高中数学讲义-平面向量的概念

高中数学讲义一平面向量的概念

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一向量的定义与表示.................................................2

3.知识点二特殊向量.........................................................2

4.课堂练习....................................................................2

5.探究点一向量的有关概念...................................................3

5.1.方法技巧................................................................4

5.2.［对点训练］..............................................................4

6.探究点二相等向量与共线向量................................................4

6.1.共线向量与相等向量的判断................................................5

6.2.［对点训练］..............................................................5

6.3.方法技巧................................................................6

6.4.［对点训练］..............................................................6

7.课堂练习.....................................................................7

8.课时作业（一）平面向量的概念...............................................9

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能通过具体的物理情境抽象出向

量的概念.（数学抽象）

1.通过对力、速度、位

水2.理解向量的模的含义及向量的表

移等的分析，了解平面向量

平一示方法.（数学抽象）

的实际背景.

3.理解零向量、单位向量、相等向量、

平行向量（共线向量）的含义.（数学抽象）

2.理解平面向量的意义水能够正确理解向量的含义及相关概

和两个向量相等的含义.平二念并解决相应的问题.（逻辑推理）

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2.知识点一向量的定义与表小

1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.表示方法

(1)几何表示法：用以A为起点,8为终点的有向线段曲表示:

(2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a,4c,…表示向量，手写时,

可写成带箭头的小写字母，二，了，了….

3.向量的模：向量的大小叫做向量的长度(或模),如a,AB的模分别记作

\a\,\AB|.

［点拨］判断一个量是不是向量，关键看它是否具备向量的两要素：大小和

方向，同时具备这两个要素的量是向量，否则就不是向量.

3.知识点二特殊向量

1.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作3

2.单位向量：长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.

3.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量。与力相等,

记作a=b.

4.平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫

做共线向量.向量。平行于小记作山.规定：零向量与任意向量平行.

［点拨］(1)向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，而向量

的模可以比较大小.

(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线

段的起点无关.

(3)在平面上，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量.

4.课堂练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“x”)

(1)0和o相同且o没有方向.()

(2)有向线段的三要素为起点、方向、长度.()

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(3)如果|曲\>\CDI，那么筋>CD.()

(4)若a,万都是单位向量，则a=5.()

(5)若a=A,且&与6的起点相同，则终点也相同.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)X(5)V

2.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下

列说法正确的是()

A.①②③是数量，④⑤⑥是向量

B.②④⑥是数量，①③⑤是向量

C.①④是数量，②③⑤⑥是向量

D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

D[由物理知识可知，密度、路程、质量、功只有大小，没有方向，因此

是数量，而速度、位移既有大小又有方向，因此是向量，故选D.]

3.下列说法正确的是()

A.若同>网，则B.若同=|〃，则

C.若a=b,则D.a^b,贝Ua,方不是共线向量

C[向量不能比较大小，所以A不正确；a=>需满足两个条件：a,万同向

且⑷=网，所以B不正确；a,8是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正

确，故选C.]

4.如图，四边形A3CO和ABDE都是平行四边形，则与曲

相等的向量有.

解析：根据相等向量的定义及平行四边形的性质，与向量前相等的向量

有协，DC.

答案：AB,DC

5.探究点一向量的有关概念

例n*(多选)下列说法正确的是()

A.若同=|加，则a与5的长度相等且方向相同或相反

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B.若同=|回，且a与方的方向相同，贝lja=>

C.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上

D.向量a与向量方平行，则向量Q与6方向相同或相反

BC[A不正确，由⑷=向只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的

关系；B正确，因为⑷=|例，且。与。同向，由两向量相等的条件，可得。=岳

C正确，单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一个点。时，终点

都在以0为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量8若有一个

是零向量，则其方向不确定.]

5.1.方法技巧

1.判断一个量是否为向量的2个关键条件

(1)大小；(2)方向，两个条件缺一不可.

2.理解零向量和单位向量应注意的问题

(1)零向量的方向是任意的；

(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

5.2.[对点训练]

(多选)下列判断正确的是()

A.长度为0的向量都是零向量

B.零向量是最小的向量

C.单位向量的长度都相等

D.单位向量都是同方向向量

AC[由零向量的定义知A正确.由于向量是不能比较大小的，故B不正

确.显然C正确，D不正确.故选AC.]

6.探究点二相等向量与共线向量

例因《如图，0是正六边形A8CDEF的中心，分别写出图中与向量宓,0B,

oc相等的向量，与向量Ab共线的向量.

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解析：与。X相等的向量有宓，前，而；

与加相等的向量有前,EO,DC;

与衣相等的向量有检,F0,ED.

与向量疝共线的向量有9个：DA,EF,FE,AO,OA,OD,DO,

BC,CB.

6.1.共线向量与相等向量的判断

(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.

(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.

(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a,5，c为非零向量，若。〃4b//c,

则可推出a//c.

［注意］对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合

两种情况.

6.2.［对点训练］

在等腰梯形ABCO中，AB//CD,对角线AC与8。相交于点O,E尸是过点

。且平行于A3的线段，在所标的方向向量中：

(1)写出与油共线的向量；

(2)写出与辞方向相同的向量；''

(3)写出与彷，0D的模相等的向量；

(4)写出与。相等的向量.

解析：在等腰梯形ABCO中，AO=3C.

(1)题干图中与福共线的向量有成,E0,OF,EF.

(2)题干图中与辞方向相同的向量有4方,DC,E0,0F.

(3)题干图中与彷的模相等的向量为劭，与质的模相等的向量为求.

(4)题干图中与前相等的向量为赤.

