，，；，，，，，，，.【解析】【分析】根据所给集合列出相应子集即可.【详解】解：，.，，，.，，，，，，，.知识点2真子集的概念与性质：1．元素与集合的表示(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，则AC.例1设集合，则集合M的真子集个数为（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】D【解析】【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．【详解】由题意，因此其真子集个数为．故选：D．例2（多选题）已知集合，为自然数集，则下列表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】算出集合，从而可判断各项的正误.【详解】，故，故A正确且B正确，不是中的元素，故错误，故C错误.因为，故错误，故D错误.故选：AB．【点睛】本题集合的计算、元素与集合、集合与集合的关系判断，此类问题，根据定义判断即可，本题属于基础题．例3（1）写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；（2）填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？【答案】（1）答案见解析；（2）表格答案见解析，含n个元素的集合的所有子集的个数是，真子集的个数是-1，非空真子集的个数是-2【解析】【分析】（1）利用子集的概念，按照集合中不含任何元素､含有一个元素､含有两个元素､含有三个元素这四种情况分别写出子集.（2）由特殊到一般，归纳得出结果.【详解】（1）不含任何元素的子集为⌀；含有一个元素的子集为{0}，{1}，{2}；含有两个元素的子集为{0，1}，{0，2}，{1，2}；含有三个元素的子集为{0，1，2}.故集合{0，1，2}的所有子集为⌀，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}.其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集.（2）填表结果如下：集合集合的子集子集的个数1248由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是，真子集的个数是，非空真子集的个数是【点睛】本题考查集合的子集的求解，以及子集个数的计算，属简单题.知识点3补集：(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：(4)补集的性质①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A.例1设全集，集合M满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:例2（多选题）设是一个集合，下列关系成立的是（

）A．； B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系判断A,B,C即可，利用补集的性质判断D【详解】解：因为表示集合中有一个元素，所以，所以AB错误，C正确；因为是一个集合，所以，所以D正确，故选：CD例3把R看成全集，用区间形式写出下列各集合的补集：(1)；(2)；(3)．【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】利用补集的概念即得.(1)∵，∴；(2)∵，∴；(3)∵，∴.知识点4全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.例1如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的定义即可求解.【详解】由图示可知，阴影部分可表示为,∵,∴,故选：.例2（多选题）已知集合且，则中的元素是（

）A．0 B．2 C．1 D．-2【答案】AC【解析】【分析】解不等式有或且，即可得【详解】由集合且解得：或且故选：AC【点睛】本题考查了补集，解一元二次不等式求解集，再运用补集运算确定补集的元素例3已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；（2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；（3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可．(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．二．典型题型题型1集合关系的判断：解题技巧：判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系．例1若全集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据子集的定义，结合补集的定义逐一判断即可.【详解】∵全集，故A错误；∴，故，故选：B.例2（多选）下列选项中的两个集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】AC【解析】【分析】对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.【详解】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；对于B，，而，所以；故B错误；对于C，，，所以；故C正确；对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．故选：AC．例3已知集合，，若，则实数的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.【详解】解：，且，，解得，故的取值范围是.故答案为：.题型2集合之间的包含关系解题技巧：1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．例1已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.【详解】因为，所以，解得，或，解得，当时，，，，满足题意.当时，，不满足集合的互异性.当时，，，若，满足题意.当时，，，若，满足题意.故选：C.例2（多选题）已知集合，则的值可能为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】BD【解析】利用集合相等，分和两种情况求出即可得出答案.【详解】由得：当时，，此时；当时，，当时，，所以，此时；故选：BD.【点睛】本题主要考查了利用集合相等求参数的值，考查了分类讨论的思想，属于较易题.例3集合A=[1，6]，B={x|y=}，若AB，则实数a的范围是________________.【答案】【解析】【分析】先求出集合B，再由AB，可求出实数a的范围【详解】由，得，所以，因为A=[1，6]，且AB，所以，所以实数a的范围是，故答案为：三．难点题型题型1补集与子集的综合应用解题技巧：集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键例1设全集，，则的值为()A．2 B．8C．2或8 D．－2或8【答案】C【解析】【分析】根据补集的性质

A∪（CUA）=U，再根据集合相等的概念列方程，从而可得结论．【详解】全集，，则，故选C【点睛】本题的考点是集合关系中的参数取值问题，主要考查集合的基本运算，补集的性质，集合相等的概念例2已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．【答案】或【解析】【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或例3已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．[思路点拨]首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．[解]若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2.此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁UB，如图，则a＋1>5，所以a>4，所以实数a的取值范围为a<2或a>4.四．活学活用培优训练一、单选题1．已知集合，，则满足的集合C的个数为（）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【解析】【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知，,所以满足的集合有，故集合C的个数为7个.故选：B2．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：

；

；

；

；

；

3；

；

；

4.

；

；

；

；

1；

2；从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为.故选:A.3．已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解【详解】因为集合且，若，则中也包含四个元素，即，剩下的，对于①：由得，故①正确；对于②：由得，故②正确；对于③：由得，故③正确；故选：D4．同时满足：①，②，则的非空集合M有（

）A．6个 B．7个C．15个 D．16个【答案】B【解析】【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.【详解】时，；时，；时，；时，；，，∴非空集合M为，，，，，，，共7个．故选：B二、多选题5．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.6．已知集合，，下列说法正确的是（

）A．不存在实数使得B．当时，C．当时，D．存在实数使得【答案】AD【解析】【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，