高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (29)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（29）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.在三棱锥4-BCD中，△4C0与ABC。都是边长为2的正三角形，且平面4co_L平面3CD,则

该三棱锥外接球的表面积为（）

「

A207rc87r

A,FB.等-TD.y

2.如图，四面体A—BCD中，AB=1,AC=CD=DA=2,当8CA

与面ACQ所成角最大时，四面体A-BCO的体积为（）

1

A.

2

B.c

c.V3

D.不确定

3.已知正四面体P—ABC,Q为团ABC内的一点，记尸Q与平面PA8、PAC,P8C所成的角分别为

a、/?、y,则下列恒成立的是（）

A.sin2a4-siM。+sin2y>2B.cos2a+cos2/?+cos2y>2

ii

C.tan2a+tan2/?+tan2y<1D.tan2a+tan2^+高w1

4.设a,0表示平面，/表示直线，A,B,C表示三个不同的点，给出下列命题:

①若ae/,A&a,Bel,Bea,则/ua；

②若A6a,Ae0,BEa,Be0,则an£=AB；

③若I(ta,A&l,则Aga；

④若A,B,Cea,A,B,Ce0,则a与/?重合.

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.三棱锥P-ABC中，P4_L平面ABC,^ABC=30°,△?!「（；的面积为2,则三棱锥P-4BC的外

接球体积的最小值为（）

A.4兀B.yC.64兀D.等

6.下列命题中，真命题的个数是（）

①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；

③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；

④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.四棱锥S-4BCD的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心。在同一平面内,

当此四棱锥体枳取得最大值时，其表面积等于8+8W，则球。的体积等于（）

A.—B,现空C.167rD,见史

333

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

8.对于四面体A8CD,以下命题中正确的是（）.

A.若AB=AC=AD,贝!MB,AC,4D与底面所成的角相等

B.若ABLCD,ACLBD,则点A在底面BCD内的射影是/BCD的内心

C.四面体4BCQ的四个面中最多有四个直角三角形

D.若四面体ABC。的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为g

6

三、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

9.如图，在四棱锥P-4BCD中，顶点P在底面的投影。恰为正方

形ABCD的中心且AB=2或，设点M,N分别为线段尸£>,PO

上的动点，已知当川V+MN取得最小值时，动点M恰为PO的中

点，则该四棱锥的外接球的表面积为.

10.已知”,6为空间中成60。角的两条异面直线,P为两直线外一点，

过点P可以作个平面与a,b都平行；过点P可以作条直线与a,b均成60。角.

11.已知三棱锥S-4BC的所有顶点在球。的球面上，SA_L平面A8C,△4BC是等腰直角三角形，

SA=AB=AC=2,。是BC的中点.过点。作球O的截面，则截面面积的最小值是.

12.某儿何体的三视图如图所示，正视图为腰长为I的等腰直角三角形，侧视图、俯视图均为边长

为1的正方形，则该几何体的表面积是.

裕视图

13.如图，在直三棱柱力BC-4181cl中，底面为直角三角形，AC=6,^ACB

BC=CC[=V2,P是Be1上一动点，则CP+P占的最小值是.

14.在四面体ABC。中，若AB=CD=*,AC=BD=娓,AD=BC=

四面体ABCD的外接球的表面积为

15.三棱锥P-4BC中，24_1_面48<?,/.ABC=30°,△APC的面积为2,则三棱锥P-48c外接球

体积的最小值为。

16.如图，在正三棱柱ABC—4&G中，AB=2,44=3,则四棱锥

A1-BiGCB的体积是.

17.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此

球的半径为

18.下列各图中A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出4B〃面MNP

的图形序号是.（写出所有符合要求的图形序号）

19.已知棱长为2的正方体内接于球。点P是正方体的一个顶点，点。是正方体一条棱的中点,

则直线PQ被球。截得线段长的最大值为

20.一个帐篷下部的形状是高为2m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为

3〃?的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点。到底面中心01的距

离为

时，帐篷的体积最大？

四、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

21.如图，在四面体A8CC中，AD=2AB=2AC,BD=BC=y^AB，二面角C一4B-0的大小等

于120。，点M,N分别在边BC和OC上，且BM=2MC,DN=2NC.

