高中数学必修2知识点和例题讲义

第1讲第1章§1.1.1柱、锥、台、球的构造特征

Q学问要点:

结构特征图例

（1）两底面互相平行；（2）侧面的母

（1）两底面互相平行，

棱线平行于圆柱的轴；

其余各面都是平行四边圆

柱（3）是以矩形的一边所在直线为旋转

形：柱

轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的

（2）侧棱平行且相等.

儿何体.

（1）底面是多边形，各（1）底面是圆；（2）是以直角三角形

极

侧面均是三角形；帜1的一条直角边所在的直线为旋转轴，其

锥

（2）各侧面有一个公共锥余两边旋转形成的曲面所围成的几何

顶点.体.

（1）两底面互相平行；

棱（1）两底面互相平行；

（2）是用一个平行于棱圆

台（2）是用一个平行于圆锥底面的平面

锥底面的平面去截棱锥，台

去截圆锥，底面和截面之间的局部.

底面和截面之间的局部.

（1）球心到球面上各点的间隔相等；（2）是以半圆的直径所在直线为

球

旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

1.下列说法错误的是（）

A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案：D

2.一个棱柱有10个顶点，全部的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中，假如用一个平面去截几何体，假如截面是三角形，那么这个几何体可能是.

答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

第2讲§1.1.2简洁组合体的构造特征

0例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个选D.

【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r,R,求球的半径.

解：圆台轴截面为等腰梯形，及球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为+A）?—（大-/•）」=2J无,

所以，球的半径为疝.

第3讲§1.2.2空间几何体的三视图

K例题精讲：［例I］画出下列各几何体的三视图:

【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：

【例3】如图，图（1）

是常见的六角螺帽，

图（2）是一个机器零

件（单位：cm）,所

给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.

I行巧◎4讲§1.2.3空间几何体的直观图

Q学向正视图MtetaMWRI要点：“直观图”最常用的画法是斜二测

画法，⑷由其规则能画出程度放置的直观图，其

本质就是在坐标系中确定点的位置的画法.根本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，得到直角坐标系xoy,

直观图中画成斜坐标系x'o'y',两轴夹角为45°.（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或），轴的线段，在直观图中分别画成平行于

/或V釉的线段.（3）长度规则：己知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于），轴的线段，长度为原来的一半.

第5讲§1.3.1柱体、锥体、台体的外表积

口学习目的：理解棱柱、棱锥、台的外表积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的外表积进展计算和解决有关实际问

题.

口学问要点:

外表积相关公式外表积相关公式

，全=S恻+2s底，

棱柱圆柱S全=2%产+2%汕（r：底面半径，ht高）

其中Sft?]=/侧棱长直截面周长

棱锥s全=s侧+S底圆锥=7ir+7irl（r：底面半径，h母线长）

S全=乃（尸:+产+尸/_|_rl）

棱台s全=s侧+S上底+S下底圆台

（r：下底半径，尸：上底半径，/：母线长）

N例题精讲:

29

【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：/=三

7

【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的外表积.

解：S=S+2S=3X4X2+2X-^X4X2V3=24+8>/3（7wn2）.

Mftm

第6讲〜§1.3.1柱体'锥体'台体的体积

口学问要点：1.体积公式：

体积公式体积公式

棱柱v=s底%圆柱V=7irh

棱锥圆锥V=-7rr2h

3J氏E3

V=^(S'+4s7S+s)hv=；%（〃*+尸尸+/注

棱台圆台

2.柱、椎、台之间，可以看成•个台体进展改变，当台体的上底面渐渐收缩为•个点时，它就成了锥体；当台体的上底面渐渐扩展

到及下底面全等时，它就成了柱体.因此体积会有以下的关系：

Q例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体积是—.解：

设长方体的长宽高分别为a,A,c,则，力=2,ac=3,bc=6,三式相乘得=36.所以，长方体的体积为6.

