2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(学生版+解析)

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的________、________、________叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真假真假真假假真假真假假假2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示．3．全称命题和特称命题将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示名称全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立简记否定∃x0∈M，綈p(x0)常用结论1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．()(4)命题“∃x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．()教材改编题1．(2022·中卫模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有x2－x＋1≥0；q：若a2<b2，则a<b.则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q2．写出命题“∀x∈R，x2－2x＋3>0”的否定________________．3．若命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．题型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2022·成都检测)已知命题p：在△ABC中，若cosA>cosB，则A<B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.在下列四个命题中，是真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)(2)(2022·绵阳模拟)2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月18日在卡塔尔举行．某体育台预测比赛结果，若比赛前三名只在甲、乙、丙三支球队中产生，记p：甲获得冠军，q：乙获得亚军，r：丙获得季军．比赛结束后，“q∧(綈r)”为真，则比赛的最终结果为()A．甲是冠军，乙是亚军，丙是季军B．乙是冠军，甲是亚军，丙是季军C．丙是冠军，乙是亚军，甲是季军D．甲是冠军，丙是亚军，乙是季军听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．跟踪训练1(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q(2)设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝x2＋sinx为奇函数．则下列命题中的真命题是()A．p∧q B．(綈p)∨qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)题型二含一个量词的命题命题点1含一个量词命题的否定例2(1)(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是()A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a0∈R，x2－a0x＋1≠0有实数解听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2全称命题、特称命题的真假例3(1)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是()A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，n∈N*且n>1，eq\r(n,xn)＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D．∃x0∈R，lnx0≥x0－1听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)①∃a0∈R，使函数y＝2x＋a0·2－x在R上为偶函数；②∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数；③∀x∈R，x4<x5；④∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华含量词命题的解题策略判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x0，使p(x0)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．跟踪训练2(1)(2022·襄阳模拟)命题“∃x0>0，＋xeq\o\al(2,0)－2<0”的否定为()A．∃x0>0，＋xeq\o\al(2,0)－2≥0B．∃x0≤0，＋xeq\o\al(2,0)－2≥0C．∀x>0，ex＋x2－2≥0D．∀x≤0，ex＋x2－2≥0(2)下列命题是假命题的是()A．∀x∈R，－x2－1<0B．∃m0∈Z，m0x＝m0恒成立C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋3)＝eq\f(3,4)题型三根据命题的真假求参数的范围例4(1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是________________．听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是______．听课记录：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．跟踪训练3(1)若命题“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx0<m”是假命题，则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)(2)命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋3x0＋2－a＝0”，若p∧q是假命题，则实数a的取值范围是______________________．§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称命题和特称命题将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示名称全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．(×)(4)命题“∃x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)教材改编题1．(2022·中卫模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有x2－x＋1≥0；q：若a2<b2，则a<b.则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q答案B解析由x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以命题p为真命题，令a＝0，b＝－1，则a2<b2，但a>b，所以命题q为假命题，故p∧(綈q)为真．2．写出命题“∀x∈R，x2－2x＋3>0”的否定________________．答案∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋3≤03．若命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))解析∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0，∴a<(x2－x)min.当x＝eq\f(1,2)时，(x2－x)min＝－eq\f(1,4)，∴a<－eq\f(1,4).题型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1(1)(2022·成都检测)已知命题p：在△ABC中，若cosA>cosB，则A<B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.