(/)求证：平面4B0J■平面AMN；

(〃)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

22.如图。四棱锥P—4BCD中，P4ABCD,AD//BC,AB1AD,AD=2AB=2BC=2,PA=2,

点M满足而=2PM.

(1)求证：PB〃平面MAC；

(2)求直线PC与平面MAC所成角的正弦值.

23.如图，四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABC£>,4D〃BC,4B=2AB=2BC=2,PA=2,

点M满足而=2PM.

(1)求证：PB〃平面MAC；

(2)求直线PC与平面MAC所成角的正弦值.

24.在如图所示的多面体中，平面ABBi&L平面A8CZ),四边形ABB14是边长为2的菱形，四边形

ABCQ为直角梯形，四边形BCGBi为平行四边形，且4B〃CD,AB1BC,CD=1.

Bl

(1)若E,尸分别为4a，BG的中点，求证：EF1平面力BlCl：

(2)若44/8=60。，4cl与平面ABC。所成角的正弦值为，，求二面角4一AC】一D的余弦值.

25.如图所示，正四棱锥P-48co中，。为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABC。所成的角的

正切值为渔.

2

(1)求侧面PAO与底面ABC。所成的二面角的大小；

(2)若E是PB的中点，求异面直线与AE所成角的正切值；

(3)问在棱AO上是否存在一点F,使EF1侧面P8C,若存在，试确定点户的位置；若不存在,

说明理由.

26.如图，四棱锥E-ABCD中，底面A8CD为梯形，AB//CD,S.AB=2CD,侧面AOE为等边三

角形，侧面ABE为等腰直角三角形，且NE4B为直角，平面4BE1平面4OE.

(I)求证：平面4BE_L平面8CE；

(11)求平面4。£和平面BCE所成二面角(锐角)的大小.

27.如图，四棱锥尸-4BCD的底面为菱形且N4BC=120°,PA，底

ffiABCD,AB=1,PA=痘,E为PC的中点.

(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小;

(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值;

(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC工平面MBZ)成立.如果存在，求出MC的长；如果不存

在，请说明理由.

28.四面体4一BCO中，AB=AC=AD=BC=BD=3,E是A8上一动点，F、G分别是CD、EF

的中点.

(1)当E是AB中点，CD=3时，求证：DGLBC-,

(2)4E=1,当四面体力-BCO体积最大时，求二面角。-CE—B的平面角的正弦值.

29.在三棱柱ABC-a/iG中，AC=BC=2,乙4cB=120。，。为必当的中点.

(I)证明:41c〃平面BC】。；

(II)若&A=&C,点儿在平面4BC的射影在AC上，且侧面为ABB1的面积为2%，求三棱锥

&一BGD的体积.

30.如图，在四棱锥A-8COE中，平面ABC平面BCQE,Z.CDE=Z.BED=90°,AB=CD=2,

DE=BE=1,AC=V2.

(1)证明：ACBCDE；

(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的外接球问题，涉及球的表面积公式的应用，属于较难题目.

解：取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,

由题意知力F1BF,AF=BF,EF=—>

2

易知三棱锥的外接球的球心。在线段EF上，

连接OA,OC,^R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,

求得”=I，

所以其表面积为等.

故选A.

2.答案：A

解析：

本题本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的求法.重点考查求四面体4-BCD的

最大体积，属于基础题。由于底面积固定，所以只要高最大时，体积最大。

解：vAC=CD=DA=2,即△AC。是等边三角形，

S&MD—,,x2X2siit(i()■—.

当A8LBC时，8c与面4C。所成角最大，

此时BC=V22-l2=V3-

^A-BCD=^B-ACD=3^6ACD'%('^^AACD'BC=-X>/3X

故选A.

3.答案：B

解析：

本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用.

利用特殊点，判断四个选项的正误.

解：当。为底面ABC的中心时，设正四面体的棱长为a，则底面三角形的高为:fa，如图QE=9a，

PQ=.a,此时：siMa+siMj?+sin2y=3x（含）

=[,排除选项

/吟2g

COS2a+COS2s+COS2y=3x（/）=->

tan2a+tan2/?+tan2y=3x（金）=1<1>

/V6\2

-^-+-^T+^-3x=24>1，排除。.

tan2atan2ptan2y、虫J

/，唇)飞，&

当。与A重合时，a=£=0。，y=乙4PF,血丫=完

tany=--F-----=------------------=V2

-2a2-a

cos2a+cos2jff+cos2y>2,

tan2a+tan2s+tan2y=2,排除C.