[例2]一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影局部裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容

器，试建立容器的容积V及x的函数关系式，并求出函数的定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为XCTO.

在RtXEOF中，EF=5cm,OF=—xcm,所以EO=,于是

2

V=-x2.依题意函数的定义域为{x[0<x<10}.

3

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为石，母线长为6,现将该容器盛满

然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的3时，圆柱的母线及程度面所成的角的大小为

6

解：容器中水的体积为V=万，/=%x（、Q）2X6=18万.流出水的体积为V'=（1-*）V=3不，如图，

6

/'=%=3*=2.设圆柱的母线及程度面所成的角为a,则tana=2①=G，解得

仃%x（6）22

a=60°.

第7讲§1.3.2球的体积和外表积

：1.外表积：S球面=477?2（氏球的半径）.2.体积：/面=g7R’.

!□学问要点

K例题精讲:【例2】外表积为324万的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的外表积.

解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为则作轴截面如图，AA'=\4,AC=又T4万2=324亓，二R=9,

AC=4AC°-CC'2=8&,a=8,•••%=64x2+32xl4=576.

【例3】设4、B、C、。是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的间隔是球半径的一半，则球的

体积是（）.A.8瓜兀B.（A限兀C.24亚冗D.720兀

【解】由已知可得，A、B、C、。在球的一个小圆上•••A8=BC=CD=D4=3,/.四边形ABCD为正方形....小圆半径厂=辿

2

由2=产+外得R2=（¥）2+（5）2,解得R=J£.・.球的体积丫=3万/?，=；乃（#）3=8jdl.所以选A.

第8讲§2.1.1平面

0学问要点：

1.点A在直线上，记作Awa；点A在平面々内，记作Aea；直线。在平面a内，记作aua.

2.平面根本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1公理2公理3

图形/+/

语言ZZZZ7

假如一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有假如两个不重合的平面有一个公

文字

一个平面内，那么这条直线且只有一个平面.共点，那么它们有且只有一条过该

语言

在此平面内.点的公共直线.

Awl,Bel]48,。不共线=八\a[y/3=l

符号'n/uaPea.PeJ3=>\/

语言A,3,C确定平面a

3.公理2的三条推论：

推论1经过,表直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

0例题精讲：

【例1】假如一条直线及两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？

【例2】空间四边形A8C。中，E、F、G、H分别是48、BC、CD、0A上的点，己知EF和GH交于P点，求证：EF、

GH、AC三线共点.

解：,:PGEF,EFu面ABC,面ABC.同理Pe面AOC：尸在面ABC及面AOC「.

的交线上，又'."^ABCn^ADC=AC,：.PeAC,即EF、HG、AC三线共点./R3/

【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.^/

已知：直线AB,8C,C4两两相交，交点分别为A,8,C,求证：直线A8,BC,C4共面.

证明：因为A,B,C三点不在一条直线上，所以过A,B,C三点可以确定平面a.因为Ada,fiea,所以ABC

a.同理8CUa,ACUa.所以AB,BC,CA三直线共面.

［例4］在正方体ABC。—AgGR中，

（1）AA及CG是否在同一平面内？（2）点B，G，O是否在同一平面内？

（3）画出平面AG及平面Bq。的交线，平面ACR及平面B£>G的交线.

解：（1）在正方体ABCO-A耳G.中，AA〃CG，；.由公理2的推论可知，4A及CG

可确定平面4G，♦,•Ad及CG在同一平面内.

（2）•.,点B，G，O不共线，由公理3可知，点氏G，。可确定平面BG。，点B，G，O在同一平面内.

（3）VACC\BD=O,ACnOG=E,二点Oe平面Ag，Oe平面8C£>「又Re平面A£,G€平面8CQ,

平面AC,Pl平面BC］D=OC］,同理平面AC"PI平面BDCt=OE.

