2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第16讲导数的应用-导数与函数的极值最值学生版

第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值思维导图学问梳理1．函数的极值(1)函数的微小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的微小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．题型归纳题型1利用导数解决函数的极值问题——依据函数图象推断函数极值【例1-1】如图是函数的导函数的图象，则函数的极大值点的个数为A．3 B．2 C．1 D．0【例1-2】函数的图象如图所示，则关于函数的说法正确的是A．函数有3个极值点 B．函数在区间上是增加的 C．函数在区间上是增加的 D．当时，函数取得极大值【跟踪训练1-1】已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是A．在区间上为减函数 B．在处取得微小值 C．在区间，上为增函数 D．在处取得极大值【跟踪训练1-2】已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点【名师指导】由图象推断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．题型2利用导数解决函数的极值问题——已知函数求极值或极值点【例2-1】已知函数，则的极大值点为A． B． C． D．【例2-2】函数的一个微小值点为A． B． C． D．【跟踪训练2-1】函数的微小值是A．4 B．2 C． D．【跟踪训练2-2】函数的极大值为．【名师指导】求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f′(x)，不要遗忘函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．题型3利用导数解决函数的极值问题——已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例3-1】若函数存在极值点，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【例3-2】若当时，函数有两个极值点，则实数的取值范围是A．， B． C． D．【跟踪训练3-1】已知时，函数取得极大值，则A． B． C．4 D．2【跟踪训练3-2】已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是．【跟踪训练3-3】已知函数为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是．【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：依据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证根的合理性．题型4利用导数求函数的最值【例4-1】已知，若，求函数的最小值．【例4-2】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在，上的最大值和最小值．【跟踪训练4-1】函数在，上的最大值为2，则的值为A． B．2 C．5 D．【跟踪训练4-2】函数在，上的A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 C．最小值为1，最大值为 D．最小值为1，最大值为【跟踪训练4-3】已知函数，且（1）．（1）求的值；（2）求函数在区间，上的最大值．【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．题型5利用导数求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】已知函数，（Ⅰ）若，求证：当，时，恒成立；（Ⅱ）当时，求在区间，上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数存在极大值和微小值，且极大值和微小值的差不超过4，求的取值范围．【跟踪训练5-1】已知，．（1）若在处取极值，求在点处切线方程；（2）若