2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试题（解析版）

2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1.的绝对值是（）A. B.2024 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．解：，故选：B．2.长春市地铁6号线路总长约为．数字29570用科学记数法表示是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：由题意得，，故选：B．3.将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是（）A.考 B.试 C.成 D.功【答案】B【解析】试题分析：根据正方体相对面的特点及其表面展开图的特征:在这个正方体中，与“你”字相对的字是“试”.故选B．考点：专题：正方体相对两个面上的文字4.若等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为（）A.+ B.﹣ C.× D.÷【答案】C【解析】试题分析：由2a•a=2a2，可知等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为×，故选C．考点：单项式乘单项式5.不等式的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．6.如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键关键．解：，，，，；故选：B．7.如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A.16 B.12 C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，

∵△BCD的面积为4，

∴△BCF的面积为：8．

故选C．【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，反比例函数（）的图象经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接，若E为的中点，的面积为1，则k的值为（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查反比例函数图象与几何综合，用字母表示出的坐标是关键；设，则，，，，结合的面积为1，，即可求解．设，∵矩形，∴，∵矩形，E为的中点，则E也为的中点，∵点B在x轴上，∴E的纵坐标为，∴，∵E为的中点，∴点，∴点，∵面积为1，，∴，∴，解得：．故选：D．二、填空题（每小题3分，共6小题，共计18分）9.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了公式法分解因式．利用完全平方公式分解即可．解：，故答案为：．10.甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n圈．甲两人共跑了______米．【答案】（400m+400n）【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．解：甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n圈．甲两人共跑了(400m+400n)米；故答案为：(400m+400n)．【点睛】此题考查列代数式问题，关键是根据路程=时间×速度解答．11.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处断裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是______m．【答案】18【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题．解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，，所以旗杆折断之前高度为，故答案为：．12.如图，已知菱形的边长为2，、两点在扇形的弧上，，则图中阴影部分图形的面积之和为_____．