第9讲§2.1.2空间中直线及直线之间的位置关系

0学问要点：

1HH击独［相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

1.空间两条直线的位置关系：'［平行直线：同一平面内，没有公共点；

.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2.已知两条异面直线。力，经过空间任一点O作直线。‘〃。力‘〃"把所成的锐角（或直角）叫异面直线a8所成

的角（或夹角）.必加所成的角的大小及点O的选择无关，为了简便，点。通常取在异面直线的一条上；异面直线所

成的角的范围为（0,90。］,假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作江求两条异面直线所

成角的步骤可以归纳为四步：选点一平移一定角~计算.

0例题精讲：【例1】已知异面直线。和匕所成的角为50°,P为空间肯定点，则过点P且及

a、。所成角都是30°的直线有且仅有（）.

A.I条B.2条C.3条D.4条

解:过P作a'〃0b'//b,若PWa,则取a为，，若P0b,则取6为//.这时/，"相交

于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记"，。'所确定的平面为6,那么在

平面B内，不存在及"，//都成30°的直线.过点P及a',6'都成30°角的直线必在

平面B外，这直线在平面6的射影是"，。'所成对顶角的平分线.其中射影是50°对顶

Ai

A

角平分线的直线有两条/和射影是130。对顶角平分线的直线不存在.故答案选B.

【例2】如图正方体中，E、尸分别为AG和8G的中点，P、。分别为AC及8力、4G及EF的交

点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若4c及面。BFE交于点R,求证：P、。、R三点共线.

证明：（1）：正方体A88-A4GR中，BB1幺=•.比）=幺8Q.又「中,E、/为中点，/.£F=//2

/.EF//BD,即D、B、F、E四点共面.（2）VQw平面AC；,Qe平面BE,Pe平面A£,Pw平面BE,

平面4C|n平面BE=PQ.又AC|n平面BE=R,Re平面AC1,Re平面比RePQ.即P、。、R三点

共线.

【例3】已知直线a//b//c,直线4及a、b、c,分别相交于A、B、C,求证：a、b、c、4四线共面.

证明：因为由公理2的推论，存在平面a,使得aua,bua.c

又因为直线〃及。、仄c分别相交于A、B、C,由公理1,dua.'

假设c<xa,则。口£=口在平面a内过点C作c'〃6，/

因为b//c,则”/c',此及cCk'=C冲突.故直线cua.4d，@

综上述，a、6、c、d四线共面.

［例4］如图中，正方体4BCD—A/CQi，E、F分别是A。、A4的中点.（1）求直线ABt

和CG所成的角的大小；（2）求直线A8和EF所成的角的大小.

解：（1）如图，连结。G,-：DCf//ABi，：.DC\和CG所成的锐角NCCQ就是A©和CG

所成的角ZCGD=45°,ABt和CG所成的角是45°.（2）如图，连结A/G,

•/EF//AiD,ABt//DCt,：.N4DG是直线ABi和EF所成的角.：AAQG是等边三角形,

二Z4,DCi=60°,即直线ABi和EF所成的角是60°.

第10讲§2.1.3直线及平面、平面及平面位置关系

0学问要点：1.直线及平面的位置关系：（1）直线在平面内（有多数个公共点）；（2）直线及平面相交（有且只有一个

公共点）；（3）直线及平面平行（没有公共点）.分别记作：lua；/fla=P；I//a.

2.两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作a〃£；a［｝/3=l.

0例题精讲：【例1】已知空间边边形4BC。各边长及对角线都相等，求异面直线AB和CQ所

成的角的大小.

解：分别取AC、AD.BC的中点尸、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PN〃AB,

PM//CD,于是NMPN就是异面直线AB和CO成的角（如图所示）.连结MMDN,设AB=2,

：.PM=PN=l.IfnAN=DN=G,由MNLAD,AM=\,得MN=0,

.•.MM=MP2+NP2,.•.NMPN=90°..•.异面直线A3、CQ成90°角.