故选B.

4.答案:A

解析：

本题考查平面的基本性质及推论的应用，是基础题.解题时要认真审题，注意空间中点，线，面间的

位置关系的合理运用.

在(1)中，由公理2知a；在(2)中，由公理3知a0夕=48或a,口重合；在(3)中，4Ca或4ea；

在(4)中，只有A,B,C不共线时a与口重合.

①若4Cl,Aea,Bel,BEa,且A,8表示两个不同的点，则由平面的基本性质的公理1,可

得，ua,故正确.

②若若4ea,A&p,B&a,Be£,且4,B表示两个不同的点，分两种情况：若a,夕表示两个

不同的平面，则由平面的基本性质的公理2,可得anS=4B；若a与/?表示相同的平面，则a与口重

合，故不正确.

③若AEl,则不能判定A是否在平面a上，故不正确.

④若A,B,C&a,A,B,Ce£,分两种情况：若A,B,C不共线，由平面的基本性质的公理3,

可得a与/?重合；若A,B,C共线，则不能判定a与夕重合，故不正确.所以其中正确的有1个.

故选4.

5.答案：D

解析：

本题考查线面垂直的性质，球的体积，属于中档题.

由已先求出;P4-4C=2,—^―2r（rA.ABC的外接圆半径），即AC=r,PA=~,再求出R=

2siuMhr

卜+《）2=卜+（>2,从而求出体积•

解：因为P4L平面ABC,/.ABC-3（»,AAPC的面积为2,

所以;P4•4C=2,-^―-2r（rA.ABC'的外接圆半径），

2siikMb

即J4c=r,PA=r

所以三棱锥P-4BC的外接球的半径R=9+与2=卜++>2.当且仅当r=1时，等号成立.

所以三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为.%正：TTx如:.

故选D

6.答案：A

解析：

本题考查棱锥，棱柱，棱台定义的应用，考查空间想象能力，基本知识的考查，利用棱柱，棱锥，

楼台的定义判断选项的正误即可.

解：①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；不满足棱柱的定义，所以

不正确；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；不满足棱锥的定义，所以不正确；

③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；没有说明两个平面平行，不满足棱台定义,

所以不正确；

④侧面都是长方形的棱柱叫长方体.没有说明底面形状，不满足长方体的定义，所以不正确；

正确命题为0个.

故选A.

7.答案：A

解析：解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱

锥，

B

•••该四棱锥的表面积等于8+8通，

设球。的半径为R,则AC=2R,SO=R,如图，

•・•该四棱锥的底面边长为AB=y[2R，

则有(eR)2+4X|XV2RxJ咨R)2+R2=8+88，

•••/?=2>

.•.球0的体积是疑x23=y?r.

故选：A.

当四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于8+8如，确定该四棱

锥的底面边长和高，进一步求得球的半径为R,代入球的体积公式得答案.

本题考查球内接多面体的体积，解题的关键是确定球的半径，是中档题.

8.答案：ACD

解析：

本题考查了空间几何体的结构特征，球的表面积，空间中线线，线面的位置关系，属于中档题.

对于A,根据线面角的定义即可判断；对于B,根据线面垂直的判定和性质可知，。是△BCD的垂心，

对于C在正方体中，找出满足题意的四面体，即可得到直角三角形的个数，对于。作出正四面体的

图形，找到球的球心位置，说明0E是内切球的半径，利用直角三角形，逐步求出内切球的表面积.

对于4选项，因为4B=AC=力。，设点A在平面BCD内的射影是0,

因为sin乙4B。=—,sin/ACO=—,sin乙4D0=—,

ABACAD

所以sinz_480=sm/.ACO=sinz.ADO,

则AB,AC,A。与底面所成的角相等，故A正确；

对于8选项，设点A在平面内的射影是0,

则AOJ■平面BCD,CDu平面BCD,

故A。JLCD,Y.AB1CD,

AOCtAB=A,AO,4Bu平面AB。，

故CZXL平面ABO,又OBu平面ABO,

则CD1OB,

同理可证BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正确；

如图：直角三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4.故C正确；

如图，。为正四面体ABC。的内切球的球心，正四面体的棱长为1；

C

所以。E为内切球的半径，BF=AF=^，BE旌

所以AE=J一；半

因为BO?-0E2=BE2,所以(与一0E)2-0E2=(y)2.