【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质．先求出的度数，进而可得出的度数之和，再根据扇形面积的计算公式即可解决问题．解：四边形是菱形，．又，，是等边三角形，，又，．菱形的边长为2，，．故答案为：．13.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式_______．【答案】【解析】【分析】分别求出左右两边图形中阴影部分的面积，即可求解．解：左边图形中阴影部分的面积为，右边图形中阴影部分的面积为，∴验证了公式．故答案为：【点睛】本题主要考查了平方差公式与面积恒等式，利用数形结合思想解答是解题的关键．14.如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接；下列结论：①；②；③；④，其中成立的有_____．【答案】①③④【解析】【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判断①，证明，可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④．解：四边形为平行四边形，，，平分，，，，为等边三角形，，，∴，∵，，，故①正确；，，，，故②错误；∵，∴，，故③正确；，是中点，，，∴，，故④正确；综上分析可知：正确的有①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键．三、解答题（共78分）15.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题主要考查了分式的运算求值、二次根式的化简等知识，掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式运算法则将原式化为最简形式，再将字母值代入运算即可．解：原式，∵，∴原式．16.元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．【答案】小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为【解析】【分析】本题考查了列树状图或列表法进行求概率，先把所有情况列出来，再把满足条件的情况除以总情况数，即可作答．依题意，列树状图如下：共有9种等可能情况，满足小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的情况有3种，则小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．17.某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，求A花束的单价【答案】A花束的单价为26元【解析】【分析】设A花束的单价为x元，则B花束的单价为元，根据用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，列出分式方程，解方程即可．解：设A花束的单价为x元，则B花束的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，答：A花束的单价为26元．18.如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？【答案】（1）平行四边形，见解析（2）且【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【小问1】四边形是平行四边形．理由如下：∵的对角线交于点，∴，∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，∴∴四边形是平行四边形．【小问2】∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴且时，四边形是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．19.如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图．（1）在图①中，找一格点C，连接，使；（2）图②中，在线段上找一点C，连接，使；（3）在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧上找一点C，连接，使．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出符合题意的等腰直角三角形．（1）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即可求解；（2）结合格点图的特点，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解；（3）结合网格图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即可求解．小问1】解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，即为所求；【小问2】解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即为所求；【小问3】解：如图所示，以为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形，则与圆交于点，即为所求．20.某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A类表示主动制止；B类表示反感但不制止；C类表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两幅统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）这次被调查的市民有多少人？（2）估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数．（3）结合本次调查结果，谈谈你对本市市民对他人在公共场所吸烟所持态度的看法．【答案】（1）这次被调查的市民有200人（2）估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数大约为308万人（3）大部分人对他人在公共场所吸烟持反感但不制止或无所谓的态度，为了大家更健康的生活．【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的关联，用样本估计总体：（1）用不吸烟的人数除以其所占的百分比即可得到答案；（2）先求出700万人中，吸烟的人数，再乘以样本中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数占比即可得到答案；（3）由统计图可知，大部分人对他人在公共场所吸烟持反感但不制止或无所谓的态度，为了大家更健康的生活．【小问1】解：人，答：这次被调查的市民有200人；【小问2】解：万人，答：估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数大约为28万人；【小问3】解：由统计图可知，大部分人对他人在公共场所吸烟持反感但不制止或无所谓的态度，为了大家更健康的生活．21.甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）求甲、乙两车的速度；（2）求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式；（3）当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值）【答案】（1）甲的速度为120千米/小时，乙的速度为80千米/小时（2）乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，行驶时间x是4.7小时或6.5小时【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，观察函数图象结合数量关系，列出相关函数关系式是解题的关键．（1）由已知图象求出甲、乙的速度．（2）根据图象上的点先求出乙车从地返回到地的函数解析式，（3）求出甲车从地到地的函数解析式和甲车从地到地的函数解析式，结合（2）列方程组即可解得答案．【小问1】解：由已知图象得：甲的速度为：（千米小时），乙的速度为（千米小时）；【小问2】解：设乙车从地返回到地的函数解析式是，乙的速度为80千米小时，乙到地的时间是（小时），到达地并在地停留半小时后，按原路原速返回到地，返回是在（小时）出发的，图象经过，两点．，解得：，，答：乙车从地返回到地的过程中，与之间的函数关系式为；【小问3】解：甲车的速度是120千米小时，∴甲车到达地需要5小时，即甲车对应图象经过点，甲车从地到地的函数解析式是，甲车从地到地的函数解析式是，由和，解得或，答：当甲、乙两车行驶到距地的路程相等时，行驶时间是4.7小时或6.5小时．22.【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB=4，BC=3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△BEF，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图①，则DE=______．【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．（1）求证：△ADB≌△EDB；（2）CG的长为______．【拓展】连结CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S，直接写出S的取值范围．【答案】[操作]1；[探究]（1）见解析；（2）；[拓展]S的取值范围为．【解析】【分析】[操作】由勾股定理得出BD＝＝5，由旋转的性质得出BE＝BA＝4，即可得出答案；[探究]（1）由HL证明Rt△ADB≌Rt△EDB即可；（2）由矩形的性质和折叠的性质得出∠CDB＝∠EBD，证出DG＝BG，设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；[拓展]由题意得出点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝1，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最小＝EF×CE＝；当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，此时CE⊥EF，CE＝BE+BC＝7，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最大＝EF×CE＝；即可得出答案．[操作]解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴，由旋转的性质得：BE=BA=4，∴DE=BD-BE=5-4=1；故答案为：1；[探究]（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD，∴∠BEF=∠A=90°，BE=BA，∴∠BED=180°-∠BEF=90°=∠A，在Rt△ADB和Rt△EDB中，，∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD=AB=4，∠BCD=90°，∴∠ABD=∠CDB，由折叠的性质得：∠ABD=∠EBD，∴∠CDB=∠EBD，∴DG=BG，设CG=x，则DG=BG=4-x，在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，解得：，即；故答案为：；[拓展]解：∵△CEF的边长EF=AD=3，∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，如图③所示：此时CE⊥EF，CE=BE-BC=4-3=1，△CEF的面积；当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，如图④所示：此时CE⊥EF，CE=BE+BC=4+3=7，△CEF的面积；∴S的取值范围为．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质和矩形的性质是解题的关键．23.如图，在中，，，，为斜边的中线．点从点出发，沿以每秒5个单位的速度向终点运动，过点作于，于，得到四边形，与四边形的一边交于点，连结．设点的运动时间为秒．（1）求线段的长；（用含的代数式表示）（2）当四边形是正方形时，求的值；（3）当将四边形的面积分为两部分时，求的值；（4）作点关于直线的对称点，当点落在四边形内部时，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）（3）或（4）或【解析】【分析】（1）先证明四边形是矩形，利用勾股定理求得的长，由题意得，利用正弦函数的定义即可求得；（2）根据正方形的性质得到，据此列式计算即可求解；（3）分两种情况讨论，当和时，画出图形，分别列式计算即可求解；（4）分别求得点在四边形各边上时的值，即可得解．【小问1】解：，，，四边形是矩形，，，，，由题意得，，；【小问2】解：由（1）得，，当四边形是正方形时，则，即，解得；【小问3】解：根据题意，分两种情况讨论：当时，如图所示：为斜边的中线，，，，，，，即，，解得；当时，如图所示：同理得，由，即，，解得；综上，的值为秒或秒；【小问4】解：点与点关于直线对称，，当点落在边上时，如图所示：此时，，，，，，，四边形是菱形，由（3）得，，，，，，，解得；当点落在边上时，如图所示：此时四边形是正方形，；；当点与点重合时，此时，则；当点落在边上时，如图所示：同理，四边形是菱形，求得，，依题意得，解得；；综上，当点落在四边形内部时，的取值范围是或．【点睛】本题考查勾股定理、正方形性质、矩形的判定与性质、菱形的判定和性质、解直角三角形、直角三角形斜边中线是斜边的一半，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程