高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章幂函数、指数函数、对数函数章末小结(原卷版+解析)

第6章幂函数、指数函数、对数函数章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1函数的图象与性质 3题型2比较大小 6题型3分类讨论思想 8一．典型例题题型1函数的图象与性质反思领悟：1．识别函数的图象从以下几个方面入手(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.例1（多选题）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为减函数C．若，则D．若，则例2直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是________例3对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为．(1)试将表示成的函数；(2)函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．题型2比较大小反思领悟：1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．例1（多选题）下列大小关系正确的有（

）A． B．C． D．例2设函数，且，则在关系式：①；②；③；④中，一定成立的是______（填序号）．例3设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.题型3分类讨论思想反思领悟：1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．例1若logaeq\f(3,4)<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围．例2已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．二．活学活用培优训练一、单选题1．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（

）．A． B．0 C．1 D．22．若实数a，b满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．3．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（

）①②；③A．0 B．1 C．2 D．35．已知，，，则m、n、p的大小关系为（

）A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p6．已知函数是偶函数，则（

）A．0 B．1 C．-1 D．二、多选题7．已知都是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C． D．8．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（

）A． B．C． D．9．已知函数是R上的单调函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空题10．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．11．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是______.12．已知函数，则满足的x的取值范围是________．四、解答题13．已知函数.(1)若是幂函数，求实数，，的值；(2)如果，，且在区间上单调递减，求的最大值.14．设函数是定义域的奇函数．(1)求值；(2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围；(3)若，且在上最小值为，求的值．15．已知定义在R上的函数满足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．第6章幂函数、指数函数、对数函数章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1函数的图象与性质 3题型2比较大小 6题型3分类讨论思想 8一．典型例题题型1函数的图象与性质反思领悟：1．识别函数的图象从以下几个方面入手(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.例1（多选题）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为减函数C．若，则D．若，则【答案】AC【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解.【详解】设幂函数为实数，∵其图像经过点，∴，解得，∴，其定义域为，且在上为增函数，A正确；时，，选项C正确；∵函数是上凸函数，∴对定义域内任意的，都有成立，选项D错误.故选：AC.例2直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是________【答案】【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围．【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，，而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意；时，作出函数的图象，如图，此时在时，，因此与函数的图象有两个交点，则，解得．综上所述，．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，掌握指数函数的性质与解题关键，解题方法是作出函数图象，由图象观察直线与函数图象交点个数，形象直观，易于得出结论．例3对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为．(1)试将表示成的函数；(2)函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，请根据你学习到的函数知识直接写出该函数的性质，不必证明．并尝试在所给坐标系中画出函数的图象．【答案】(1)，（，）(2)答案见解析【分析】（1）结合对数运算的知识求得.（2）根据的解析式写出的性质，并画出图象.(1)依题意因为，，两边取以为底的对数得，所以将y表示为x的函数，则，（，），即，（，）；(2)函数性质：函数的定义域为，函数的值域，函数是非奇非偶函数，函数的在上单调递减，在上单调递减．函数的图象：题型2比较大小反思领悟：1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．例1（多选题）下列大小关系正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据时，，可判断AB，由的单调性可判断C，利用的单调性可判断D，进而可得正确选项.【详解】当时，，所以，，故选项A错误，选项B正确，因为为减函数，，故成立，故选项C正确，对于D，因为在上单调递增，，所以，故选项D正确故选：BCD.例2设函数，且，则在关系式：①；②；③；④中，一定成立的是______（填序号）．【答案】④【分析】由的单调性可判断①②不成立，由函数的单调性及已知条件可知且，再根据可得，从而可知③④是否成立，从而得到结果.【详解】因为在上为增函数，且，所以，所以①②不成立．作出函数的图象，如图所示，由图可知要使且成立，需有且，所以，所以，．又，所以，即，所以③不成立，④成立．故答案为④.【点睛】该题考查的是有关在已知函数解析式的情况下，根据自变量的大小，判断有关函数值所满足条件的问题，涉及到的知识点有指数函数的图象和性质，属于简单题目.例3设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.【答案】答案见解析【分析】利用作差法，结合对数的运算性质可得，讨论x的范围，结合对数函数的性质判断的符号，即可确定1+logx3与2logx2的大小关系.【详解】(1)当，即0<x<1时，，此时.(2)当.(3)当，，此时，在时取等号.(4)当，即时，，此时.综上，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；当x＝时，1＋logx3＝2logx2.题型3分类讨论思想反思领悟：1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．例1若logaeq\f(3,4)<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围．[解]logaeq\f(3,4)<1，即logaeq\f(3,4)<logaa.当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，由logaeq\f(3,4)<logaa，得a>eq\f(3,4)，故a>1.当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调减函数，由logaeq\f(3,4)<logaa，得a<eq\f(3,4)，故0<a<eq\f(3,4).综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(3,4)或a>1)))).例2已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．[思路点拨]根据偶函数的性质，将f(logax)>0转化为logax与eq\f(1,2)和－eq\f(1,2)的大小关系，然后分类讨论求解不等式．[解]∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0.故若f(logax)>0，则有logax>eq\f(1,2)或logax<－eq\f(1,2).①当a>1时，由logax>eq\f(1,2)或logax<－eq\f(1,2)，得x>eq\r(a)或0<x<eq\f(\r(a),a).②当0<a<1时，由logax>eq\f(1,2)或logax<－eq\f(1,2)，得0<x<eq\r(a)或x>eq\f(\r(a),a).综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(a),a)))∪(eq\r(a)，＋∞)；当0<a<1时，f(logax)>0的解集为(0，eq\r(a))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a),a)，＋∞)).二．活学活用培优训练一、单选题1．已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案.【详解】幂函数在区间上是单调增函数，故，解得，，当时，不满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件；故选：C.2．若实数a，b满足，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质以及幂函数的单调性分别进行判断即可.【详解】对A，，，因为，所以.因为幂函数在上为增函数，所以，A错；对B，因为幂函数在上为增函数，所以成立，B对；对C，因为，，且幂函数在上为增函数，所以，C错；对D，因为幂函数在上为增函数，所以，D错；故选：B.3．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇函数的单调性和对称性，求出和的解集，进而即可得到答案.【详解】根据题意，为奇函数且，则，又由在上单调递增，则在上，；在上，，又由为奇函数，则在上，；在上，，则的解集为，的解集为，或，解得或，故不等式的解集为.故选：B.4．存在两个常数和，设函数的定义域为，则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（