所以。Ej，所以球的表面积为屋，故。正确.

故选：ACD.

647T

9.答案:

解析：

本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，球的表面积计算，属于中档题.

在PC上取对应的点M',显然当M'为PC的中点时，AM'1PC,计算棱锥的高，利用勾股定理计算

球的半径，从而得出球的表面积.

解：依题意知，四棱锥P-ABCD是正四棱锥，在PC上取点M',使得PM'=PM,

则MN=M'N,

当AM，1PC时,取得最小值,

即AN+NW的最小值为AW,

M为PD的中点，

故而W为PC的中点，

•••PA=AC=4,PO=y/PA2-AO2=2百,

设外接球的半径为r,

则产=(2V3-r)2+4.

解得：r=延，

3

,外接球的表面积为47n'2=詈.

故答案为“”.

<>

10.答案:0或1,3

解析：

本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条

件是解题的关键，属于中档题.

解：a,。为空间中成60。角的两条异面直线，尸为两直线外一点，

过点尸分别作。，6的平行线a',b',

则相交线优，b'确定的平面与直线与“，6都平行，

故过点尸可以作一个平面与“，人都平行.

将。、匕平移到同一平面，

则与。、%均成60度的直线有三条(一条在“、b所在平面内，另外两条在空间中)，

。为空间任一点，

则与〃、6成60度的三条直线都可以平移到。点,

二过P可以作3条直线与“，6均成60。角.

故答案为。或1,3.

11.答案：2兀

解析：

本题考查了勾股定理、球的截面圆性质等知识，属于中档题.

过点。作球。的截面，当OC_L截面时，截面圆的半径最小，由此算出截面圆半径的最小值，从而可

得截面面积的最小值.

解：点。是RtAABC的外心，过点。作0。平面ABC使。。=[S4=1,

£

易得。是外接球球心，半径设为R,OA=OS=R,

在直角梯形SA。。中，SA=2,OD=l,AD=>/2,得R=百，

过点。作球。的截面，当OD1截面时，截面面积最小，

此时截面圆的半径为VR2-=V2.

截面面积的最小值是27r.

故答案为27r.

12.答案：省

22

解析：

本题考查几何体的三视图和棱锥的表面积与体积问题，根据三视图复原几何体的形状是本题的关键

难点，属中档题，难度较大，解决此类问题，常常可以在正方体（或长方体）中根据三视图探究几何

体的形状，然后根据面积和体积公式计算即可.

解：在正方体中探究可知几何体的形状是如图所示的四棱锥A-BCD.A,.

5

全面积S=S&I8C+S^ABAi+S^AAiDi+，$A4rOi+S矩号儿

1111广L6L

=-xlxl+-xlxl+-xlxl+-xV2xV2xT+V2xl

=企+1+争

故答案为夜+|+冬

13.答案:5^2

解析：

本题考查棱柱的结构特征及两点之间的距离，属于基础题，沿BCi将ACBCi展开与△力国弓在同一个

平面内，不难看出CP+P4的最小值是的连线.

解：由题意，不难验证AAICIB是直角三角形，沿BG展开，ACGB是等腰直角三角形，

作CE1&G，CE=C1E=1,

2

•••41P+PC=ArC=V7+1=5V2.

故答案为5企.

14.答案：IOTT

解析:

本题考查四面体外接球的表面积，属中档题.

由题意可采用割补法.考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可将其补形为一个长方

体，进而求解即可.

解：由题意可采用割补法.考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,

所以可将其补形为一个长、宽、高分别为x，y,z的长方体,

如图，且M+y2=5,%2+z?=9,y2+z?=6,

则（2/?产=x2+y2+z2=10（R为四面体ABCD外接球的半径）,

即4R2=10兀，所以外接球的表面积S=4nR2=107r.

故答案为10m

15.答案：y7T

解析：

本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题.

由题意画出图形，设AC=x,由AAPC的面积为2,得再由N4BC=30。，得三角形A8C外

接圆的半径r=x,求出球心到平面48c的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等

式求得最小值，代入球的体积公式求解.

