2024春新教材高中数学4.2.1指数函数的概念教学设计新人教A版必修第一册

指数函数的概念一、教学目标1.理解指数函数的概念与意义，驾驭指数函数的定义域、值域的求法．(重点)2.理解指数函数增长变更快速的特点(难点)3.培育勇于探究的精神，体会由特殊到一般的探讨方法，发展数学核心素养。二、教学重难点1.重点：理解指数函数的概念与意义，驾驭指数函数的定义域、值域的求法．2.难点：理解指数函数增长变更快速的特点；三、教学过程（一）、创设问题情境对于幂ax(a【设计意图】开宗明义，通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出探讨课题：指数函数。培育和发展数学抽象和数学建模的核心素养。（二）、探究新知问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2011年起实行了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比较两地景区游客人次的变更状况，你发觉了怎样的变更规律？为了有利于视察规律，依据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区实行不同措施后的15年游客人次的图视察图象和表格，可以发觉，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变更规律．我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发觉游客人次的变更规律呢？请你试一试．从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

2002做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变更规律的两个很重要的量．结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数像这样，增长率为常数的变更方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．明显，从2001年起先，Ｂ地景区游客人次的变更规律可以近似描述为：１年后，游客人次是2001年的1.111倍；２年后，游客人次是2001年的1.112倍；３年后，游客人次是2001年的1.113倍；……x年后，游客人次是2001年的1.11x倍．假如设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y＝1.11x（x∈[0，＋∞））．①这是一个函数，其中指数x是自变量．【设计意图】探究1.通过景区门票价格制定与参观景区人数，两个变量函数关系的建立，体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养.通过典例问题的分析，让学生体验实际问题分析方法，及指数函数变更特点。培育分析问题与解决问题的实力；问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．依据上述变更规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，假如把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p)3；……死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p)5730．依据已知条件，（1-p)5730＝12,从而1-p=(12设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x，即y=((12)15730)假如用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和(，那么函数y＝1.11x和y可以表示为y=【设计意图】探究2.通过生物体死亡时间与体内碳14含量，函数关系的建立，体会指数函数应用的广泛性，并建立指数函数的概念。体会由特殊到一般的探讨方法，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养；指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.思索：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?1．思索辨析(1)y＝x2是指数函数．()(2)函数y＝2－x不是指数函数．()(3)指数函数的图象确定在x轴的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√（三）典例解析例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0,且a≠1),且f(3)=π求f(0)，f(1)，f(-3)的值；分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；解：因为f(x)＝ax,且f(3)=π,则a3=π，解得a

=于是f(x)＝πx3，所以f(0)=π0=1，f(1)=π13=3π，f跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且f-则f(－2)＝________.解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得aeq\s\up12(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).[规律方法]1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必需位于指数的位置上；(3)ax的系数必需为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法例2（1）在问题１中，假如平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变更状况．解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f（0）－g（0）＝412000．当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；依据上述数据，并考虑到实际状况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给A地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给B地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．【设计意图】通过典例分析，进一步熟悉指数函数的概念，及相识到指数函数变更快速的特点；三、当堂达标1．下列函数确定是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2xD．y＝3－x【答案】D[由指数函数的定义可知D正确．]2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）．【答案】C[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．]3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)[由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则