重难点01 数轴上的动点问题 专项讲练（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

重难点01.数轴上的动点问题专项讲练1.学会用动态思维、方程的思想去分析问题和解决问题；2.学会抓住动中含静的思路（动时两个变量之间的关系，静时两个变量之间的关系）；3.掌握数轴上动点的移动规律，结合分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。题型探究题型1、单动点问题 2题型2、单动点问题（规律变化） 4题型3、双动点问题（匀速） 7题型4、双动点问题（变速） 9题型5、多动点问题 13题型6、动点中的新定义问题 16培优精练A组（能力提升） 20B组（培优拓展） 30数轴动点问题属于各版本七年级上册必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。1.知识储备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，（1）则AB两点间的距离；（2）AB的中点对应的数为：。2.数轴动点问题主要步骤：①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示；③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。注意：要注意动点是否会来回往返运动。题型1、单动点问题例1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？(3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．

变式1.（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（

）①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式2．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．(1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数；(2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数；(3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值

题型2、单动点问题（规律变化）例1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（

）A． B． C． D．变式1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是个单位．变式2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…….(1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次；(2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s；(3)第n次移动后，点Q运动时间为______s.(4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由.题型3、双动点问题（匀速）例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．变式1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．(1)则点对应的数是，点对应的数是；(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．

变式2．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

(1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来．(2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．题型4、双动点问题（变速）例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)．变式1．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示．动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值；(2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________．(3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．

变式2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．(1)______，______，______；(2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值．题型5、多动点问题例1．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足．(1)；；线段的长；(2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．变式1．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是，点表示的数是（用含的代数式表示）；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

变式2．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．题型6、动点中的新定义问题例1．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，．(1)原点O（填“是”或“不是”）“关联点”；(2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数；(3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为．(4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系．变式1．（2023·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．变式2．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．

初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；(2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．A组（能力提升）1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（

）①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．A． B． C． D．2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（

）A． B． C．或 D．或4．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时，5．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？6．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是；写出【N，M】美好点H所表示的数是．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？7．（22-23七年级下·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）

(1)填空：线段AB的长为．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由．8．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：）(1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒；(2)求7秒后动点Q所在的位置；(3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由．9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律．规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为：①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）；②（即两点表示的数之差的绝对值）．规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点．（1）则A、B两点间的距离________，A、B两点的中点M表示的数为________；（2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________．【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．（3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________．（4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．10．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？B组（培优拓展）1．（2023·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等．3．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为秒时，、两点到点的距离相等．4．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．5．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1

如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．素材2

：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．问题解决：探索1

动点P从点A运动至点B需要多少时间？探索2

动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；探索3

动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．6．（2023·山东·七年级统考期中）问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为．(1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？(3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为．(4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由．(5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？7．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14．(1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是；(2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为个单位长度；(3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．8．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题：【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①___