解：如图，

B

设4C=x,由△?!0(?的面积为2,得P4=%

v/.ABC=30°,

三角形ABC外接圆的半径r=x,

平面

•••PA1ABC,PA=X

。到平面ABC的距离为d

2X

设球。的半径为R,

则R=Vr2+d2=卜+妥＞V23^2=2.当且仅当x=夜时“=”成立，

三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为“x23=等.

故选,兀.

16.答案:2V3

解析：

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，属于中档题.

连结取BiG的中点E,连结为E,由已知条件推导&E为四棱锥&-BiCiCB的高，由此能求出四棱

锥4-B1GCB的体积.

解：如图，取BiG的中点E,连结&E,易证&E1平面B/CiC,

所以&E为四棱锥4-BiGCB的高，

11——

所以%］传椎人-BCCB=3s矩形88CCx4右=-x(2x3)xV3=2/3.

«)«)

17.答案：12cm

解析：

本题考查了圆柱和球的体积的实际应用.由题意得到球的体积为高为9cm,底面半径为16a〃圆柱的

体积，从而得到结果.

解：•••依题意球的体积为高为9cm底面半径为16cm圆柱的体积，

设球的半径为K,

•申收=71X162X9,

・•・R=12(cm).

故答案为12cm.

18.答案：①③

解析：

本题考查立体几何中的直线与平面平行的判定，属中档题.

根据线面平行判定定理、面面平行的性质定理分析即可确定.

解：①如图，标出C点的位置,

在正方体中，有4C〃MN,ACPMN,MNu平面PMN,

故AC〃平面PMN,

同理可证，BC〃平面PMN,

ACC}BC=C,AC,BCu平面ABC,.♦.平面ABC〃平面PMN,

ABu平面ABC,AB〃平面PMN,故①满足.

②如图，标出。点的位置，取8。的中点0,连接N0,

N为A力的中点，。为8力的中点，

NO//AB,

NO与平面MNP有公共点N,且NO，平面MNP,

与平面MNP不平行，故②不满足.

③取尸上方顶点为C,连接AC,BC,

由题意易证4C〃MN,BC//NP,且ACCBC=C,MNCNP=N,

二平面ABC〃平面NMP。

・•.4B〃平面MVP,故③满足.

④如图，标出C点的位置，E为AC的中点,

易知,ME//AB,

ME与平面MNP有公共点M,且MEC平面MNP,

・•.4B与平面MNP不平行，故④不满足.

故答案为①③.

19.答案：y

解析：

本题考查空间几何体的特征，球与多面体的问题.

解：要使直线PQ被球。截得的线段长最大，则需要P。到球心0的距离最小，则P,。应该在如图

所示的相对位置.

作0M1PQ于点M,易知OQ=V2,PQ=3,OP=V3.AOPQ的面积为］xOQx1=0MXPQ,

所以。"=争"昨析/=|,

所以此时PQ被球O截得的线段长为2Mp=y.

故答案为g.

20.答案:V7

解析：

本题考查利用导函数求最值的方法，解题的关键是求出体积的表达式，设出顶点。到底面中心。1的

距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式；接着求导，求出导函数的零点，即可求出高为

何时体积取得最大值，属中档题.

解：解：设00］为xm,(2<x<5).

则由题设可得正六棱锥底面边长为J32-(x-2"=V5+4x-%2(m).

于是底面正六边形的面积为6x曰x(V5+4x-x2)2=苧x(5+4x-M),

帐篷的体积为，V(x)=V棱柱”棱锥=S底面-也棱柱*h棱谕.

可得"(无)=等x(5+4x—x2)x(x-2)+2]=y(20+21x—x3))

求导数,得叫盼=,(21-3/).

令U'(x)=0解得x=-4(不合题意，舍去)，x=V7.

当2cx<夕时，r(x)>0,V。)为增函数；

当夕<x<5时，V'(x)<0,l/(x)为减函数.

所以当x=77时，U(x)最大.

故答案为近.

21.答案：(/)证明：不妨设AB=1,则4c=1,BC=BD=6,AD=2,

.-.AB2+BD2=AD2,得4BJ.B。，

-MN//BD,.-.AB1MN,

•••BM=2MC,BM=―，

3

•・,Z-ABC=30°,

•••AM=V/1B2+AM2-2AB-AM-cos30°=—.

