高中数学选修12讲义高考四大高频考点例析

高考四大高频考点例析考查方式归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．备考指要对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.eq\a\vs4\al(\x([考题印证]))[例1](陕西高考)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为____________________________________．[解析]观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(n（n＋1）,2).[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(n（n＋1）,2)[例2](全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[解析]法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和3eq\a\vs4\al(\x([跟踪演练]))1．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________________________________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122．先阅读下面的文字：“求eq\r(1＋\r(1＋\r(1＋…)))的值时，采用了如下的方法：令eq\r(1＋\r(1＋\r(1＋…)))＝x，则有x＝eq\r(1＋x)，两边同时平方，得1＋x＝x2，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(负值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋eq\f(1,2＋\f(1,1＋\f(1,2＋…)))的值为________．解析：由1＋eq\f(1,2＋\f(1,1＋\f(1,2＋…)))＝1＋eq\f(1,2＋\f(1,x))，得2x2－2x－1＝0，于是x＝eq\f(1＋\r(3),2)(负值已舍去)，故所求值为eq\f(1＋\r(3),2).答案：eq\f(1＋\r(3),2)3．下面的数组均由三个数组成：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(an，bn，cn)．(1)请写出cn的一个表达式，cn＝______________________________；(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝________．(用数字作答)解析：(1)通过观察归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2101.答案：n＋2n2101考查方式从近几年高考试题看，对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档．备考指要在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.eq\a\vs4\al(\x([考题印证]))[例3](北京高考)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an，则称n是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．(1)对数列A：－2，2，－1，1，3，写出G(A)的所有元素；(2)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G(A)≠∅；(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.[解](1)G(A)的元素为2和5.(2)证明：因为存在an使得an>a1，所以{i∈N*|2≤i≤N，ai>a1}≠∅.记m＝min{i∈N*|2≤i≤N，ai>a1}，则m≥2，且对任意正整数k<m，ak≤a1<am.因此m∈G(A)．从而G(A)≠∅.(3)证明：当aN≤a1时，结论成立．以下设aN>a1.由(2)知G(A)≠∅.设G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1<n2<…<np.记n0＝1，则an0<an1<an2<…<anp.对i＝0，1，…，p，记Gi＝{k∈N*|ni<k≤N，ak>ani}．如果Gi≠∅，取mi＝minGi，则对任何1≤k<mi，ak≤ani<ami.从而mi∈G(A)且mi＝ni＋1，又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝∅.从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.对i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.所以aN－a1≤anp－a1＝eq\i\su(i＝1,p,)(ani－ani－1)≤p.因此G(A)的元素个数p不小于aN－a1.eq\a\vs4\al(\x([跟踪演练]))4．(北京高考)给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，3，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明a1，a2，…，an－1是等差数列．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，an是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且eq\f(di＋1,di)＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，dn－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.从而a1，a2，…，an－1是递增数列．因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<an－1.因此an＝B1.所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.因此对i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，即a1，a2，…，an－1是等差数列．5．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连结BC，BD.(1)求证：AE⊥BD；(2)判断DE能否垂直于平面ABC.并说明理由．解：(1)证明：取AE中点M，连结BM，DM.∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE，∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD.(2)DE与平面ABC不垂直．证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB.∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE.∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE.∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾，∴DE与平面ABC不垂直.考查方式复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算．备考指要学习复数要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化.eq\a\vs4\al(\x([考题印证]))[例4](北京高考)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________．[解析](1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.∵其对应点在实轴上，∴a＋1＝0，即a＝－1.[答案]－1[例5](江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[解析]因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.[答案]5eq\a\vs4\al(\x([跟踪演练]))6．(安徽高考改编)设i是虚数单位，eq\x\to(z)表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝________．解析：∴eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1＝2.答案：27．(湖南高考)复数eq\f(3＋i,i2)(i为虚数单位)的实部等于________．解析：直接运算得eq\f(3＋i,i2)＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3.答案：－38．(湖南高考改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应点位于第________象限．解析：z＝i(1＋i)＝－1＋i，在复平面上对应点的坐标为(－1，1)，其在第二象限．答案：二9．设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a的值为________．解析：复数eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(（1＋ai）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(2－a＋（2a＋1）i,5)，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a＝0，,2a＋1≠0，))∴a＝2.答案：2考查方式本部分知识是教材的新增内容，高考试题中必定有这方面的考题．在填空题中，主要考查基本知识和技能，如对条件结构和循环结构的灵活应用或补全程序框图．备考指要在画框图时，需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力，要熟悉事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的逻辑关系.eq\a\vs4\al(\x([考题印证]))[例6](江苏高考)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．[解析]由a＝1，b＝9，知a＜b，所以a＝1＋4＝5，b＝9－2＝7，a＜b.所以a＝5＋4＝9，b＝7－2＝5，满足a＞b.所以输出的a＝9.[答案]9[例7](湖北高考改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．[解析]S＝(21＋22＋…＋29)＋(1＋2＋…＋9)＝210－2＋45＝1024＋43＝1067.[答案]1067eq\a\vs4\al(\x([跟踪演练]))10．(山东高考改编)执行如图所示的算法流程图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．解析：12－4×1＋3≤0，x＝2，n＝1；22－4×2＋3≤0，x＝3，n＝2；32－4×3＋3≤0，x＝4，n＝3；42－4×4＋3>0，跳出循环，此时输出n值，故输出的n值为3.答案：311．(天津高考改编)阅读如图所示的算法流程图，运行相应的程序，输出S的值为________．解析：S＝0，n＝3，第1次运行，S＝0＋(－2)3＝－8，n＝2，不满足条件；第2次运行，S＝－8＋(－2)2＝－8＋4＝－4，n＝1，满足条件，跳出循环，输出S的值为－4.答案：－412.下面的程序流程图，如果输入三个实数a，b，c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入________．解析：由题意输出的应为x与c中较大者，输出的是x，∴应填c>x.答案：c>x模块综合检测(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(四川高考)复数eq\f(2－2i,1＋i)＝________．解析：eq\f(2－2i,1＋i)＝eq\f(2（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．在某个三段论的推理过程中，若小前提是：2100＋1是奇数；结论是：2100＋1不能被2整除．则该演绎推理的大前提是_____________________________________．答案：一切奇数都不能被2整除(答案不惟一)3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1.通过计算a2，a3，a4，猜想an＝________．解析：a2＝eq\f(1,3)＝eq\f(2,2×3)，a3＝eq\f(1,6)＝eq\f(2,3×4)，a4＝eq\f(1,10)＝eq\f(2,4×5)，因此an＝eq\f(2,n（n＋1）).答案：eq\f(2,n（n＋1）)4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为___________________．解析：“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：a，b都不能被5整除5．①正方形的对角线互相平分；②平行四边形的对角线互相平分；③正方形是平行四边形．根据“三段论”推理推出一个结论，则这个结论是________(填序号)．解析：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提为③，故得到结论为①.答案：①6．(浙江高考改编)若某算法流程框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．解析：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝4，i＝3；S＝11，i＝4；S＝26，i＝5；S＝57，i＝6，此时S>n，所以i＝6.答案：67．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是___________________．