四川省绵阳市2024-2025学年高二数学上学期10月月考试题

2024年秋季2024级10月月考数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线x+1＝0的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．不存在2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（

）A． B． C．D．3．直线l：2x﹣3y+6＝0在x轴上的截距是（）A．(﹣3，0) B．(3，0) C．-3 D．34．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（

）A．B．C． D．5．在同始终角坐标系中，表示直线y=ax与y=x﹣a正确的是（

）A．B．C．D．6．如图与所在平面垂直，且，，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为（

）A．B．C．D．7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段B1C上的动点，则点P到直线AC1的距离的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（

）A．B．C．D．10．已知直线l1：，l2：，下列命题中正确的是（

）A．若l1⊥l2，则m＝0 B．当m＝0时，是直线l1的一个方向向量C．若l1∥l2，则m＝2或m＝﹣2D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝411．已知四面体ABCD的全部棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．下列结论正确的是（

）A．若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线B．线段MN的长度为C．异面直线MN和CD所成的角为D．FM+FN的最小值为212．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（

）A．B．存在一点，使得C．三棱锥的体积为D．若，则面积的最小值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案干脆填在答题卡中的横线上.）13．一条光线从点P(6,0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2,8),则反射光线所在的直线方程为．14．直线和直线分别过定点A和B，则．15．二面角的棱上有两个点A、B，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为．16．若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时，．四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（满分10分）已知平面直角坐标系内三点．(1)求直线的斜率和倾斜角；(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标及CD所在直线方程；(3)若是线段上一动点，求的取值范围．18．（满分12分）已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)若与垂直，求．19．（满分12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．(1)求直线的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．①角A的平分线所在直线方程为；②边上的中线所在的直线方程为．若_____，求直线的方程．(注：假如选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．)20．（满分12分）空间中，两两相互垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，假如坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它随意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．(1)若，，求的斜60°坐标；(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①求的斜60°坐标；②若，求与夹角的余弦值．21．（满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为的中点，点F在棱上，且PC=3PF，点G在棱PB上，且．(1)求证：面；(2)当时，求点G到平面AEF的距离；(3)是否存实数，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．（满分12分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．(1)若P是线段BC的中点，求证：C1P//平面；(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值．2024级高二上学期10月月考试题数学（参考答案）单选题：题号12345678答案CBCDADAA二、多选题：题号9101112答案ACABBCDACD三、填空题：13.y=x+614.15.60°16.四、解答题：17.【解答】(1)解：因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为；2分(2)如图，当点在第一象限时，.设，则，解得，故点的坐标为；4分故CD所在直线方程为：，即；6分(3)由题意得为直线的斜率，当点与点重合时，直线的斜率最小，；当点与点重合时，直线的斜率最大，；故直线的斜率的取值范围为，即的取值范围为.10分18.【解答】(1)、，，，且，∴存在实数λ，使得，且，解得，或；6分，，又与垂直，，解得或．12分19.【解答】（1）因为边上的高所在的直线方程为，所以直线的斜率，又因为的顶点，所以直线的方程为：，即；4分（2）若选①，角的平分线所在直线方程为，由，解得，所以点A坐标为，6分设点B关于的对称点为，则，解得，即坐标为，9分又点在直线上，所以的斜率，所以直线的方程为，即．12分若选②：边上的中线所在的直线方程为，由，解得，所以点，6分设点，则的中点在直线上，所以，即，又点在直线上，所以，9分所以的斜率，所以直线的方程为，即直线的方程为．12分【解答】（1）解：由，，知，，所以，所以；3分（2）解：设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①，.6分②因为，所以，则，∵，9分∴，所以与的夹角的余弦值为12分21.【解答】（1）由面面，则，又且，可得：面3分（2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得：，由可得：，设平面的法向量为：，则，∴面的一个法向量为，6分设G(a,b,c)，，则，∴点G到平面AEF的距离为：，即点G到平面AEF的距离为．9分（3）存在这样的.由可得：，则，若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为，∴，即，可得.∴存在这样的，使得四点共面. 12分22.【详解】（1）取中点H，连接，则有，如图，因为中点P，在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，即有，又平面，平面，所以平面.3分（2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，即为四棱锥的高，在中，，，当且仅当时取等号，此时点