【例2】在空间四边形ABC。中，E、H分别是A8、4。的中点，F、G分别是CB、CD

的中点，若AC+BD=a,ACBD=b,求双尸+尸”上

解：四边形EFGH是平行四边形，

EG2+FH2=2（EF2+FG2）=-（AC2+BD2）=-（a2-2b）.

22

【例3】已知空间四边形ABC。中，E、H分别是AB,A£>的中点，F、G分别是8C、

CD上的点，且旦=%=2.求证：（1）E、F、G.H四点共面；（2）三条直线EF、

CBCD3

GH、AC交于一点.

证明：（1）在△48。和△C5O中，；E、H分别是A8和CD的中点，AEH//-BD.

=2

又...包=空=2,FG//-BD.：.EH//FG.所以，E、尸、G、”四点共面.

CBCD3=3

第11讲§2.2.1直线及平面平行的断定

0学问要点：1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.

2.断定定理：平面外的一条直线及此平面内的一条直线平行，则该直线及此平面平行.符号表示

为：acz：a,bcia,a//b=>a//a.图形如右图所示.

0例题精讲：

【例1】己知P是平行四边形A8CD所在平面外一点，E、尸分别为AB、P£）的中点，求证:

AF〃平面PEC

证明：设PC的中点为G,连接EG、FG.•:F为PD中点,：.GF//CDRGF=-CD.

2

,/AB//CD,AB=CDfE为AB中点,

B

GF//AE,GF=AE,四边形AEG5为平行四边形.

EG//AF,

又,:AFU平面PEC,EGu平面PEC,1AF〃平面PEC.

【例2】在正方体ABCD-A由£。|中，E、尸分别为棱8C、GA的中点.求证：E尸〃平面

BBIDID.

证明：连接AC交B。于。，连接OE,则OE〃OC,0E=-DC.

2

■:DC//DiCx，DC=DXC\,尸为DICI的中点，

OE//D\F,OE=DlF,四边形OiFEO为平行四边形./.EF//DiO.

又：EFV平面BBiOQ,OiOu平面BBiOQ,/.EF〃平面88010.

【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱A。、CD、BD、BC的中点，

求证：AM〃平面EFG.

证明：如右图，连结D0,交GF于O点，连结OE,

在ABQ9中，G、F分别是瓦)、C£)中点，:.GF//BC,

为3。中点，二。为M£>中点，

在A4W中，•:E、。为A。、M3中点，AEO//AM,

又：AMu平面EFG,EOu平面EFG,二AM〃平面EFG.

点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.留

意适当添加协助线，重视中位线在解题中的应用.

【例4】如图，已知P是平行四边形ABCO所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN//平面BW；⑵若MN=BC=4,PA=4后，求异面直线左及MN所成的角的大小.

解：(1)取PO的中点H,连接A”，由N是PC的中点，ANHH-DC.由M是AB

-2

的中点，/.NH/1AM,即AMNH为平行四边形./.MN//AH.

由平面平面丛。，，平面PAD.

(2)连接AC并取其中点为O,连接OM、ON,；.OMU-BC,ONH-PA,所以NONM

~2~2

就是异面直线附及MN所成的角，且M01.N。由MV=3C=4,尸4=4有，得

OM=2,。22后.所以/0N例=30°,即异面直线以及MN成30°的角.

点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，方法的

关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.

第12讲§2.2.2平面及平面平行的断定

0学问要点：面面平行断定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.用符

号表示为：auB，bu°,aCb=P

=>/3//a.

alla.hlla

0例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABC。-AliGDi中，M、N、P分别是CC、BQ

GOi的中点，求证：平面MNP〃平面4BD

证明：连结Bi。，：P、N分别是OICI、BiG的中点，，PN〃B\D\.又：.PN//BD.

又PN不在平面A山。上，〃平面4BD同理，MN〃平面48D又PNCMN=N,C,

平面PMN〃平面A由D

【例2】正方体ABC£>—AIBIGOI中.(1)求证：平面〃平面8AC;

(2)若E、尸分别是A4”CG的中点，求证：平面E8Qi〃平面尸BO.