3

.-.AB2+AM2=BM2,得4B14M,

vAMClMN=M,且AM.AfNC平面AA/N,

：.AB±平面AMN,

•••平面力BD1平面AMNt

(〃)分别以AM,AB为x,y轴，如图建立空间直角坐标系，

•.•二面角C-AB—D的大小等于120。，AB1BD,

不妨设AB=1,D(-今1,|),又有cg,-g,O),B(O,l,O)

设平面4BO的法向量为五=(x,y,z)

由荏=(0,1,0),而=(一/,1,|)

(y=0

得63n

-yx+y+-z=0

得元=(V3,0,1)

又5=(-尾,I)

二0皿=|cos(和记＞|=品=嚼.

解析：本题主要考查了面面垂直的判定以及线面所成角的计算，属于中档题.

(/)由条件证得/81闻/7和/814时，即可得平面」1.UN,从而得面面垂直；

(〃)分别以AM,AB为x,y轴，建立空间直角坐标系，求得面A8O的法向量，利用向量法求解计算.

22.答案：解：(1)连接5Q,交AC于点。，连接OM,

-AD//BC,AD=2BC=2,

・A・D・一=OD—=r2,

BC0B

又丽=2两，

ODDM「

・••一=—=2,

OBMP

・•・0M//PB,

又OMU平面MAC,PB，平面MAC,

・•.PB〃平面MAC；

(2)以AB,A。，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则P(0,0,2),C(l,l,0),4(0,0,0),

则PC=(1,1,-2),AC=(1,1,0),AM=(O.f)p,

设平面AMC的法向量为访=(x,y,z),

rn'-AC=x+y=0,

,取沆=(2,-2,1),

m-AM=-y+-z=0,

.3，3

设直线PC与平面MAC所成角为0,

|无•沆|_y/6

则sin。|PC||m|=~9

解析：本题主要考查了线面平行的判定，直线与平面所成角，利用空间向量来求线面的夹角的正弦

值，考查了逻辑能力和计算能力，属于中档题.

(1)连接8。，交AC于点O,连接OM,通过证明。M〃PB,得出PB〃平面MAC；

(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得出正，前，祠，

通过求得平面MAC的法向量，得出直线尸C与平面MAC所成角的正弦值.

23.答案：解：(1)如图，连接BD,交4c于点O,连接0M

AD//BC,AD=2BC=2,

—AD=—0D=2„,

BC0B

又说=2丽噜=等=2,

A0M//PB,

又0Mu平面MAC,PBC平面MAC,

：.PB〃平面MAC.

p.

(2)以4BMDMP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则P(0,0,2),C(1,1,O),4(000),

PC=(1,1,-2).前=(1,LO),AM=(0,|,|),

r,m-AC=%4-y=0

设平面MAC的法向建为沅=(%,y,z),则｛一24八，

m•AM=-y4--z=0

3Z3

取记=(2,—2,1),

设直线PC与平面M4c所成角为。，贝人in。=£科=号.

1Mll利9

解析：本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角，属于中档题.

(1)由成比例得线线平行，再得线面平行；

(2)构建空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量为沅，可得直线PC与平面AMC所成角的正弦值

同•利_展

I用1网=■

24.答案:解:(1)连接&B,

•••四边形4BB1%为菱形，

・•・ABr1BAlf

•・・平面1平面ABC。，平面n平面4BCD=g8Cu平面ABC。，AB1.BC,

・・・BC1平面ABBMi，

又u平面

:.A±B1BC,

<BC〃BG，

・•・AXB1BC，

B1C1nABr=Bi，/Bi、B1C1u平面/当的，

AiB1平面力BiG.

"E,F分别为4G，BQ的中点，

EF//ArB,

EF_L平面AB©.

(2)设BiG=a,由(1)得BiG1平面

由N&AB=60°,BA=2,得4Bi=2百，AQ=V12+a2.

过点G作C[M1CC,与QC的延长线交于点M,取A3的中点H,连接&H,AM,HD,如图所示:

又Z.A\AD=60",

△4B4为等边三角形，[A-^HLAB,

又平面_L平面ABCD,平面4幽&n平面力BCD=AB,ArHu平面/^当仆

故A/l¥ffiABCD.

