第05讲 有理数的乘除法-小升初衔接数学教材（解析版）

第5讲有理数的乘除法【知识衔接】————小学初中课程解读————小学课程初中课程小学数学中，要求在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系,能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。初中数学中，掌握有理数的加、减、乘、除及简单的混合运算（以三步以内为主）.————小学知识回顾————乘法（1）求几个相同加数的和的简便运算叫乘法。（2）相乘的两个数叫因数。（3）因数相乘所得的数叫积。（4）两个因数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，这叫乘法交换律。（5）三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变，这叫乘法结合律。（6）小数乘法的计算法则

计算小数乘法，先按照乘法的法则算出积，再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

（7）一位数乘多位数乘法法则

1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数；

2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。

（8）一个因数是两位数的乘法法则

1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐；

2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐；

3、然后把两次乘得的数加起来。（9）分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。（10）分数乘整数：分子与整数相乘的积做分子，分母不变，或者整数和分母约分的积。（11）分数乘分数：分子相乘做分子，分母相乘做分母。特别注意，当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

二、除法（1已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法。（2）在除法中，已知的积叫被除数。（3）在除法中，已知的一个因数叫除数。（4）在除法中，求出的未知因数叫商。（5）除数是整数除法的法则

除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

（6）除数是小数的除法运算法则

除数是小数的除法，先移动除数小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移几位，被除数小数点也向右移几位（位数不够在被除数末尾用0补足）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。（7）除数是一位数的除法法则

1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数；

2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面；

3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。

（8）除数是两位数的除法法则

1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小，

2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商；

3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。（9）分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。三、混合运算计算法则1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算；2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减；3、算式里有括号的要先算括号里面的。————初中知识链接————1.有理数的乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,都得0.多个有理数相乘时，积的符号法则：（1）几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为正数；负因数的个数是奇数个时，积为负数。（2）多个因数相乘，有一个为零，则积为0。（3）有理数乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即：（ab）c=a（bc）乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即：a（b+c）=ab+bc4.有理数的除法法则（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数.（2）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0.5.有理数的乘除法混合运算有理数的乘除法混合运算往往将除法转化为乘法，然后按乘法法则确定积的符号，最后求出结果.有理数的乘除是同级运算，应按照从左到右的顺序进行，这和小学里的乘除法混合运算是一致的.【经典题型】小学经典题型1．如果a是一个大于1的任意自然数，那么下面各式中得数最大的是（）A． B． C．【答案】B【解析】A、a的积小于a；B、a的商大于a；C、a（大于1）的商小于；故选：B．2．小强小时走千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】走1千米需要的时间：．故选：C．3．估算下面4个算式的计算结果，最大的是（）A．999×（1） B．999×（1） C．999÷（1） D．999÷（1）【答案】D【解析】由于11＜1，所以，B，C选项中算式的结果小于1，A、D选项中算式的结果大于1；由于99÷（1）＝999×1，11，1，所以，999×（1）＜99÷（1）；即选项D中算式的结果值最大．故选：D．4．甲数是乙数的1.25倍，乙数比甲数少（）A．25% B．75% C．20%【答案】C【解析】（1.25﹣1）÷1.25，＝0.25÷1.25，＝20%．答：乙数比甲数少20%．故选：C．5．一个数的比它的25%少5，这个数是（）A．99 B．100 C．25【答案】B【解析】5÷（25%）＝5，＝100．答：这个数是100．故选：B．6．计算下面各题，能用简便方法算的就用简便方法算．（1）450+450÷18（2）（0.64÷16+1.06）÷22（3）（4）【答案】见解析【解析】（1）450+450÷18，＝450+25，＝475；（2）（0.64÷16+1.06）÷22，＝（0.04+1.06）÷22，＝1.1÷22，＝0.05；（3）[（）]，[]，，，；（4）25%+1÷4，0.250.25+0.25，＝0.25×（1），＝0.25×2，＝0.5．7．用递等式计算．（怎样算简便就怎样算）5020﹣2940÷28×370.253×（）（）×31（0.32）（0.25）+（）【答案】见解析【解析】（1）5020﹣2940÷28×37，＝5020﹣105×37，＝5020﹣3885，＝1135；（2）0.25，（），1，；（3）3×（），＝3×（），＝3，＝2；（4）（）×3，3，＝7×3，＝21；（5）1（0.32），＝11.92，＝1﹣0.24，＝0.76；（6）（0.25）+（），，＝1.1．8．列式计算．①一个数的20%正好是24，这个数是多少？②40%除4，加上2.4的30%，和是多少？【答案】(1)120;(2)10.72【解析】①24÷20%＝120答：这个数是120．②4÷40%+2.4×30%＝10+0.72＝10.72答：和是10.72．9．列式计算．（1）2.74除以0.24的50%，商是多少？（2）【答案】(1)商是（2）故事书有600本．【解析】（1）2.74÷（0.24×50%）＝2.74÷0.12答：商是．（2）360600（本）答：故事书有600本．初中经典题型1．计算的结果等于()A． B． C． D．【答案】D【解析】解：原式=-36，

