高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练14　导数的概念及运算

课时规范练14导数的概念及运算基础巩固组1.(2021山西临汾一模)曲线f(x)=x2+2ex在点(0,f(0))处的切线方程为()A.x+2y+2=0 B.2x+y+2=0C.x-2y+2=0 D.2x-y+2=0答案:D解析:f(x)=x2+2ex的导数为f'(x)=2x+2ex,则在点(0,f(0))处的切线的斜率为f'(0)=2,且切点为(0,2),则切线的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0.2.(2021江西宜春模拟)已知函数f(x)=x3-f'(1)x2+2的导数为f'(x),则f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为()A.-8 B.8 C.12 D.16答案:B解析:因为f'(x)=3x2-2f'(1)x,令x=1,得f'(1)=3-2f'(1),所以f'(1)=1,所以f'(x)=3x2-2x,f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为f'(2)=8.3.已知f(x)=14x2+sin5π2+x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'答案:A解析:∵f(x)=14x2+sin5π2+x=14x2+cos∴f'(x)=12x-sinx∴函数f'(x)为奇函数,排除B,D.又f'π2=π4-1<0,排除C4.(2021河南新乡三模)已知函数f(x)=x4+ax,若limΔx→0f(A.36 B.12 C.4 D.2答案:C解析:根据题意,f(x)=x4+ax,则f'(x)=4x3+a,则f'(0)=a,若limΔx则limΔx→0f(2Δx)-f(-Δx)Δx5.(2021湖南岳阳模拟)函数f(x)的图像如图所示,则下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)答案:B解析:如图所示,f'(2)是函数f(x)的图像在x=2(即点A)处切线的斜率k1,f'(3)是函数f(x)的图像在x=3(即点B)处切线的斜率k2,f(3)-f(2)3-2由图像知,0<k2<kAB<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).6.(2021河南洛阳二模)若曲线f(x)=lnx在点(1,0)的切线与曲线g(x)=12x2+mx+72也相切,则m=答案:-2或4解析:由f(x)=lnx的导数为f'(x)=1x,可得曲线f(x)=lnx在点(1,0)的切线斜率为1,切线的方程为y=x-1,联立y=x-1,y=12x2+mx+72,可得x2+(2m-2)x+9=0,由切线与曲线g(x)=12x2+mx+72也相切,7.(2021河北邯郸二模)写出一个奇函数f(x),当x>0时,f(x)>0且其导数f'(x)<0,则f(x)=.

答案:1x(答案不解析:f(x)=1x为奇函数,当x>0时,f(x)>0,且f'(x)=-1x2<8.已知函数f(x)=13x3-4x,x<0,-1答案:14或-解析:由题意得f'(x)=x2-4,x<0,所以0<a<1,1a2-9.(2021贵州贵阳高三期末)曲线f(x)=2x-ex与直线x-y+t=0相切,则t=.

