高中数学选修2-2练习题

（数学选修2-2）第一章导数及其应用

一、选择题

1.若函数y=/（x）在区间内可导，且端e（。力）则1沛/5+/?）―/（%一6）

/?->oh

的值为（）

A.f'（x0）B.2/（元0）C.-2/,（x0）D.0

2.一个物体的运动方程为s=l-f+J其中s的单位是米，「的单位是秒，

那么物体在3秒末的瞬时速度是（）

A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒

3.函数y=/+%的递增区间是（）

A.（0,4-oo）B.（-oo,l）C.（-00,+8）D.（l,+oo）

4./（彳）=。/+3/+2,若/'（一1）=4,则。的值等于（）

191610

A.—B.—D.

333

5.函数y=/（x）在一点的导数值为0是函数y=/（x）在这点取极值的（）

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件

6.函数y=x4—4x+3在区间［—2,3］上的最小值为（）

A.72B.36C.12D.0

二、填空题

1.若/。）=丁,/'（玉））=3,则/的值为；

2.曲线y=/-4x在点（1,-3）处的切线倾斜角为

tinX

3.函数y”的导数为

x

4.曲线y=lnx在点V（e,l）处的切线的斜率是，切线的方程为

5.函数y=x3+x2—5x—5的单调递增区间是

三、解答题

1.求垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=+3--5相切的直线方程。

2.求函数y=（x—a）（x—6）（x—c）的导数。

3.求函数/（幻=炉+5/+5*3+1在区间［-1,4］上的最大值与最小值。

4.已知函数y=公3+笈2,当x=l时，有极大值3；

（1）求。力的值；（2）求函数y的极小值。

第一章导数及其应用

一、选择题

1.函数y=x3-3x2-9x(-2vxv2)有()

A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-UC.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值

2.若/'(%)=-3,则1而""°十_―"/_3阳=()

02。h

A.-3B.—6C.—9D.—12

3.曲线/(x)=/+x-2在po处的切线平行于直线y=4x-1,则p0点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)(-1,-4)D.(2,8)和(一1,-4)

4./(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若/(x),g(x)满足f(x)=g'(x),则/(x)与g(x)满足()

A./(x)=g(x)B./(x)-g(x)为常数函数C./(x)=g(x)=0D./(x)+g(x)为常数函数

5.函数y=4/+J■单调递增区间是()

X

A.(0,4-oo)B.(—oo,l)C.(―,+°o)D.(l,+oo)

InX

6.函数y=上士的最大值为()

X

10

A.e~］B.eC.e2D

T

二、填空题

7T

1.函数y=x+2cosx在区间［0,,］上的最大值是«

2.函数/(x)=/+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为。

3.函数j=x2-x3的单调增区间为,单调减区间为o

4.若/(x)=aV+法2+cx+d(a>0)在R增函数，则a,。,c的关系式为是

5.函数/。)=/+。》2+儿：+。2,在％=1时有极值10,那么。力的值分别为。

三、解答题

1.已知曲线y=Y-1与y=1+1在X=X。处的切线互相垂直，求X。的值。

2.如图，一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在四个角上截去3A

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，间小正方形的边长

为多少时，盒子容积最大？□__□

3.已知/(幻=。/+6：2+，的图象经过点(0,1),且在x=l处的切线方程是y=x-2

(1)求y=/(x)的解析式；(2)求y=/(x)的单调递增区间。

4.平面向量1=(百，一i),B=(g,?),若存在不同时为o的实数攵和使元=口+(『一3)瓦y=—曲+血且

xly,试确定函数k=/(f)的单调区间。

第一章导数及其应用

一、选择题

1.若/(x)=sin。一cosx,则/(a)等于()

A.sinaB.cosaC.sina+cosaD.2sina

2.若函数/(x)=f+Ax+c的图象的顶点在第四象限，则函数，(x)的图象是()

3.已知函数/(x)=—/+仆2-X—1在(_8,+8)上是单调函数，则实数a的取值范围是()

A.(―00,—\/3]U[A/3,+oo)B.[—V3,V3]C.(―00,—\/3)U(5/3,+°°)D.(―\/3,A/3)