故选：D．2．计算（–18）÷（–6）的结果等于A．3 B．–3 C． D．−【答案】A【解析】=33．的倒数是（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】互为倒数的两个数乘积为1，故选A．4．绝对值不大于4的整数的积是（）A．16 B．0 C．576 D．﹣1【答案】B【解析】解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，所以它们的乘积为0．故选B．5．已知四个数：2，﹣3，﹣4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（）A．20 B．12 C．10 D．﹣6【答案】B【解析】解：依题意得两个数相乘所得积的最大值是（﹣3）×（﹣4）=12．故选B．6．计算（﹣2）×（﹣3）×（﹣1）的结果是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣8D．5【答案】C【解析】试题分析：根据多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正计算即可．注意乘法要将带分数化为假分数后再计算．解：（﹣2）×（﹣3）×（﹣1）=﹣××1=﹣8．故选C．考点：有理数的乘法．7．下列说法正确的个数有（）①一个有理数不是正数就是负数；②0除以任何数都得0；③两个数相除，商是负数，则这两个数异号；④几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负；⑤两个数相减，所得的差一定小于被减数．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】试题分析：根据题目中的说法，把各个说法正确的说明为什么正确，错误的为什么错误即可解答本题．解：因为有理数包括正数、零和负数，故①错误；0除以任何不等于0的数都得0，故②错误；根据除法的法则可知两个数相除，商是负数，则这两个数异号，故③正确；几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数个时，其积的符号为负，故④中如果几个有理数相乘如果含有0的话，乘积是0，故④错误；5﹣（﹣5）=10，10＞5，故两个数相减，所得的差一定小于被减数是错误的，故⑤错误；故选B．考点：有理数的混合运算．8．以下说法正确的是（）A．如果，那么都为零B．如果，那么不都为零C．如果，那么都为零D．如果，那么均不为零【答案】A【解析】根据非负数的性质，可知时，那么都为零，故正确；根据有理数的乘法法则，0乘以任何数都等于0，可知若ab≠0，a、b均不等于0，故不正确；根据有理数的乘法法则，如果，那么a=0或b=0或a、b都为0，故不正确；根据非负数的性质，可知，那么至少有一个不为0，故不正确.故选：A.9．若|abc|＝－abc，且abc≠0，则＝（）A．1或－3B．－1或－3C．±1或±3D．无法判断【答案】A【解析】∵|abc|=-abc，且abc≠0，∴abc中负数有一个或三个，则原式=1或-3，故选A．10．计算（﹣9）﹣18×（）的结果是．【答案】﹣3．考点：有理数的混合运算．11．计算:(-6)×(-7)×(-)=.【答案】-28.【解析】试题分析：根据有理数的运算法则进行运算可得：(-6)×(-7)×(-)=-28考点：有理数的乘法法则.12．已知，为整数，且，则________．【答案】或【解析】∵4=1×4=2×2=（﹣1）×（﹣4）=（﹣2）×（﹣2），∴a、b可以分解为﹣1与﹣4，1与4，﹣2与﹣2，2与2，∴a﹣b=﹣1﹣（﹣4）=3，或a﹣b=1﹣4=﹣3，a﹣b=﹣2﹣（﹣2）=0，a﹣b=2﹣2=0．故a﹣b=±3或0．故答案为：±3或0．13．若“△”表示一种新运算，规定a△b=a×b-（a+b），则2△[（-4）△（-5）]=______．【答案】27【解析】由题意得：2△[(-4)△（-5）]=2△{(-4)×(-5)-[(-4)+(-5)]}=2△[20-（-9）]=2△29=2×29-（2+29）=27故答案为：2714．计算：78×（﹣）+（﹣11）×（﹣）+（﹣33）×=_________．【答案】-60【解析】解：78×（﹣）+（﹣11）×（﹣）+（﹣33）×=78×（﹣）+（﹣11）×（﹣）+33×（﹣）=﹣×（78﹣11+33）=﹣×100=﹣60，15.计算：（1）（2）（﹣4）×2×（﹣0.25）（3）（4）【答案】（1）﹣；；（2）2（3）﹣4；（4）﹣；【解析】试题分析：（1）按照加法法则计算即可；先判定符号，再计算即可；利用乘法分配律简算；先判定符号，再把除法改为乘法计算即可；解：（1）；=﹣××=﹣；（2）（﹣4）×2×（﹣0.25）=4×2×0.25=2；（3）=×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12）=﹣5﹣8+9=﹣4；（4）=﹣××=﹣；考点：有理数的混合运算．