・•・BCGBi为平行四边形，

:.CC、“BB\,CC1(t平面力BBiu平面ABB】A，

•••CC1〃平面4BB14,

又,:CD"AB,同理可证CO〃平面4BB遇口

CCjC\CD=C,CC\、CDu平面。C】M,

平面力〃平面DGM,

由(1),得BC1平面力BBi公,

•••BCL平面DCi”,

•.•的用0：平面7)6”,；.8。1.(：1”,

•••BCCCD=C,BC、DCu平面ABCD,

.­.GM_L平面ABCD,

NCi4M是4G与平面ABCD所成角，

•:A\BJIAB,C[BJ/CB,同理可证〃平面ABC。，当口〃平面A8C£>,

nCJBJ=,A/i、GBiu平面AiBiG，

平面4BCD〃平面&BiG,

・•・ArH=GM=b，

siiiZCi.l.W=I'=,解得@=遮.

ACi/z12+出5

在梯形43co中，易证DHL48,

如图，以”为原点，分别以"A,HD,所在直线为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),0(0,73,0),41(0,0,V3),当(一2,0,回0),C(T",0),

由西=(-1,0,遮)，及西=鬲，得Ci=(-2,8,遥)，

,-.Aci=(-3,73,73)，AD=(-1,73,0)，7^=(-1,0,73).

设平面ADC1的一个法向量为记=(%i，yi，Zi),

,n(-3x1+V3yt+Wzi=0

可1-%i+V3yx=0

令力=1，得沅=(8,L2),

设平面AaC1的一个法向量为记=(%2，%*2)，

彳日(-3%2+V3y2+V3Z2=o

1―%2+V3Z2=0

令Z2=1,得元=(V3,2,1).

―♦―示•N3+2+27

「.COS<III.//>一,,—=,......r==

)1/JI|V3+1+4-V3+4+18

又・.,二面角4-AQ-。的平面角是钝角，

4Ci

・•・二面角一/一。的余弦值是—O

解析：本题考查线面垂直的判定与性质及二面角问题，考查空间想象能力、计算能力和推理能力，

属于难题.

(1)转化为证明与平面481cl垂直，进而转化为证明线线垂直解决问题；

(2)先利用几何法找到AC】与平面ABCD所成角，求出&C1，再建立空间直角坐标系，求解二面角余

弦值.

25.答案：解：(1)取A。中点M,连接MO,PM,

依条件可知4。，“。，AD1P0,则NPM。为所求二面角P-4。一。的平面角.

•••P01®ABCD,

NPZ0为侧棱PA与底面ABCD所成的角.

•••tanZ-PAO=—>

2

设4B=Q,AO=­Q，

2

・・-a»

•PO=AO-tanZ-POA=2

tanzPMO=—=V3.

MO

・••乙PMO=60°.

•・・OE//PD,

・・・4。瓦4为异面直线PD与AE所成的角.

•・・AO1BD,AO1PO,

・•.AO_L平面PBD.

又OEu平面PBD,

・•・AO1OE.

vOE=-PD=iVPO2+DO2=叵a，

224

.厂八402^10

tan乙4E。=—=---:

EO5

(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG.

•••BC，平面PMN

.,•平面PMN1平面PBC.

又PM=PN,4PMN=60°,

•••△PMN为正三角形.

MG1PN.又平面PMNn平面PBC=PN,

：.MG1平面PBC.

.•.F是A。的4等分点，靠近A点的位置.

解析：（1）取4）中点M,连接MO,PM,由正四棱锥的性质知4PMO为所求二面角P-力。-。的平

面角，NPA。为侧棱尸4与底面A8C。所成的角，贝iJtan/PA。=渔，设AB=a，则40=辿a，PO=

22

AO-tanZ-POA=MO=tanz.PMO=V3»Z-PMO=60°；

2N

（2）依题意连结AE,OE,则OE〃PD,故40EA为异面直线P。与AE所成的角，由正四棱锥的性质

易证。41平面POB,故△AOE为直角三角形，OE=%PD="PO?+=4，所以tan乙4E。=

224

AO_2-710

EO~5

（3）延长M。交BC于N,取PN中点G,连8G,EG,MG,易得BC工平面PMN,故平面PMNJ■平

面P2C,而APMN为正三角形，易证MG_L平面P8C,取M4的中点尸，连所，则四边形MFEG为

平行四边形，从而MG〃FE,EF1平面P8C,尸是4。的4等分点，靠近A点的位置.

本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，

注意空间思维能力的培养.