4.对于R上可导的任意函数/(x),若满足(x—l)/'(x)N0,则必有()

A./(0)+/⑵<2/⑴B./(0)+/⑵K2/⑴C.”0)+〃2"2/⑴D./(0)+/(2)>2/(1)

5.若曲线y=/的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的方程为()

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0

D.x+4y+3=0

6.函数/(x)的定义域为开区间(a/),导函数/'(x)在(a,b)内的图象如图

所示，则函数/(x)在开区间(a/)内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

1.若函数/(x)=x(x-c)2在X=2处有极大值，则常数C的值为;

2.函数丁=2》+5由工的单调增区间为。

3.设函数/(x)=cos(J§x+夕)(0＜夕＜乃)，若/(x)+/'(x)为奇函数，则夕=

4.设/。)=%3一5%2—2X+5,当xe［-1,2］时，/(x)＜〃z恒成立，则实数机的取值范围为。

5.对正整数〃，设曲线y=x"(l-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为勺，则数列｛合｝的前〃项和的公

式是一

三、解答题

1.求函数y=(1+COS2X)3的导数。

2.求函数y=j2x+4—Jx+3的值域。

2

3.已知函数/(X)=尤3+依2+陵+，在工=一1与1=1时都取得极值

⑴求a,h的值与函数/(%)的单调区间

(2)若对［—1,2］,不等式/(X)〈，恒成立，求c的取值范围。

+CLX+h

4.已知〃x)=log3-——--,xe(0,+oo),是否存在实数a、b,使/(尤)同时满足下列两个条件：(1)/(幻在

x

(0,1)上是减函数，在［1,+8)上是增函数；(2)/(X)的最小值是1,若存在，求出a、b,若不存在，说明理由.

(数学选修2-2)第二章推理与证明

一、选择题

1.数列2,5,11,20,X,47,…中的无等于()

A.28B.32C.33D.27

2.设a,6,ce(—oo,0),贝(JaH—,bH—,cH—()

bca

A.都不大于—2B.都不小于-2

C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2

3.已知正六边形A5COEQ,在下列表达式①前+而+前；②2前+而；

③丘+访；④2访—西中，与就等价的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

17TJT

4.函数/。)=3面(4彳+1)在［0,5］内()

A.只有最大值B.只有最小值C.只有最大值或只有最小值D.既有最大值又有最小值

5.如果为,电,…劭为各项都大于零的等差数列，公差则()

A.B.C.。]+。8>。4+。5D-卅8=。4。5

6.若log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2x)]=log4[log,(log3x)]=0,则x+y+z=()

A.123B.105C.89D.58

7.函数y=—，在点x=4处的导数是(

)

JX

1i1

A.-Bc.—D.

8-41616

二、填空题

1.从1=仔,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是。

2.已知实数a/0,且函数+1)—(2x+,)有最小值一1,贝ija=。

a

3.已知是不相等的正数，x=^,y=4^+b,则的大小关系是

V2

4.若正整数加满足10"<2512<10"',则〃？=.(lg2»0.3010)

5.若数列｛a“｝中,4=I,4=3+5,%=7+9+11,4=13+15+17+19,…则。]()=(

三、解答题

1.观察(1)tanl00tan20°+tan200tan600+tan60°tan100=1;

(2)tan5°tan10°+tan10°tan750+tan75°tan5°=1

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

2.设函数/。)="2+/+,(。工0)中，a,b,c均为整数，且/(0),/⑴均为奇数。

求证：/(x)=0无整数根。

113

3.A48C的三个内角成等差数列，求证：---+——=--------

a+bb+ca+b+c

jr

4.设/(x)=sin(2x+(p)(-兀<(p<0),/(x)图像的一条对称轴是x=~.

