备考2025届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破1“隐形圆”问题

突破1“隐形圆”问题命题点1代数法确定隐形圆角度1与数量积相关的隐形圆例1在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上.若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是[－52，1].解析设P（x，y），则由PA·PB≤20可得，-12-x-x+－y·6－y≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，所以P为圆（x＋6）2＋（y－3）2＝65上或其内部一点解得x=1，y=7或x＝－5，y＝－5，即P为圆x2＋y角度2由｜PA｜2＋｜PB｜2是定值确定隐形圆（其中A，B是两定点，P为动点）例2在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2）.若圆C上存在点M，满意｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是[0，3].解析设点M（x，y），由题知点A（0，2），O（0，0）.因为｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，所以x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即点M在圆E：x2+y-12=4上.因为圆C上存在点M满意｜MA｜2＋｜MO｜2＝10等价于圆E与圆C有公共点，所以｜2－1｜≤｜CE｜≤2＋1，即1≤a2＋（a－3）2≤3，整理得1≤2a2－6a＋9≤角度3阿波罗尼斯圆例3在△ABC中，若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为22.解析以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，令A（－1，0），B（1，0），设C（x，y），y≠0，由｜AC｜＝2｜BC｜可得（x+1）2＋y2＝2×（x－1）2＋y2，化简可得（x－3）2＋y2＝8（y≠0），即点C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上（不含圆与x轴的两个交点），则｜yC｜的最大值为22，S△ABC＝12｜AB｜·｜方法技巧（1）代数法确定隐形圆往往是通过设动点的坐标，再依据已知条件列方程，依据方程确定动点的轨迹是圆，进而解决与圆相关的问题.（2）已知平面上相异两点A，B，则满意｜PA｜｜PB｜＝k（k＞0，k≠训练1（1）在平面直角坐标系xOy中，点A（－t，0），B（t，0），t＞0，点C满意AC·BC＝8，且点C到直线l：3x－4y＋24＝0的距离最小值为95，则实数t的取值的集合是{1}解析设C（x，y），由AC·BC＝8知，x2＋y2＝8＋t2.点（0，0）到直线l：3x－4y＋24＝0的距离d1＝｜24｜32＋42＝245，圆x2＋y2＝8＋t2上的点到直线l的距离的最小值dmin=d1-8+t2=（2）设点P是△ABC所在平面内的动点，且满意CP＝λCA＋μCB，3λ＋4μ＝2（λ，μ∈R），｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜.若｜AB｜＝3，则△ABC的面积的最大值为9.解析由3λ＋4μ＝2得32λ＋2μ＝1，则CP＝λCA＋μCB＝3λ2（23CA）＋2μ（12CB），设E，F分别为AC，BC上的点，且CE＝23CA，CF＝12CB，则P，E，F三点共线.因为PA=PB=PC，所以P是△ABC的外心，即三边中垂线的交点，由F是CB的中点得直线EF是边BC的中垂线，则｜EB｜＝｜EC｜＝2｜EA｜.以点A为原点，AB的方向为x轴正方向，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），设E（x，y）（y≠0），则（x－3）2＋y2＝2x2＋y2，化简得（x＋1）2＋y2＝4（y≠0），所以点E在以（－1，0）为圆心，2为半径的圆上，则｜yE｜≤2.所以S△ABC＝12｜AB｜×｜命题点2几何法确定隐形圆例4（1）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为[2-22解析由题意得圆心M（a，a－4）在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆.又圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，所以｜OP｜＝2，即点P也在圆x2＋y2＝4上，于是2－1≤a2＋（a－4）2≤2＋1，即1≤a2＋（a－4）（2）已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是[4，6].解析由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，m为半径的圆O：x2＋y2＝m2上，又点P在已知圆C上，所以两个圆有公共点，所以5－1≤m≤5＋1，故4≤m≤6.方法技巧（1）利用圆的定义推断出动点的轨迹为圆，从而依据圆心及半径得出圆的方程.（2）见直径，想垂直；见垂直，想直径.训练2已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的两个动点，且｜AB｜＝3，P是圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝1上的动点，则｜PA＋PB｜的取值范围是[7，13].解析取AB的中点M，则｜C1M｜＝1－（32）