在下列四个命题中，是真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案D解析命题p：在△ABC中，若cosA>cosB，由于余弦函数在(0，π)上单调递减，则A<B，故命题p为真命题；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是向量a与向量b模的大小相等，方向相同，故命题q是假命题，因此，p∧(綈q)为真命题．(2)(2022·绵阳模拟)2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月18日在卡塔尔举行．某体育台预测比赛结果，若比赛前三名只在甲、乙、丙三支球队中产生，记p：甲获得冠军，q：乙获得亚军，r：丙获得季军．比赛结束后，“q∧(綈r)”为真，则比赛的最终结果为()A．甲是冠军，乙是亚军，丙是季军B．乙是冠军，甲是亚军，丙是季军C．丙是冠军，乙是亚军，甲是季军D．甲是冠军，丙是亚军，乙是季军答案C解析由题意可知“q∧(綈r)”为真，故乙获得亚军，丙不是季军，那么丙是冠军，所以甲是季军．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．跟踪训练1(1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．(2)设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝x2＋sinx为奇函数．则下列命题中的真命题是()A．p∧q B．(綈p)∨qC．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)答案D解析因为函数f(x)＝ex－1在R上为增函数，所以命题p为真命题．因为f(－x)＝x2－sinx≠－f(x)，所以函数f(x)＝x2＋sinx不是奇函数，因此命题q为假命题．于是綈p是假命题，綈q是真命题．因此p∧q是假命题，(綈p)∨q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，p∧(綈q)是真命题．题型二含一个量词的命题命题点1含一个量词命题的否定例2(1)(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是()A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a0∈R，x2－a0x＋1≠0有实数解答案B解析因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解”．(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．答案存在一个菱形，它的对角线不互相垂直或平分命题点2全称命题、特称命题的真假例3(1)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是()A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，n∈N*且n>1，eq\r(n,xn)＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D．∃x0∈R，lnx0≥x0－1答案D解析∀x∈R,2x>0，∴eq\f(1,2x)>0，故A是假命题；当n为偶数，且x<0时，eq\r(n,xn)＝－x，故B是假命题；当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C是假命题；当x0＝1时，lnx0≥x0－1，故D是真命题．(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)①∃a0∈R，使函数y＝2x＋a0·2－x在R上为偶函数；②∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数；③∀x∈R，x4<x5；④∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1≤0.答案①④解析当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故①为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故②为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故③为假命题；xeq\o\al(2,0)－2x0＋1＝(x0－1)2，当x0＝1时，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1＝0，故④为真命题．思维升华含量词命题的解题策略判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x0，使p(x0)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．跟踪训练2(1)(2022·襄阳模拟)命题“∃x0>0，＋xeq\o\al(2,0)－2<0”的否定为()A．∃x0>0，＋xeq\o\al(2,0)－2≥0B．∃x0≤0，＋xeq\o\al(2,0)－2≥0C．∀x>0，ex＋x2－2≥0D．∀x≤0，ex＋x2－2≥0答案C(2)下列命题是假命题的是()A．∀x∈R，－x2－1<0B．∃m0∈Z，m0x＝m0恒成立C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－2x0＋3)＝eq\f(3,4)答案D解析∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；当m0＝0时，m0x＝m0恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D项是假命题．题型三根据命题的真假求参数的范围例4(1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－2]∪[1,2)解析若命题p为真，则Δ＝4a2－16<0，∴－2<a<2；若命题q为真，则3－2a>1，∴a<1.∵p∨q为真，p∧q为假，则p真q假或p假q真；∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－2或a≥2，,a<1，))∴1≤a<2或a≤－2，∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．(2)若命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”的否命题是假命题，则命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．思维升华由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．跟踪训练3(1)若命题“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx0<m”是假命题，则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析因为命题“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx0<m”是假命题，所以“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx≥m”是真命题，即m≤sinx对于∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上单调递增，所以当x＝－eq\f(π,3)时，y＝sinx最小，其最小值为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin

