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1.元素法的步骤:1）作图，2）在区间内，任取一小区间则相应于该区间上的微分元素为3）写出定积分的表达式：定积分区间选积分变量复习1oyx其面积元素为：则面积为上曲线下曲线xoy2.平面图形的面积曲边梯形的面积:2xyocdy+dyyxoycdy+dyy其面积元素为：则面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积:35-4体积

旋转体就是由一个平面图形绕这圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积旋转轴．平面内一条直线旋转一周而成的立体．该直线叫做特点：垂直于轴的截面是圆.1.旋转体定义：4旋转体的体积为取积分变量x，在上任取小区间取以为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积近似xyoxyo围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.求由连续曲线直线x=a、x=b(a<b)及x轴所2.方法：于以为底半径，以为高的扁圆柱的体积，即体积元素5类似地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.6解例1

求y2＝4x,x[0,4]绕x轴旋转时形成的旋转体的体积取积分变量为x,则积分区间为在[0,4]上任取小区间则该薄片的体积元素为则所求的体积为7例2所围成的图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积V.oxyy=1由解取积分变量为x,则积分区间为在[0,1]上任取小区间则该薄片的体积元素为则所求的体积为8例3

求抛物线与直线所围的图形绕x轴解如图：联立方程组得交点坐标为取x为积分变量，则于是体积元素为：则所求体积为旋转所得立体的体积.oxy29解上半椭圆的方程为：由公式知：同理得椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：例4求由椭圆绕x轴旋转所成旋转体的体积.10例5所围成的图形绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积V.解体积元素为取积分变量为y,oxyy=1由11求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例6解由公式所求的体积为12解求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例6旋转体的体积为13二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，立体体积立体的体积也可用定积分来计算.上垂直于一个定轴的各个截面面积，这个表示过点且垂直于轴的截面面积.那么，为的已知的连续函数.但却知道该立体14解建立如图的坐标系.则底圆方程是：一个直角三角形.两直角边的长分别为例7一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，底圆交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.并与过点且垂直于轴的截面是及即及则截面面积为从而得体积元素为x15在闭区间上作定积分，便得所求立体的体积16解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.例8垂直于x轴的截面为等腰三角形半径为R的圆面积的四分之一17体积元素为旋转体的体积为体积元素为旋转体的体积为1.绕x

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