16．计算：（﹣24）×9．【答案】﹣238．【解析】解：原式=﹣24×（10﹣）=﹣240+=﹣238．17．计算：.【答案】7【解析】解：原式＝－8＋14＋1＝7.18．计算：【答案】-24.=（-28）+18+（-14）=-24．19．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求＋m2－cd的值．【答案】3【解析】解：由题意得:a+b=0,ab=1，，原式=4-1=3.【实战演练】————先作小学题——夯实基础————1．在一个乘法算式中，一个因数扩大3倍，另一个因数缩小6倍，积（）。A.扩大3倍B.缩小2倍C.扩大18倍【答案】B2．要使46÷9的商是三位数，里可以填的数字是()。A.7B.9C.8【答案】B3．当x=1.5时，0.75÷x()0.05。A.﹥B.﹤C.=D.≈【答案】A4．下面三个算式中，商的中间有0的是()。学科网A.244÷6B.512÷5C.425÷3【答案】B【解析】【考点】整数的除法及应用解：A、244÷6=40……4；B、512÷5=102……2；C、425÷3=141……2故答案为：B【分析】三位数除以一位数，商是三位数，如果商的最高位后面哪一位上不够商1，要商0，由此计算后选择即可.5．下列算式中与99÷0.03结果相等的式子是（）。A、9.9÷0.003B、990÷0.003C、9900÷30【答案】A6．34．5除以5的商减去8与0．2的积，得多少？正确列式是（）A、（34．5÷5－8）×0．2B、34．5÷5－8×0．2C、34．5÷（5－8×0．2）【答案】B7．下列算式中，得数最大的是（）。A.2+B.×2C.÷2D.2÷【答案】D【解析】通过计算可知：A.2+=2B.×2=C.÷2=D.2÷=3D>A>B>C，故正确选项D。本题主要考查分数的简单计算能力，难度系数-易。8．下面各题中，结果大于的是（）A.÷B.×C.×1【答案】A9．〔870+17×196〕÷6的正确的运算顺序是（）A.加法、乘法、除法B.乘法、加法、除法C.除法、乘法、加法D.乘法、除法、加法【答案】B【解析】试题分析：〔870+17×196〕÷6有括号，先算括号里面的运算，括号里面有乘法和加法，就先算乘法，再算加法，最后算括号外的除法．解：〔870+17×196〕÷6，=（870+3332）÷6，=4202÷6，=7000…2；先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，最后算除法．故选：B．点评：1．一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算．2．一个算式里，如果有括号，要先算小括号里的，再算括号外的．10．下面各组题运算顺序相同的是（）A.2×9÷3和2+9×3B.36﹣9+5和36÷6×5C.56÷7×5和56+7×5【答案】B【解析】试题分析：整数四则混合运算的顺序：先算乘除、后算加减，有括号的先算括号里面的，据此分析各选项算式的运算顺序即可判断选择．解：A、2×9÷3和2+9×3，2×9÷3的运算顺序是从左到右，2+9×3的运算顺序是先算乘法再算加法，二者的运算顺序不相同；B、36﹣9+5和36÷6×5，36﹣9+5的运算顺序是从左到右，36÷6×5的运算顺序也是从左到右，二者的运算顺序相同；C、56÷7×5和56+7×5，56÷7×5的运算顺序是从左到右，56+7×5的运算顺序是先算乘法再算加法，二者的运算顺序不相同；故选：B．点评：本题考查了整数四则混合运算的运算顺序，要明确加减是第一级运算、乘除是第二级运算．11．根据100﹣51=49，49×4=196，153÷3=51列出综合算式是（）A.100﹣51÷3×4B.（100﹣153÷3）×4C.100﹣153÷3×4【答案】B点评：解决这类题目，要分清楚先算什么，再算什么，哪些数是运算出的结果，这些数不要在算式中出现．12．简便计算×6712.5×（13-1.97-3.03）0.125×3.2×0.2555×+46×0.25－【答案】71000.12513．计算题．