证明：(1)由B山幺得四边形是平行四边形，

又平面BQC，8Qiu平面BQC，二^。〃平面8QC.

同理4。〃平面BIDIC.而4OnBD=O,二平面4BO〃平面BCD.

(2)由得平面EB0I.取BBi中点G,：.AE//B\G.

从而得B|E〃4G,同理G尸〃A£).：.AG//DF.：.BtE//DF.

二。尸〃平面EBQ.平面EBQi〃平面FBO.

【例3】已知四棱锥P/BCD中，底面A8C£>为平行四边形.点M、MQ分

别在PA,BD、PD上，且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

求证：平面MNQ〃平面PBC.

证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.：.MQ//AD,NQ//BP,

而BPu平面PBC,NQ<Z平面PBC,二NQ〃平面PBC.

BA

又・.•ABC。为平行四边形，BCHAD,：.MQ/IBC,

而BCu平面P3C,MQ0平面P8C,MQ〃平面P3C

由MQnNQ=Q,根据平面及平面平行的断定定理，・・・平面MNQ〃平面PBC

点评：由比例线段得到线线平行，根据线面平行的断定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后,

转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线及线的平行.

第13讲§2.2.3直线及平面平行的性质

0学问要点：线面平行的性质：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

alia

个平面相交，那么这条直线和交线平行.即：au0>=〃〃〃.

a[｝（3=b

0例题精讲：

【例1】经过正方体ABC£H4BGOi的棱BBi作一平面交平面44QQ于EiE,求证:EiE〃BiB.

证明：VA4,〃8筋,A4,<z平面BEE]B,,BB,u平面8£耳,

又小<=平面4）44，平面0平面=环，Da

,AA//BB.

则''=BBJ/EE」A

AA,//EEt

【例2】如图，AB//a.AC//BD,Cea,Dea,求证：AC=BD.

证明：连结8,E.

A

二直线AC和8。可以确定一个平面，记为/?,B

又•:AC//BD,

四边形AC£>8为平行四边形，AAC=BD.

第14讲§2.2.4平面及平

0学问要点：1.面面平行的性质：假如两个平行平面同时及第三个平面相交，那么它们的交

线平行.用符号语言表示为：allB，yCa=a,yCB=b=allb2.其它性质：①

e〃△/uan/〃尸；②alld11a=③夹在平行平面间的平行线段相等.

0例题精讲：[例1]如图，设平面a〃平面B,AB、C。是两异面直线，M、N分别是AB、

C。的中点，且4、CFa,B、DeP.求证：MN//a.

证明：连接BC,取8c的中点E,分别连接ME、NE,

则ME〃AC,；.ME〃平面a,又NE"BD,：.NE//P,

又MECNE=E,二平面MEN〃平面a,「MNu平面MEN,:.MN"a.

【例2】如图，A,B,C,£>四点都在平面a,p外，它们在a内的射影4,B）,G，A是平行

四边形的四个顶点，在B内的射影A2,B2,C2,外在一条直线上，求证：ABC。是平行四边形.

证明：；A,B,C,。四点在。内的射影A2，仪，C2,&在一条直线上，

；.A,B,C,。四点共面.

又A,B,C,D四点在a内的射影A”B,,G，功是平行四边形的四个顶点，

二平面AB8A〃平面CDDiC].

.'.AB,CD是平面ABC。及平面ABBiAi，平面CDDtCt的交线.

：.AB//CD.同理AZ）〃8c.四边形A8CD是平行四边形.

第15讲§2.3.1直线及平面垂直的断定

0学问要点：1.定义：假如直线/及平面a内的随意一条直线都垂直，则直线/及平面。互相垂直，记作/La./一平

面a的垂线，a一直线/的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直f线面垂直）

2.断定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线及该平面垂直.符号语言表示为：若

m,11.n,mC\n=B,mua,〃ua,贝！J/J,a

3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，

几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）一证（证所作

为所求）一求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角

的关键.