解析：∵|z－2|<2，∴eq\r(1＋a2)<2.∴－eq\r(3)<a<eq\r(3).答案：(－eq\r(3)，eq\r(3))8．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)的取值范围是____________________．解析：a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－a）＋\f(1,－a)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－b）＋\f(1,－b)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－c）＋\f(1,－c)))≤－6.答案：(－∞，－6]9．已知a∈R，复数z＝eq\f(1＋ai,1－ai)在复平面内对应的点位于y轴的负半轴上，那么实数a的值是________．解析：∵z＝eq\f(（1＋ai）2,（1－ai）（1＋ai）)＝eq\f(1－a2＋2ai,1＋a2)＝eq\f(1－a2,1＋a2)＋eq\f(2a,1＋a2)i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－a2,1＋a2)＝0，,\f(2a,1＋a2)<0，))解得a＝－1.答案：－110．下表是关于出生男婴与女婴调查的列联表，那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________.晚上白天总计男婴45B女婴A47C总计98D180解析：45＋A＝98⇒A＝98－45＝53，98＋D＝180⇒D＝180－98＝82，B＋47＝D⇒B＝82－47＝35，C＝A＋47⇒C＝53＋47＝100.答案：53351008211．2014年元旦来临之际，某服装商场为了了解大衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某四个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055由表中的数据算出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为7℃，据此估计该商场下个月大衣的销售量约为________件．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝38，又∵eq\o(b,\s\up6(^))≈－2，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈38＋20＝58，∴线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，把x＝7代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，得eq\o(y,\s\up6(^))＝－14＋58＝44，∴该商场下个月大衣的销售量约为44件．答案：4412．下图中还有“哺乳动物”“地龟”“长尾雀”三项未填，请补充完整这一结构图．①________________；②________________；③________________.解析：根据结构图及动物间的从属关系，可知①为“哺乳动物”，②为“地龟”，③为“长尾雀”．答案：①哺乳动物②地龟③长尾雀13．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有eq\f(f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，∴eq\f(f（A）＋f（B）＋f（C）,3)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)14．我们用记号eiθ来表示复数cosθ＋isinθ，即eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…是自然对数的底数，θ的单位是弧度)，则①2eieq\f(π,2)＝2i；②eq\f(eiθ＋e－iθ,2)＝sinθ；③eiπ＋1＝0.其中正确的式子代号是________．解析：2eieq\f(π,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2)))＝2i，∴①正确．e－iθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)＝cosθ－isinθ，∴eq\f(eiθ＋e－iθ,2)＝cosθ.∴②错．eiπ＝cosπ＋isinπ＝－1，∴③正确．答案：①③二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知复数z1、z2满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，a∈R.若|z1－eq\o(z,\s\up6(－))2|<|z1|，求a的取值范围．解：z1＝eq\f(－1＋5i,1＋i)＝2＋3i，eq\o(z,\s\up6(－))2＝a－2＋i，z1－eq\o(z,\s\up6(－))2＝2＋3i－a＋2－i＝4－a＋2i.∵|z1－eq\o(z,\s\up6(－))2|<|z1|，∴eq\r(（4－a）2＋4)<eq\r(4＋9).∴1<a<7.16．(本小题满分14分)已知a，b∈R，求证：eq\f(|a|＋|b|,1＋|a|＋|b|)≥eq\f(|a＋b|,1＋|a＋b|).证明：要证eq\f(|a|＋|b|,1＋|a|＋|b|)≥eq\f(|a＋b|,1＋|a＋b|)成立，即证eq\f(|a|＋|b|,1＋|a|＋|b|)－1≥eq\f(|a＋b|,1＋|a＋b|)－1，只需证eq\f(－1,1＋|a|＋|b|)≥eq\f(－1,1＋|a＋b|)成立．也就是eq\f(1,1＋|a|＋|b|)≤eq\f(1,1＋|a＋b|)成立．即1＋|a|＋|b|≥1＋|a＋b|成立．因为|a|＋|b|≥|a＋b|显然成立，所以原不等式成立．17．(本小题满分14分)已知a，b，c∈R，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明：假设a，b，c，都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，那么a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，即a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾．∴a，b，c中至少有一个大于0.18．(本小题满分16分)对一批货物征收税金：价格在10000元以上的征税5%；在5000元以上，10000元以下(含10000元)的征税3%；在1000元以上，5000元以下(含5000元)的征税2%；1000元以下(含1000元)的货物免税．请设计一个根据货物价格输出税金的流程图．解：程序框图如下图：19．(本小题满分16分)(新课标Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．解：(1)由所给数据计算得eq\x\to(t)＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.