）①②；③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.【详解】对于①，，又因为，当且仅当，即时取等；所以.对于②，，，，所以对于③，因为当时，，所以时，，，，因为当时，，所以时，，所以.故在其定义域上有界的函数为①.故选：B.5．已知，，，则m、n、p的大小关系为（

）A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p【答案】B【分析】根据幂函数，对数函数的单调性判定即可.【详解】由于幂函数在单调递增，故，又，，∴0＜p＜m＜1，由对数函数在单调递减，故，∴n＜p＜m．故选：B6．已知函数是偶函数，则（

）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【分析】由为偶函数，可得，即有，再根据对数的性质求解即可.【详解】解：由，得，所以函数的定义域为，因为，故，因为为偶函数，故，有，整理得，解得.当时，是偶函数.所以.故选:B．二、多选题7．已知都是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．C． D．【答案】ACD【分析】由函数奇偶性定义可判断A;根据的奇偶性结合可求得，判断C;进而判断B;讨论和可得的解析式，判断D.【详解】对于A，，故为偶函数，A正确．因为，以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，，故C正确．对于B，由C的分析可知，故B错误．对于D，当时，，；当时，，，所以，故D正确．故选：ACD．8．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先判断出的周期，然后结合奇偶性、周期性、解析式求得正确答案.【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．根据条件可知，则，即4为的一个周期，则，所以，所以C正确；又因为，所以解得或（舍去），所以A正确，B错误；所以当时，，所以，所以D正确．故选：ACD9．已知函数是R上的单调函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由分段函数的单调性结合对数函数、二次函数的单调性求得的范围，然后判断各选项．【详解】首先显然有或，若，则，解得，若，是增函数，在上是减函数，不合题意，综上，．故选：ABC．三、填空题10．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜.11．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】记函数的值域为，的值域为，进而转化为求解即可，再分别研究函数，的值域即可得答案.【详解】解：记函数的值域为，的值域为，因为对于任意的，总存在，使得或，所以，因为，，所以，即函数的值域为，当时，时，，当且仅当时等号成立，所以，根据对勾函数的性质可知，的值域为，因为，所以，有，解得，当时，的值域为，满足，故时成立，综上所述，实数的范围为.故答案为：12．已知函数，则满足的x的取值范围是________．【答案】.【分析】结合函数图象，利用复合函数的单调性解不等式.【详解】因为，则，因为函数，由有：且，因为，大致图象如图，①当且时，，所以，显然满足；②当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递减，当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递增，又，，所以根据函数的单调性有：由,解得：或.综上，满足的取值范围是.故答案为：.四、解答题13．已知函数.(1)若是幂函数，求实数，，的值；(2)如果，，且在区间上单调递减，求的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题知或，再分别讨论求解即可；（2）当时得，当时，结合二次函数性质得，再根据基本不等式求解即可得答案.（1）解：因为是幂函数，所以或若，则，，；若，则，，.（2）解：①若，则，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；②若，则图像的开口向上