26.答案：证明：（1）取4后中点“，BE中点N,连结£>M,MN,NC,

△4DE为等边三角形，M为AE中点

DM1AE,

又•.•平面4DE_L平面ABE,平面4DEn平面4BE=4E,DMADE,

DM1•平面ABE,

vMN为AEAB的中位线，MN=-AB>

2

T7〃1//

乂；CD=-AB>MN=CD'

二四边形CQMN是平行四边形，

：.CN//DM,：.CN，平面ABE,

又CNu平面BCE,二平面ABE，平面BCE.

解：（11）取4力中点0,BC中点凡连结OE、OF,

•••平面4DEJ■平面ABE,nADEdnABE=AE,4Bu平面ABE,AB1AE,

：.AB1平面ADE,又AB〃OF,

•••OFJ_平面ADE,：.OF1OD,OF1OE,

又。E1OD,on,OE,。尸两两垂直，

以。为原点，OD,OF,OE分别为x,y,Z轴，建立空间直角系，

设OD=a,则B(-a,2a,0),C(a,a,0),E(0,0,V3a),

BC=(2a,—a,0)>BE—(a,-2a,V3a)>

设平面BCE的半向量记=(x,y,z),

则B£=2ax-ay=°,取”L得五二皿百)，

n-BE=ax—2ay4-V3az=0

由0尸，平面4。/，得平面ADE的法向量记=(0/，0),

设平面ADE和平面BCE所成二面角(锐角)的大小为氏

则的0=韶=2=圣

|m||n|V824

・•・平面AOE和平面8CE所成二面角(锐角)的大小为全

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

空间思维能力的培养.

(1)取4e中点加，BE中点N,连结CM,MN,NC,推导出四边形C£>MN是平行四边形，由此能

证明平面力BE1平面BCE.

(11)取4。中点。，BC中点F,连结OE、OF,以。为原点，OD,OF,0E分别为x,y,z轴，建

立空间直角系，利用向量法能求出平面ADE和平面BCE所成二面角(锐角)的大小.

27.答案：解：(1)连接AC,BD,设4CnBD=。，

则由P4，底面ABCD,又PAu平面PAC,

得平面PAC1•底面ABCD,平面PACC底面ABC。=AC,

又由底面ABCD为菱形可得BD14C于0,又DOu平面ABCD,

：.DO_L平面PAC.

连接OE,则OE为OE在平面PAC上的射影，

二4DEO即为OE与平面PAC所成的角.

E为PC中点可得EO=-PA=—,

22

由菱形性质可得，在RtAAO。中，Z.ADO=60°,AD=1,

DO=

2

•••在RtADEO中，tanzDEO,

EO3

•••Z-DEO=30

(2)因为P4IJftffiABCD,

AC,BDu平面ABC。，

则P4d.AC,PA1BD,又。E〃PA,

•••OE1AC,OE1BD,

又4CnBD=。，AC,BDu平面ABC。,

所以EO1底面48CD,

又ADu底面ABCD,

EOLAD,

作OF140交AO于尸，连接EF,

OFCOE=0,OF,OEu平面OEF,

ADJ■平面OEF,乂EFu平面OEF,

则EF1AD,

所以NEF。就是二面角E-40-C的平面角,

由A8CZ)是菱形，S.Z.ABC=120°,AB=1,得OF=宜,

4

又OE=^PA=在，

22

•,在RtAOEF中，tauAEFO=^—=2.

Or

(3)过。作。M1PC于M,

贝lj由PA，底面ABCD,PAu底面ABCD,

可得平面PZCJ■底面ABCD于AC,

又BO1AC,BDu底面ABCD,

BD_L平面PAC,PCu平面PAC,

•••BD1PC,

而由OMu平面PAC且OM1PC,

又OMnBD=。，。时,8。<=平面"8£>,

可得PCL平面MBD,

故在线段PC上存在一点M,使PCI平面MB。成立,

在RtAP.4C中，PA=AC=V3,

。为AC的中点，.••4E1PC,又OMIPC,

此时。“〃/IE,所以M是CE的中点，

故CM=：CE=；PC,

在RtAP-iC中，PC=J(V3)2+(V3)2=V6>

所以MC=LpC=渔.

44

解析：本题主要考查了直线和平面所成的角，二面角，直线和平面垂直的判定与性质，需熟练掌握

空间线线，线面，面面垂直的相互转化，属于难题.