ch4-3脉冲响应不变法和双线性变换法(部编)课件

数字信号处理

(DigitalSignalProcessing)

信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地24.1模拟低通滤波器设计4.2模拟域频率变换4.3脉冲响应不变法4.4双线性变换法4.5利用MATLAB设计IIRDF2第4章IIR数字滤波器的设计(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法34

问题的提出脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法设计DF的步骤4.3脉冲响应不变法

(ImpulseInvariance)45问题的提出5如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换6脉冲响应不变法的基本原理6

对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。

3．计算h[k]的z变换得到H(z)。7脉冲响应不变法的基本原理7H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTz变换对h(t)等间隔抽样得脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:8脉冲响应不变法的基本原理8

脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTZ变换9脉冲响应不变法的基本原理9H(ejW)和H(jw)的关系无混叠时：

数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器在w点的频率响应只差一个常数因子1/T。

数字频率W与模拟频率w的关系为W=wT例1:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：利用H(s)与H(z)的映射关系，可得AF与DF的频率响应分别为其中W=wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下10例1:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：051015202500.20.40.60.81HzDFAFfsam=50Hz11例1:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：02040608010000.20.40.60.81HzDFAFfsam=200Hz1213脉冲响应不变法的基本原理13脉冲响应不变法的优缺点

缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。

优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性W=wT14脉冲响应不变法设计DF的步骤将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。Wp,Wswp,wsH(s)H(z)w=W/T设计模拟滤波器脉冲响应不变法1415脉冲响应不变法设计DF的步骤[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs)numa,dena：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法的MATLAB实现15例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB，T=1s。解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W/T。wp=0.2p,ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB(2)设计模拟低通滤波器（BW型）=2=0.718516解：(3)将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

极点为s1=-0.5081+0.5080j,s2=-0.5081-0.5080j利用

可得DF的系统函数为17例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB，T=1s。%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecficationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');18例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB，T=1s。%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));

numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));

xlabel('Normalizedfrequency');

ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);

fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));

fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));19例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB，T=1s。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dBAp=1.72dBAs=14.2dB20例2：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB，T=1s。21双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤4.4双线性变换法2122双线性变换法的基本原理22原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统用梯形面积近似积分23原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统双线性变换法的基本原理23将H(z)和H(s)比较可得24双线性变换法的基本原理24

稳定性分析令s=

+j，则有25双线性变换法的基本原理251)s<0,|z|<1S域左半平面映射到z域单位圆内2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虚轴映射到z域单位圆上S域右半平面映射到z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统

稳定性分析26双线性变换法的基本原理26令s=jw，z=ejW

，则有W和w

的关系为

W和w

的关系27双线性变换法的基本原理)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww27

双线性变换的频率非线性对DF幅度响应的影响28双线性变换法的基本原理28

双线性变换法的优缺点

缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真

优点：无混叠29双线性变换法设计DF的步骤将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。2930Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)numa,

dena：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,

dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB30双线性变换法设计DF的步骤解：设双线性变换中的参数为T(1)

将DF的频率指标转换为AF的频率指标(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc

=wp故31例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计

一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器

结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=2。

32例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计

一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：双线性变换法设计的DF的系统函数为脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为取Wp

=0.6p，令z=ejW

，可分别获得两者的幅度响应。33例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计

一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脉冲响应不变法双线性变换法Wp

=0.6p

脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。

3dB34例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计

一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;35例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计

一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2Ap

2db,As

15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）=2=0.801336解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

37例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')38例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[Wp

Ws];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));39例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945As=15.000040例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换Ap=0.3945As=15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变Ap=1.1187As=12.362841例4：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB42非低通IIR数字滤波器的设计Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器复频率变换

注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器

方法一4243非低通IIR数字滤波器的设计Wp,WsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器z域变换43

方法二例5：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:

脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。

(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标

取T=2，利用得模拟带阻指标为wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=11rad,

Ap

1dB,As

10dB44解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=11rad,

Ap

1dB,As

10dB模拟带阻指标45例5：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(3)设计原型BW型模拟低通滤波器Ap

1dB,As

10dB原型模拟低通指标原型模拟低通滤波器的系统函数为

46例5：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器(5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器

例5：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。48利用MATLAB实现IIR数字滤波器确定数字滤波器的阶数及3dB截频Wc[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)

其中Wp,Ws为归一化角频率。

例Ωp=0.1π,则Wp=0.1

若为带通或带阻滤波器，则Wp=[Wp1,Wp2];Ws=[Ws1,Ws2]48BW型数字滤波器49利用MATLAB实现IIR数字滤波器49确定DF系统函数分子、分母多项式

低通

[num,den]=butter(N,Wc)

高通

[num,den]=butter(N,Wc,'high')

带通

[num,den]=

butter(N,Wc)

其中Wc=[W1,W2]

带阻

[num,den]=butter(N,Wc,'stop')

其中Wc=[W1,W2]BW型数字滤波器50利用MATLAB实现IIR数字滤波器50确定数字滤波器的阶数及参数Wc[N,Wc]=

cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As)DF系统函数分子、分母多项式的确定

低通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc)

高通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'high')

带通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc)

带阻

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'stop')*带通、带阻中W=[W1,W2]CBI型数字滤波器51利用MATLAB实现IIR数字滤波器51确定数字滤波器的阶数及参数Wc[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As)DF系统函数分子、分母多项式的确定

低通

[num,den]=cheby2(N,As,Wc)

高通

[num,den]=cheby2(N,As,Wc,'high')

带通

[num,den]=

cheby2(N,As,Wc)

带阻

[