8

(1)求e的值；

(2)求y=>(x)的增区间;

(3)证明直线5x—2y+c=0与函数y=/(x)的图象不相切。

(数学选修2-2)第二章推理与证明

一、选择题

sin®c2,-l<x<0;

1.函数/(x)=4,，若/⑴+/(a)=2,则a的所有可能值为()

ex-',x>0

A.1B.--C.1,或-也D.1,或也

222

2.函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数（）

Jr37r37r57r

A.）B.（肛24）C.）D.（2肛3幻

2222

3.设eR,/+2/=6,则a+匕的最小值是（）

A.-2-\/2B.—5*\/^c._3口.——

32

4.下列函数中，在（0,+00）上为增函数的是（）

A.y=sin2xB.y=xexC.y=x3-xD.y=ln（l+x）-x

ac

5.设a/,c三数成等比数列，而x,y分别为a,6和仇c的等差中项，则一+—=()

xy

二、填空题

1.若等差数列｛。“｝的前〃项和公式为S„=pn2+(p+l)n+p+3,则p=，苜项%=；公差d=

X

2.若lgx+lgy=21g(x-2y),则log&—=。

3.设/(x)=——,利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得

2*+J2

/(-5)+/(-4)+…+/(0)+…+/⑸+/(6)的值是。

4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=1对称，则

/(D+/(2)+f(3)+/(4)+f(5)=.

nhc

5.设/(X)=(X-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不等的常数),则曾后+官面+了旨的值是.

三、解答题

33

1.已知：sin230°+sin290°+sin21500=-sin250+sin2650+sin21250=-

22

通过观察上述两等式的规律,请你写出般性的命题，并给出的证明。

2.计算：,且L-必也(〃是正整数)

3.直角三角形的三边满足a<6<c,分别以a,。,c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为匕，匕,匕，

请比较匕，匕，匕的大小。

4.已知a,b,c均为实数，且a=/—2y+2,/?=y?-2z+工,c=z?-2'+工，

236

求证：a,b,c中至少有一个大于0。

第二章推理与证明

一、选择题

1.若则“孙41"是"x2+y24i”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.如图是函数/(x)=1+6x2+cx+d的大致图象，

24812

A.-B.C.D.—

3333

11

3.设Prr+rr+rr+\iT,则(

log2log3log4log5

A.O<F<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4

4.将函数>=2(：00%(()<》<2万)的图象和直线)，=2围成个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是

A.4B.8C.2万D.4万

ABAC..、

5.若。是平面上一定点，A,是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+/l(-j——-I+I——-i),er1n0,4-QOJ,

网IM

则P的轨迹一定通过aABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

f-1,x>0则(a+bH)fS-b)3O的值为(

6.设函数/(x)=4，)

1,x<02

A.aB.bC.中较小的数D.Q,/?中较大的数

7.关于x的方程9-kT—4・3f7-〃=0有实根的充要条件是()

A.6?>-4B.-4<«<0C.a<0D.-3<6Z<0

二、填空题

1.在数列｛凡｝中，a,=1,«2=2,a,1+2-a„=1+(-1)"(«e/V*),则Sg=

2.过原点作曲线y="的切线，则切点坐标是，切线斜率是。

331

3.若关于x的不等式仪2—24+'『<(/一24+3尸的解集为(±,+8),则人的范围是一

222

111357

4./(n)=l+-+-+--+-(ne7V),经计算的〃2)=J(4)>2,/(8)>>/(16)>34(32)>二,推测当

23n+222

〃22时，有.

5.若数列｛%｝的通项公式％=―/(〃eN+),记/(〃)=(1一％)(1-%>-(1—。“)，试通过计算

/⑴"(2),/⑶的值，推测出/(〃)=.

三、解答题

,,114

1.已知Q>b>C,求证：---+----->-----.