eq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以m≤－eq\f(\r(3),2)，所以实数m的最大值为－eq\f(\r(3),2).(2)命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋3x0＋2－a＝0”，若p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪(1，＋∞)解析若命题p是真命题，则a≤x2对于∀x∈[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命题q是真命题，则关于x的方程x2＋3x＋2－a＝0有实数根，所以Δ＝9－4(2－a)＝1＋4a≥0，即a≥－eq\f(1,4)，若p和q同时为真命题，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥－\f(1,4)，))所以a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1))，所以当p∧q是假命题时，p和q中至少有一个是假命题，可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪(1，＋∞)．课时精练1．已知命题p：∃n0∈N，neq\o\al(2,0)≥2n0＋5，则綈p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n0∈N，neq\o\al(2,0)≤2n0＋5C．∀n∈N，n2<2n＋5D．∃n0∈N，neq\o\al(2,0)＝2n0＋5答案C2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，当p真q假时，p∧q为假命题，故p∨q为真命题推不出p∧q为真命题．所以“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件．3．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x0∈R，sinx0<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．綈(p∨q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x0∈R，使得sinx0<1，所以命题p为真命题；对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．4．若命题“p∧q”与命题“(綈p)∨q”都是假命题，则()A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假答案B解析因为命题“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，若p为假命题，则綈p为真命题，则(綈p)∨q为真命题，与命题“(綈p)∨q”是假命题矛盾，故必有p为真命题，q为假命题．5．(2022·武汉模拟)若命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是()A．m<1 B．m≤1C．m>1 D．m≥1答案B解析由题可知，不等式x2＋2x＋m≤0在实数范围内有解，等价于方程x2＋2x＋m＝0有实数解，即Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.6．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≥5C．a≤4 D．a≤5答案B解析因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.7．下列命题为真命题的是()A．∃x0∈R，ln(xeq\o\al(2,0)＋1)<0B．∀x>2,2x>x2C．∃α0，β0∈R，sin(α0－β0)＝sinα0－sinβ0D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝eq\f(3,2)答案C解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln1＝0，故A为假命题；当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；当α0＝β0＝0时，sin(α0－β0)＝0＝sinα0－sinβ0，故C为真命题；sinx0＋cosx0＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，故D为假命题．8．(2023·榆林模拟)已知命题p：∀x∈[0,1]，ex－a≥0；命题q：∃x0∈[1，＋∞)，eq\f(1,x0)－x0>4a2－1.若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析因为p∧(綈q)为真命题，则p为真命题，q为假命题．命题p：∀x∈[0,1]，ex－a≥0为真命题，则a≤ex在x∈[0,1]上恒成立，因为y＝ex在[0,1]上是增函数，所以当x∈[0,1]时，ex≥e0＝1，则a≤(ex)min＝1，所以a≤1；命题q：∃x0∈[1，＋∞)，eq\f(1,x0)－x0>4a2－1为假命题，则綈q：∀x∈[1，＋∞)，eq\f(1,x)－x≤4a2－1为真命题，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))max≤4a2－1.因为函数y＝eq\f(1,x)－x在[1，＋∞)上单调递减，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))max＝0，即4a2－1≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(1,2).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).9．命题“∀x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是____________________．答案∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0－1≥010．已知真分数eq\f(a,b)(b>a>0)满足eq\f(a＋1,b＋1)>eq\f(a,b)，eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a＋1,b＋1)，eq\f(a＋3,b＋3)>eq\f(a＋2,b＋2)，….根据上述性质，写出一个全称命题或特称命题(真命题)__________________．答案∀b>a>0，m>n>0，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a＋n,b＋n)(答案不唯一)解析∵真分数eq\f(a,b)(b>a>0)满足eq\f(a＋1,b＋1)>eq\f(a,b)，eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a＋1,b＋1)，eq\f(a＋3,b＋3)>eq\f(a＋2,b＋2)，…，∴∀b>a>0，m>n>0，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a＋n,b＋n).11．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4)．答案①③④解析p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．12．若“∃x0∈(0,2)，2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1<0”是假命题，则实数λ的取值范围是________．答案(－∞，2eq\r(2)]解析由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0”是真命题，所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋eq\f(1,x)恒成立，当x∈(0,2)时，由基本不等式可得2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立，所以λ≤2eq\r(2).13．(2022·南昌模拟)现有下列四个命题：①∀x∈R,2cos2eq\f(x,2)＝1＋cos2x；②存在x0∈{x|x＝7k，k∈Z}，使得x0＋1为质数；③∀x∈R,2x＋23－x≥4eq\r(2)；④若x∈(0，＋∞)，则eq\f(6x2,x4＋2x2＋9)的最大值为eq\f(3,4).其中所有真命题的序号为()A．②④B．①③C．③④D．②③④答案D解析因为∀x∈R,2cos2eq\f(x,2)＝1＋cosx，所以①是假命题；因为28∈{x|x＝7k，k∈Z}，且29为质数，所以②为真命题；2x＋23－x≥2eq\r(2x·23－x)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2)，当且仅当2x＝23－x，即x＝eq\f(3,2)时，等号成立，所以③为真命题；若x∈(0，＋∞)，则eq\f(6x2,x4＋2x2＋9)＝eq\f(6,x2＋2＋\f(9,x2))≤eq\f(6,2＋2\r(9))＝eq\f(3,4)，当且仅当x2＝eq\f(9,x2)，即x＝eq\r(3)时，等号成立，所以④为真命题．14．命题