(1)（1﹣0.75）×（3.9+2.25÷2.5）(2)11÷[10.4+（1﹣÷37.5%）](3)（3﹣3.125）÷0.5%÷0.5(4)32×÷（5.7﹣45×20%×）【答案】（1）解：（1﹣0.75）×（3.9+2.25÷2.5）=（1﹣0.75）×（3.9+0.9）=0.25×4.8=0.25×4×1.2=1×1.2=1.2（2）解：11÷[10.4+（1﹣÷37.5%）]=11÷[10.4+（1﹣1）]=11÷[10.4+0.6]=11÷11=1（3）解：（3﹣3.125）÷0.5%÷0.5=0.25÷0.005÷0.5=50÷0.5=100（4）解：32×÷（5.7﹣45×20%×）=32×÷（5.7﹣9×）=32×÷（5.7﹣4.5）=32×÷1.2=12÷1.2=10【解析】【分析】（1）先算第二个小括号里面的除法，再同时运算两个小括号里面的加、减法，然后算括号外的乘法；（2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，然后算中括号里面的加法，最后算括号外的除法；（3）先算括号里面的减法，再按照从左到右的顺序计算括号外的除法，注意小数的位数；（4）先按照从左到右的顺序计算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，然后算括号外的乘法，最后算括号外的除法．本题主要考查了整数、小数、分数以及百分数的混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．————再战初中题——能力提升————1．下列变形正确的是（）A．2÷8×=2÷（8×）B．6÷（+）=6÷+6÷C．（﹣8）×（﹣5）×0=40D．（﹣2）××（﹣5）=5【答案】D【解析】试题分析：A、乘除是同级运算，应按从左往右的顺序进行，而不能先算乘法，再算除法；B、除法不满足分配律，对于混合运算，有括号应该先算括号里面的；C、根据有理数的乘法法则，几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，可知（﹣8）×（﹣5）×0=0≠40；D、根据有理数的乘法法则计算等号的左边，再与等号的右边比较．解：A、2÷8×=2×=，2÷（8×）=2÷1=2，故错误；B、6÷（+）=6÷=，6÷+6÷=12+18=30，故错误；C、0乘以任何数都得0，（﹣8）×（﹣5）×0=0，故错误；D、（﹣2）××（﹣5）=5，故正确．故选D．考点：有理数的乘法；有理数的混合运算．2．如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（）A．符号相反B．符号相反且绝对值相等C．符号相反且负数的绝对值大D．符号相反且正数的绝对值大【答案】D【解析】试题分析：两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数符号相反且正数的绝对值大．故选:D．考点：有理数3．如图是一个简单的数值运算程序，当输入的x的值为－1时，则输出的值为（）A．-5B．-1C．1D．5【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得运算程序为：－3x－2，当x=－1时，代数式的值为：（－3）×（－1）－2=1．考点：求代数的值．4．的倒数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵×()=1，∴的倒数.故选B.5．的倒数是（）A． B．﹣ C．2 D．﹣2【答案】B【解析】解：=-2，∴的倒数是，故选：B.6．相反数的倒数是()A． B． C．5 D．【答案】C相反数是相反数的倒数是57．如果，那么的值为（）A．6 B． C．-6 D．【答案】B【解析】解：∵6a=1，∴a=故选：B．8．定义一种新的运算：a•b=，如2•1==2，则（2•3）•1=（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：∵，∴（2•3）•1•1=4•1，故选：B．9．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．综上所述：的可能值的个数为4．故选A．10．如果++=-1，那么+++的值为（）A．B．C．0D．不确定【答案】C【解析】解：，所以，，中有一个正数，二个负数．不妨设，，，则．故选．点睛：本题考查了有理数的除法，利用得出a、b、c有一个正数，二个负数是解题关键．11．﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积为_________．【答案】【解析】解：﹣（﹣）的相反数是﹣，﹣的倒数是﹣，﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积是﹣×（﹣）=，故答案为：．12．某种衬衫每件的标价为120元，如果每件以8折（即标价的80%）出售，那么这种衬衫每件的实际售价为_________元．【答案】96【解析】解：依题意，得120×80%=96元．故答案为：96．13．计算：=_______．【答案】【解析】原式=.故答案为：-．14．若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为___