a-hh-ca-c

2.求证：质数序列2,3,5,7,11,13,17,19,……是无限的

3.在A4BC中，猜想T=sinA+sin8+sinC的最大值，并证明之。

4.用数学归纳法证明0+2?+3?+…+/=++

第三章复数

一、选择题

1.下面四个命题

(1)0比T大

(2)两个复数互为共甄复数,当且仅当其和为实数

(3)x+yi=1+i的充要条件为x=y=1

(4)如果让实数a与出对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，

其中正确的命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

2.（，一尸）3的虚部为（）

A.8«B.-8«C.8D.-8

3.使复数为实数的充分而不必要条件是由（）

A.Z=ZB.\z\=Z

C.I?为实数D.z+Z为实数

4.设4=/+『+『+...+严,72+儿产/•.…严，则&遂2的关系是（）

A.z1=z2B.zt=~Z2

C.Z]=l+%2D,无法确定

5.（1+»）2°—（1一，.）2°的值是（）

A.-1024B.1024C.0D.1024

6.已知/（〃）=7'一厂"（i2=—l,〃eN）集合{/（〃）}的元素个数是（）

A.2B.3C.4D.无数个

二、填空题

1.如果z=a+hi（a,heR,且a/0）是虚数，则z,z,z,|z|,卜卜kzllzim中是

虚数的有个，是实数的有个，相等的有组.

2.如果3<a<5,复数z=3、-8。+15）+（。2-5a-14）i在复平面上的

对应点z在象限.

3.若复数z=sin2a-i（l-cos2。）是纯虚数，则a=.

4.设z=k）g2（〃72-3〃z—3）+ilog2（〃2—3）（〃2£R）,若z对应的点在直线x-2y+1=0上，则m的值是

5.已知z=（2—i）3,则zZ二.

6.若名=正，那么F°°+z5°+l的值是.

I-Z

7.计算i+2/+3『+…+2000/oo°=

三、解答题

1.设复数z满足忖=1，且（3+4i）Z是纯虚数，求1

2.已知复数Z满足：0=1+3i_Z,求a=）：+小匚的值.

（数学选修2-2）第三章“复数

一、选择题

1-若z”Z2eC,Z|Z2+Z122是（）•

A.纯虚数B.实数C.虚数D.不能确定

2.若有/?+,/?，X分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合{m2帆eX}=（）.

A.R+B.R-C.R+\JR-D./?+U{0}

（_l+4）3_2+i

3.1[十的值是（）.A.0B.1C./D.2i

（1+z）6l+2z

4.若复数Z满足z—6(l+z)i=l,则Z+3的值等于()

1V3.

A.1B.0C.-1D.---1---i

22

5.已知3-后=z(—2gi),那么复数z在平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知上||=卜2|=卜1_%2|=1，则|Zi+Z21等于()

A.1B.V2C.V3D.2A/3

7.若。=一,+且i,则等于6/+。2+1=()

22

A.1B.0C.3+>/3zD.—1+-^3i

8.给出下列命题

(1)实数的共班复数一定是实数；

(2)满足|z—i|+|z+i|=2的复数z的轨迹是椭圆；

(3)若/nGZ/2=—1,则浮+泮+】+泮+2+-+3=0;

其中正确命题的序号是()

A.(l)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(l)(4)

二、填空题

1.若(a_2i)i=b_i,其中。、beR,i使虚数单位，则a2+/=

2.若4=a+2i,马=3—4i,且工■为纯虚数，则实数。的值为.

z2

3.复数Z=」一的共加复数是。

1-1

4.计算(fl-。

1+i

5.复数z=i+i2+『+j4的值是。

6.复数2=上1-1,在复平面内，Z所对应的点在第象限。

1+i

7.已知复数“=3+2/,复数Z满足Z+Z。=3z+Zo,则复数z=.