探究点三向量的表示及应用

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例❸*在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发

向西航行了200km到达8点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400km

到达。点，最后又改变航行方向，向东航行了200km到达。点.此时，它完

成了此片海域的巡逻任务.

(1)作出检,BC,CD；

(2)求|疝I，

解析：(1)根据题意，作出油,BC,CD,如图所示,

(2)由题意知AB〃CD,AB=CD.

所以四边形ABC。是平行四边形，

所以AD=BC=400km,

所以|屐)|=400km.

6.3.方法技巧

用有向线段表示向量的步骤

先确定向量:的起点|

--M再确定向量的方向

_d根据向量的长度确定向量的终点］

6.4.［对点训练］

如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格

纸中有A,8两个定点，点C为小正方形的顶点，且|危尸小.

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(1)作出所有的向量危；

⑵求I病I的最大值与最小值.

解析：(1)作出所有的向量危，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点Ci或C2时，|布|取得最小值，为

^/12+22=小；

②当点C位于点C5或C6时，|反：|取得最大值，为4否苧=A/41.

所以|波|的最大值为匹，最小值为小.

7.课堂练习

1.下列说法正确的是()

A.若同=向，则a=±b

B.零向量的长度是0

C.长度相等的向量叫相等向量

D.共线向量是在同一条直线上的向量

B［对A,当⑷=|回时，由于a,方向是任意的，a=±A未必成立，所以

A错误；对B,零向量的长度是0,正确；对C,长度相等的向量方向不一定相

同，故C错误；对D,共线向量不一定在同一条直线上，故D错误.故选B.］

2.已知。为平行四边形A8PC两条对角线的交点，则画的值为()

丽

A.2B.

C.1D.2

C［因为四边形A5PC是平行四边形，。为对角线3c与AP的交点，所以

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。为山的中点，所以股的值为1.]

m

3.如图，四边形A3CO是菱形，则在向量加，心，⑦，血，比和

AD中，相等的有_______对.

解析：AB=DC，BC=AD.其余不等.

答案：2

4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出下列向量:

(1)04,使|苏1=4小，点A在点。北偏东45°方向；

(2)AB,使|屈|=4,点8在点A正东方向.

解析：(1)由于点A在点。北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点。

的横向小方格数与纵向小方格数相等.

又|次|=46，小方格边长为1,所以点A距点。的横向小方格数与纵向

小方格数都为4,于是点A位置可以确定，画出向量倒，如图所示.

-i~~I~~r->r力r-r-r-

■H7-构d-h-

(2)由于点B在点A正东方向处，且|=4,所以在坐标纸上点8距点A

的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点8位置可以确定，画出向量加，

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如图所示.

8.课时作业（一）平面向量的概念

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标]

1.对于向量a与人下列说法正确的是（）

A.若⑷=步|,则。与8是共线向量

B.若|Q|V网,则aVb

C.若存在向量c,使得a〃c且c〃儿则

D.若a=b,则⑷=|可

D[两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能

比较大小，B错误；当c为零向量时，C错误.故选D.]

2.汽车以120km/h的速度向西走了2h,摩托车以45km/h的速度向东北

方向走了2h,则下列命题中正确的是（）

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

C[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以

比较大小.]

3.在△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,

则（）

A.AB与危共线B.DE与西共线

C.AD与能相等D.AD与由）相等

B[如图所示，因为O,E分别是AB,AC的中点，由三角形的中位线定理

可得OE〃BC.所以踮与前共线.]

4.设。是△ABC的外心，则成，曲，前是（）

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A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起点相同的向量

B[因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点。到三个顶点A,B,

C的距离相等，所以能,BO,cb是模相等的向量.]

5.（多选）若。是任一非零向量，）是单位向量，则下列各式错误的是（）

A.⑷>|例B.a//b

C.|a|>0D.|Z>|=±1

ABD[对于A,因为@是任一非零向量，模长是任意的，所以⑷与步|的大

小不确定，故不正确；对于B,不一定有a//b,故不正确；对于C,向量的模

长是非负数，而向量Q是非零向量，故闷>0正确；对于D,\b\=\,故D不正

确.]

6.给出以下说法：

①温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；

②作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；

③/AOB的两条边都是向量.

其中正确说法的序号是.

解析：对于①，由于温度没有方向，故温度不是向量，故①不正确；对

于②，作用力和反作用力大小相等，方向相反，力既有大小又有方向，属于向

量，故②正确；对于③，ZAOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量，故

③不正确.

答案：②

7.如图，AO是某人行走的路线，那么弱的几何意义是某人从A点沿西

偏南方向行走了km.

解析：由题图可知，AO是某人行走的路线，那么痛的几何意义是某人

从A点沿西偏南60°的方向行走了2km.

答案：60°2km

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8.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的

半个棋盘(4X8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中.若马在A处，可跳到

4处，也可跳到4处，用向量筋।,AA1表示马走了“一步”.若马在8处或

C处,则表示马走了“一步”的向量共有个.

解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符

合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合

题意的共8个.所以共有11个.

答案：11

9.如图，D,E,尸分别是正三角形ABC各边的中A点.

(1)写出图中所示与向量应长度相等的向量;

(2)写出图中所示与向量产。相等的向量;BEC

(3)分别写出图中所示向量与向量建，FD共线的向量.

解析：(1)与场长度相等的向量是辞,FD,AF,FC,BD,DA,

CE,EB.

(2)与用相等的向量是在，EB.

(3)与方右共线的向量是危,AF,FC与户力共线的向量是走，EB,

CB.

10.一辆汽车从