答案:-1解析:∵f(x)=2x-ex,∴f'(x)=2-ex,切线x-y+t=0的斜率为k=1,设切点P(x0,y0),令f'(x0)=2-ex0=1,解得x0=0,代入f(x)=2x-ex得y0=2×0-e0=-1,∴切点坐标为(0,-1),代入切线方程x-y+t=0中得到0+1+t=0,解得t=-10.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=lnxx+a,且f'(1)=1,则a=,曲线y=f(x)在x=答案:0y-1e=解析:由f(x)=lnxx+a,则f'(x)=x+ax-lnx(x+a)2,因为f'(1)=1,即11+a=1,解得a=0,所以f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2∴x0e2x0=e3,∴f(x0)=x0e2x0-e综合提升组11.(2021黑龙江齐齐哈尔三模)已知函数f(x)=sinx和g(x)=cosx图像的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论:①f(x0)=g(x0);②f'(x0)=g'(x0);③f(x)和g(x)的图像在点P处的切线的倾斜角互补;④f(x)和g(x)的图像在点P处的切线互相垂直.其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④答案:A解析:对于①,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,则f(x0)=g(x0),故①正确;对于②,因为f(x)和g(x)在点P处的切线不平行且不重合,所以f'(x0)≠g'(x0),故②错误;对于③,显然f'(x0)+g'(x0)=0成立,故③正确;对于④,假设f(x)和g(x)的图像在点P处的切线互相垂直,则有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,这与|sin2x0|≤1矛盾,故④错误.12.(2021云南昆明一中模拟)函数f(x)=lnx图像上一点P到直线y=2x的最短距离为()A.2 BC.(1+ln2)答案:C解析:设与直线y=2x平行且与曲线f(x)=lnx相切的直线的切点坐标为(x0,lnx0),因为f'(x)=1x,所以1x0=2,解得x0=12,则切点坐标为12,-ln2,最短距离为点12,-ln2到直线y=2x的距离,即13.(2021广西桂林模拟)设曲线y=lnx与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=()A.-1 B.-34 C.14答案:B解析:因为y=lnx,所以y'=1又因为切线的斜率为1,设切点为(x0,y0),所以1x0=1,解得x0=1,y0=0,所以切线方程为y=x-因为y=(x+a)2,设切点(x,y),所以y'=2x+2a=1,解得x=12-a代入切线方程得y=-12-a,再将12-a,-12-a代入y=(x+a)2解得a=-314.(2021四川凉山三模)已知函数f(x)=ex-lnxx−1x+a,若直线y=0在点(b,f(b))处与曲线y=f(xA.1 B.0 C.-1 D.-1或1答案:C解析:由f(x)=ex-lnxx−1x+a可得f'(x)=ex-1-lnxx2+1x2=ex+lnxx2,因为直线y=0在点(b,f(b))处与曲线y=f(x所以eb·b=-lnbb=1b·ln1b,两边同时取以e为底的对数,可得ln(eb即lneb+lnb=ln1b+lnln所以b+lnb=ln1b+lnln设g(x)=x+lnx,g'(x)=1+1x>0,函数在(0,+∞)上是递增的所以b=ln1b,即b=-lnb,又因为f(b)=所以f(b)=eb-lnbb解得a=-1.15.(2021云南红河三模)丹麦数学家琴生在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义:函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上的“严格凸函数”,称区间(a,b)为函数f(x)的“严格凸区间”.则下列正确说法的序号为.

①函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”;②函数f(x)=lnxx的“严格凸区间”为(0,e32);③函数f(x)=ex-m2x2在(1,4)为“严格凸函数”,则m答案:①②解析:f(x)=-x3+3x2+2的导函数f'(x)=-3x2+6x,f″(x)=-6x+6,故f″(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)=-x3+3x2+2在(1,+∞)上为“严格凸函数”,所以①正确;f(x)=lnxx的定义域为(0,+∞)且导函数f'(x)=1-lnxx2,f″(x)=2lnx-3x3,由f″(x)<0可得2lnx-3<0,解得x∈(0,e32),所以函数f(x)f(x)=ex-m2x2的导函数f'(x)=ex-mx,f″(x)=ex-m因为f(x)在(1,4)为“严格凸函数”,故f″(x)<0在(1,4)上恒成立,所以ex-m<0在(1,4)上恒成立,即m>ex在(1,4)上恒成立,故m≥e4,所以③不正确.创新应用组16.(2021浙江杭州二中模拟)函数f(x)=ax+sinx的图像上存在两条相互垂直的切线,则实数a的取值范围是()A.{0,1} B.{0}C.[0,1) D.[1,+∞)答案:B解析:因为f(x)=ax+sinx,所以f'(x)=a+cosx,因为函数f(x)=ax+sinx的图像上存在两条相互垂直的切线,所以不妨设在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,则(a+cosx1)·(a+cosx2)=-1,即a2+(cosx1+cosx2)a+cosx1cosx2+1=0,①因为a的值一定存在,即方程①一定有解,所以Δ=(cosx1+cosx2)2-4(cosx1cosx2+1)≥0,即(cosx1-cosx2)2≥4,解得cosx1-cosx2≥2或cosx1-cosx2≤-2,又因为|cosx|≤1,所以有cosx1=1,cosx2=-1或cosx1=-1,cosx2=1,Δ=0,所以方程①变为a2=0,所以a=0.故选B.17.已知a-lnb=0,c-d=1,则(a-c)2+(b-d)2的最小值是