、I“］-j］+j

8.计笆-----H-------=o

9.若复数竺2(aeR,i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为

1+2，

10.设复数4=l+i,q=尤+2，原6/?),若NR2为实数，则x=

新课程高中数学训练题组参考答案

(数学选修2-2)第一章导数及其应用［基础训练A组］

一、选择题

1.Blim小。+所内。叫=lim2［小。+万)一出匚呜

力->。h2。2h

=21imf(xo+h)-f(xo-h)=2f,^

i°2h

2.C5(f)=2z—1,5(3)=2x3—1=5

3.Cy'=3x2+1>0对于任何实数都恒成立

>oI\J

4.Df(x)-3ax~+6x,f(-1)=3a-6=4,a=—

5.D对于/(X)=X3,/'(X)=3X2J'(O*0,不能推出/(x)在x=0取极值，反之成立

6.Dy=4/一4,令的#(•时一4=0,x=1,x<1,y<0;x>1,y>0

得y极小值=yk=0,而端点的函数值yl~=27,y[=72,得ymin=0

二、填空题

2

I.±1/'(x0)=3x0=3,x0=±1

2

2.-7Ty=3x-4,k=ylJ=1=-l,tana=-l,a=-7r

xcosx-sinx■_(sinx)x-sinx•(x)_xcosx-sinx

y-

X2X2

1八.11,1111/、1

4.-,x-ey=0y=一，k=y\=-,y-i=-(x-e),y=-x

exx=eeee

5.(-oo,-|),(l,+(»)

厂+2x-5>0,xv-~,x>1

三、解答题

1.解：设切点为P(a,。)，函数、=/+3/-5的导数为)/=3/+6%

切线的斜率上=y1『=3/+6。=—3,得。=一1,代入到>=》3+3/_5

得6=-3,即P(-l,-3),y+3=-3(x+l),3x+y+6=0。

2.解：y=(x-a)(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)

=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)

3.解：/"(X)=5X4+20X3+15X2=5x7x+3)(x+l),

当/'(x)=0得x=0,或x=-l,或x=-3,

V0e[-l,4],-le[-l,4],-3g[-1,4]

列表：

X-1(-1,0)0(0,4)

f(x)0+0+

fM0/1/

又/(o=)0,/(-l)=0；右端点处"4)=2625；

二函数y=/+5/+5x3+1在区间［—1,4］上的最大值为2625,最小值为0。

4.解：(1)y=3ax2+2bx,Sx=1时"，yL=i=3a+26=0,yL=]=a+b=3,

口[3a+2b=0

即4,a=-6,h=9

a+b=3

(2)y=-6x3+9x2,y=--18X2+18X,令y=0,得x=0,或x=l

二.y极小值=yUo=°

(数学选修2-2)第一章导数及其应用[综合训练B组]

一、选择题

1.Cy=3X2-6X-9=0,X=-1,得x=3,当x<—1时;y>0；当x>—1时，y<0

当-=T时，>极大值=5；x取不到3,无极小值

2.D1/。+/-3/7)

=41im"&+')一"9一")=4/(x)=-12

hT°hgo4力

3.C设切点为稣(a»,f(x)=3x2+1,C=f(a)=3〃2+1=4,a=±1,

把〃二一1,代入至ij/(x)=丁+x-2得b=-4；把。=1,代入至ij/(x)=丁+x-2得/?=0,所以凡(1,0)和

(-1,-4)

4.B/(x),g(x)的常数项可以任意

18元3_11

5.C令y=8x——>0,(2x-l)(4x2+2x+1)>0,x>—

xx2

6.A令y=-称'=0,x=e,当x>e时，y<0；当x<e时，y>0,y极大值=/(e)=L

在定义域内只有一个极值，所以％ax='

e

二、填空题

1.—+V3y=l-2sinx=0,x=^，比较0,巳,工处的函数值，得乂^、=工+百

6662max6

33

2.~f'W=3x2+4,/⑴=7,/(I)=10,y-10=7(x-l),y=0时,x=--

292

3.(0,-)(-oo,0)(§,+8)y=-3x2+2x=0,x=0,曲=§

4.a>0,自力2<3acf\x)=3ax2+2bx+c>0恒成立,

a>0

则《,a>0,且82<3ac

A=4/-Mac<0

5.4,-11f(x)=3x2+2Q丸b,于(1)=2a+/?+3=0,/(l)=tz2+(2+/?+1=10

2a+/?=-3(a=-3=4

<n|^<当。=-3时，x=l不是极值点

a2+/?=9[b=3'[Z?=-ll

二、解答题

22

1.解:y'=2x,ki=ylx=A.=2x0;y'=3^J2=y'\x=Xq=3x0

k[k)=­1,6x(『=—x0=_°

6

2.解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8-2x,宽为5-2元

V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x

V'=12x2_52x+40,令得或0,x=l,x=—,x=—(舍去)

