高中数学人教A版 习题课时提升作业(十九) 221

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课时提升作业（十九）

对数的运算

15分钟基础练,（15分钟30分）

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.(2015•黄山高一检测)logi53-log62+logi55-log63等于()

A.-2B.OC.lD.2

【解析】选B.logi53-log62+logi55-log63

=(logi53+logi55)-(log62+log63)

=logi5(3x5)-log6(2x3)=logi515-log66=0.

【补偿训练】(2015•杭州高一检测)计算lg5x|g20+(lg2)2二

【解析】原式=lg5x(2lg2+lg5)+(lg2)2

=(lg5)2+2lg2x|g5+(lg2)2=(lg5+lg2)2=(lgl0)2=l.

答案：1

2.(2015•郑州高一检测)已知Iog89二a,log25=b厕Ig3等于()

Aan3c3aD3(a-1)

b^l2(b-l)2(b+l)2b

【解析】选c.因为Iog89=a,所以翳a,居|二a,

所端a,

所以叱举,小二栽二^^二嬴.

3.已知2x=72y=A,且工+；=2,贝!JA的值是()

xy

A.7B.7V2C+7V2D.98

【解题指南】由2x=72y=A,利用指数式与对数式的互化，将x,y表示出来，代入

出=2中求得A的值

【解析】选B.由2x=72y=A可得,x=log2A,y=2log7A,所以工+工二心+三

NxyioynA10g7A

22

=logA2+2logA7=logA(2x7)=logA98=2,^U!A=98,

所以A=7VZ故选B.

[补偿训练】已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且

logxm=24,logym=40,logxyzm=12,贝!!logzm的值为()

A.2B.2C.60D.-60

6060

]

【解析】选C.由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=—,而

111111

logmx=^,logmy=而所以logmz二运彳而;而，故logzm=60.

【拓展延伸】换底公式的记忆口诀

换底公式真神奇才奂成新底可任意,

原底加底变分母，真数加底变分子.

二、填空题（每小题4分，共8分）

4.(log32+log92)-(log43+logs3)=

【解析】(Iog32+log92)-(log43+logs3)

=(log32+log322)-(log223+log233)

=(log32+|log32)-(|log23+|log23)

=|log32x0-Iog23)=|x|log32-log23

於:空巨

口木z

【一题多解】(Iog32+log92>(log43+log83)

/Ig2Ig2\/lg3Ig3\

Vlg3Ig97klg4Ig87

----------人-----------——

2lg36lg24

冬空巨

口木。4

【拓展延伸】利用换底公式化简与求值的思路

对数的运算法则及性质进行部分运算一换成同二趣

次性统一换为常用对数（或自然对数）f化简、通分、求值）

5.（2015•泉州高一检测）已知a=log32,贝（Jlog316+|log324=.（用a

表示）

43

【解析】Iog316+|log324=log32+|log3（2x3）

11

=4log32+-（3log32+log33）=5log32+-log33

L1

=5a+—.

答案：5a+,

【补偿训练】已知In2=m,ln3=n,则Iog246=.（用m,n表示）

【解析】100246=—='n2+ln3

,

I用牛力9924。|n2431n2+ln33m+n

三、解答题

6.（10分）一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低

8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?（lg2ao.3010,lg9.125*0.9602）

【解析】设经过x年，这台机器的价值为8万元，则

8=20（l-0.0875）\BP0.9125x=0.4,

两边取以10为底的对数，

徨x=回0,4__21g2-1〜。（住）

^X-|g0.9125-lg9.125-l-lg9.125-l~（牛

所以约经过10年这台机器的价值为8万元.

【补偿训练】某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平

均每年降低28%,那么几年后每桶的生产成本为20^（lg2«0.3010,lg3«0.4771,

精确到1年）？

【解题指南】设X年后每桶的生产成本为20元面题意列出关于x,50,28%,20

之间的关系式，解出x.

【解析】设x年后每桶的生产成本为20元.

1年后每桶的生产成本为50x(1-28%),

2年后每桶的生产成本为50x(1-28%)^

x年后每桶的生产成本为50x(l-28%)x=20.

所以0.72x=0.4,等号两边取常用对数得

xlg0.72=lg0.4.

的>。4=lg(4xio-l)=Ig4—1

lgO.72一均(72*10-2)一lg72-2

21g2-1

31g2+2lg3-2

0.3010x2-1

3x0.3010+2x0.4771-2

-0.398

》3(年).

-0.1428

所以，约3年后每桶的生产成本为20元.

15分钟提升练,(15分钟30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.(2015•常德高一检测)已知ab=M(a>0zb>0,M^l)zlogMb=x,!jl!JlogMa的值为

()

A.-B.l+xC.l-xD.x-1

X

【解析】选C.logMa=logM-g-=logMM-logMb=l-x,i^C.

【补偿训练】（2015•保定高一检测）已知x,y为正实数则（）

A.2igx+igy=2igx+21gyB.21g8+丫）=2均*-2内丫

C,2|9x|gy=2|9x+2|gyD.21g仅丫）=2b*-2均丫

【解析】选D.由指数与对数的运算性质可得

2lgx+lgy=2lgx2叫故A错.

21gx.2igy=2（igx+igy）=2igxy,故B错.

2igxigy=（2igx）igy,故C错.

2.（2015•蚌埠高一检测）若Igajgb是方程2x2-4x+l=0的两个根，则（lg的值

等

于

11

A2C4

B.2-4-

【解析】选A.由根与系数的关系可知lga+lgb=2,

lgalgb=|,于是（lgj=（lga-lgb）2

=（lga+lgb）2-4lgalgb=22-4x|=2.

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.若Iog34・log48・log8m=log416厕m=.

【解析】由已知得Iog34-log48-log8m

Ig4Ig8Igm

Ig3'ig4"ig8=log3m，而Iog416=2,

所以log3m=2,m=9.

答案：9

【补偿训练】如果Iog23-log34-log45•…•log2oi6M=log525,试求M的值.

【解题指南】利用换底公式将底数转化为相同的，然后约分化简，最后将对数式转

化为指数式求解.

【解析】因为log23-log34-log45-...-log2oi6M

=器詈….揣嘿而1*5=2,所以翳2,即log2M=2,所以M=2?=4.

【拓展延伸】利用换底公式化简求值时应注意的问题

(1)针对具体问题，选择恰当的底数.

(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.

(3)换底公式的正用与逆用.

(4)恰当应用换底公式的两个常用结论.

4.已知lgx+lgy=2lg(2x-3y),则log3的值为

2y

【解析】依题意可得:lg(xy)=lg(2x-3y)，

即xy=(2x-3y)2,

整理彳导：46)2-i36)+9=0,

解得:打或衿

因为x>0,y>0,2x-3y>0,

所以所以iog?：=2.

答案：2

三、解答题

5.(10分)⑴求(Iog23+log89)(log34+log98+log32)+(lg2)2+|g20x|g5的值.

(2)若a,b,c£N*,且满足a2+b2=c2,求log2(l+^)+log2(l+等)的值.

【解析】(1)原式=(log23+|log23)(2log32+|log32+log32)+(lg2)2+

sQ1S

(l+lg2)lg5=|log231log32+(lg2)2+|g2lg5+lg5=y+lg2(lg5+l