33

匕及大值=丫⑴=18,在定义域内仅有一个极大值，

最大值=18

3.解：(1)/(x)=a/+6/+c的图象经过点(0,1),贝ijc=l,

/(x)=4ax3+2bx,k=f(1)=4«+2&=1,

切点为(1,-1),则/(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(1,-1)

5o

得a+Z?+c=-1,得。=一,b=—

22

/(x)=-x4--x2+l

22

(2)/'(x)=10x3-9x>0,-3]I。<x<0,或x>\

单调递增区间为(-*°,(n(噜L+8)

4.解:由.=(6,-1)/=(，苧)得「3=0,同=2烟=1

[a+(t2-3)b](-ka+tb)=O,-ka2+tab-k(t2-3)ab+t(t2-3)b2=0

-4k+t3-3t=0,k=-(t3-3t),f(r)=l(？-3f)

44

f(t)——t~>0,得或;-1,f>1-t~---<0,得一l<f<l

4444

所以增区间为(-oo,-l),(1,+oo)；减区间为(-1,1)o

(数学选修2-2)第一章导数及其应用[提高训练C组]

一、选择题

1.A/(x)=sinx,/(a)=sina

b

2.A对称轴—]>01<0,/'(x)=2x+8,直线过第一、三、四象限

3.B/'(x)=-3x?+2ax-lWO在(一8,+8)恒成立，A=4«2-12<0=>-73<a<V3

4.C当了21时-，/'(x)>0,函数/(尤)在(1,+oo)上是增函数；当x<l时，/'(x)<0,/(尤)在(一双1)上是减

函数，故/(x)当x=l时取得最小值，即有

/(0)>/⑴J⑵>/⑴，得y(0)+/(2)>2/(1)

5.A与直线x+4y—8=0垂直的直线/为4x—y+〃?=0,即y=在某一点的导数为4,而了=4》3,所以

y=/在(1/)处导数为4,此点的切线为4x-y-3=0

6.A极小值点应有先减后增的特点，即f(x)<0-f(x)=O-f(x)>0

二、填空题

1.6f(x)=3x2-4cx+c2,f(2)=c2-8c+12=0,c=2,或6,c=2时取极小值

2.(-co,+00)y'=2+cosx>0对于任何实数都成立

3.—/(x)=-siny[3x+<p)(y/3x+(p)=-A/3sin43x+<p)

6

/(X)+/'(X)=2CO(9s/3x+^+y)

T[T[

要使f(x)+f\x)为奇函数，需且仅需(p=kjr—^kE.Z,

TTIT

BP：(p=k7r+—,keZ。又0<e<〃，所以上只能取0,从而°=一。

66

4.(7,+oo)XE[T,2]时，/(x)max=7

5.2n+l-2y，=2=-2"T(〃+2),切线方程为:y+2"=-2"T(〃+2)(x-2,

令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为%=(«+1)2"，所以‘』=2",则数列[/上]的前〃项

n+1[n+1J

一_2(1—2")

“1-2

三、解答题

1.解：y=(l+cos2x)3=(2cos2%)3=8COS6X

y=48cos5x-(cosx)=48cos5x•(一sinx)

=-48sinxcos5x。

2.解：函数的定义域为[-2,+oo),y=,---2——=-j=1--71

。21+42>/x+3。21+4V4-x+1

当工2-2时，y>0,即[—2,+8)是函数的递增区间，当工=一2时，ymin=-1

所以值域为［-1,+8)。

3.解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f\x)=3x2+2ax+b

2I74

由/'(_§)=瓦_§。+/,=0,f(1)=3+2。+6=0得。=_2/=_2

f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数/(x)的单调区间如下表：

y,-1)2

X1(l,+8)

3

——

f'M十00+

/(x)t极大值j极小值T

所以函数/(x)的递增区间是(—8,-g)与(1,+8),递减区间是(-g,1)；

(2)/(x)=x3-1x2-2x+c,xe[-l,2],当x=—g时，/(-|)=||+c

为极大值，而/(2)=2+c,则/(2)=2+c为最大值，要使/(X)<C2,XW［—1,2］

恒成立，则只需要>/(2)=2+c,得c<—l,或c>2。

_,、x2+ax+b

4.解：设>ng(x)=---------

X

•••/(x)在(0,1)上是减函数,在［1,+oo)上是增函数

:.g(x)在(0,1)上是减函数,在［1,+8)上是增函数.

g'⑴=04-1=0a-1

解得4

方⑴=3a+b+1=3b=i

经检验，a=l/=l时，/(x)满足题设的两个条件.

(数学选修2-2)第二章推理与证明[基础训练A组]

一、选择题

1.B5—2=3,11—5=6,20—11=9,推出X—20=12,x=32

2.Da+-+b+-+c+-<-6,三者不能都小于—2

hca

3.D①胫+而+直=南+反二衣+直二七®2BC+DC=AD+DC=AC

③屋+丽=丽=/；®2ED-~FA=~FC-~FA=7^C,都是对的

27r7171

4.D7=丝=2，[0,々]已经历一个完整的周期，所以有最大、小值

422

5.B由q+%=%+%知道C不对，举例=几，%=1,%=8,%=4,%=5

3

6.clog2[log3(log4x)]=0,log3(log4x)=1,log4x=3,X=4=64

4

log3[log4(log2x)]=0,log4(log2x)=l,log2x=4,x=2=16

log4[log2(log3x)]=0,log2(log3x)=1,log,x=2,x=9

x+y+z=89

1■1111

7-Dy=bL'%=-记

二、填空题

1.〃+几+1+…+2〃-1+2〃+…+3〃-2=(2〃-1)~,〃wN注意左边共有2〃一1项

2.1/'(x)=ax2—2x+a—,有最小值，则a>0,对称轴x=,，/(x)min=/(1)=-1

aaa

即/(3=4,(与_2''+”!=0,"2=_1,42+”2=0,(4>0)=>"]

aaaaa

2z/r.2»2(。+。)(V^+V^)22

3.x<yy=(Ta+b)-=a+b=--------->--------------=x

4.1555121g2<m<5121g2+l,154.112<m<155.112,mGAT*,m=155

5.1000前10项共使用了l+2+3+4+...+10=55个奇数，％。由第46个到第55个奇数的和组成，即

10(9109)

a10=(2x46-l)+(2x47-l)+...+(2x55-1)='^=1000

三、解答题

1.若a,/?,/都不是90°,且a+力+了=90°,JHiJtanatanp+tanptany+tanatan/=1

2.证明：假设/(x)=0有整数根”，则。〃2+b〃+c=0,("wZ)

而/(0),/(I)均为奇数，即c为奇数，a+匕为偶数，则a,O,c同时为奇数'

或a力同时为偶数，c为奇数，当〃为奇数时，a〃2+/m为偶数;当“为偶数时，也为偶数，

即a/+c为奇数，与mJ+/>〃+，=()矛盾。

••./(x)=0无整数根。

c、十E+b+ca+h+cCPca

3.证明：要证原式，只要证-------1-----------=3,即1N-----1--------=1A

a+hb+ca+bh+c

即只要证=1,而A+C=28,8=60°,〃^a2+c2-ac

ab+b+QC+/?C

22122

.・.-h-c--+--c-----\--a---+--a--h-=-------h-c--+--c---+--c--T--+--a--b-------=-b-c---+--c-----}--a---\---a-h-=1.

ab+b2+ac+beah+a2+c2-ac+ac+beab+a2+c2+foc

JTTTTTTTTT

4.解：(1)由对称轴是x=f,得sin(i+夕)=±i，i+/=%乃+°%乃+1,

而一万<°<0,所以°=一1"

371371

(2)/(%)=sin(2x-^),2kjr-—<2x-］乃<2%)+彳

7T、冗TT5乃

k7T-\•一<x<k/i-\-——,增区间为伙4+一,攵4+——］,(kGZ)

8888

33

(3)/(x)=sin(2x一一九),/(x)=2cos(2x-一^)<2,即曲线的切线的斜率不大于2,

44

而直线5x-2)，+c=0的斜率|>2,即直线5x-2y+c=0不是函数y=/(x)的切线。

(数学选修2-2)第二章推