历

0例题精讲：【例1】四面体ABCD中，AC=8£）,E,尸分别为AQ,8C的中点，KEF=—AC,NBDC=90,求证:

2

平面ACD.

证明：取CD的中点G,连结EG,尸G,；E,尸分别为A£）,8C的中点，EG」LAC,FGU-BD.

22

又AC=3E>,，FG=，AC,在A£FG中，EG2+FG2=-AC2=EF2,:.EGLFG,:.BDLAC,又

22

NBDC=9Q,即8£>_LCO,AC^\CD=C,8。J_平面ACD.

【例2】已知棱长为1的正方体4BCO-4BICQI中，E是4B1的中点，求直线AE及平面

4BGD1所成的角的正弦值.

解：取C。的中点F,连接EF交平面ABGQ于。，连AO.由已知正方体，易知EO_L平

115

面ABC.D,,所以ZEAO为所求.在RtAEOA中，EO=-EF=-\D=^~,

A_E_=.I(,-")1+21=M—，si•nN/E口4人O仆=_£0=_屈.

V22AE5

所以直线AE及平面A8G4所成的角的正弦值为画.

1'5

【例3】三棱锥P-ABC中，PA1BC,PBVAC,PO_L平面ABC,垂足为。，求证:

0为底面△ABC的垂心.

证明：连接。A、OB、0C,PO_L平面ABC,PO±BC,POLAC.

又PA±BC,PBA.AC,

：.BC±平面PAO,AC1平面PBO,得AOJ.BC,BO1AC,

/.。为底面△4BC的垂心.

点评：此例可以变式为“已知24_LBC,PB_LAC,求证PC_LA8”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC_LA8

后进展证明.三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.

第16讲§2.3.2平面及平面垂直的断定

0学问要点：

1.定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱，这两个半

平面叫做二面角的面.记作二面角a-A8一£.(简记?一48一。)

2.二面角的平面角：在二面角a一/一万的棱/上任取一点O,以点O为垂足，在半平面a,/?内分别作垂直于棱/的射

线。4和。8,则射线OA和08构成的NAQB叫做二面角的平面角.范围：0°<0<180°.

3.定义：两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作a，/?.

4.断定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(线面垂直-»面面垂直)

0例题精讲：【例1】已知正方形ABCQ的边长为1,分别取边BC、CD的

中点E、F,连结AE、EF、AF,以AE、EF、项为折痕，折叠使点B、C、

D重合于一点P.

(1)求证：AP1EF；(2)求证：平面APE1.平面APF.

证明：(1)如右图，：NAPE=NAPF=90°,PEC\PF=P,

：.%J_平面PEF.TEFu平面PE尸，：.PALEF.

(2),:NAPE=NEPF=9Q°,APCPF=P,，PE_L平面APF.

又PEu平面%E,.,.平面APE_L平面APF.

【例2】如图，在空间四边形ABC。中，AB=BC,CD=DA,E,F,G分别是

CD,DAAC的中点，求证：平面BEF上平面BGD.

证明：A5=8C,G为AC中点，所以AC_L8G.

同理可证AC_LDG,/.A。_1面86£>.

又易知E/7/4C,则印_L面BGD

又因为EFu面BEF,所以平面5所，平面BGEL

第17讲§2.3.3线面、面面垂直的性质

0学问要点：1.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.(线面垂直-线线平行)2.面面垂直性质定

理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直.用符号语言表示为：若a，？，。04=/，

qua,a_L/,则a_L£.(面面垂直f线面垂直)

0例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC及桌面所在的平面a垂直，。是a内一条直线,

若斜边AB及a垂直,则BC是否及a垂直？

解：AC±a

注：若,a.LAC

au。

a±AB'=a_L平面ABC

ACC\AB=A\BCu平面ABC

直，其本质是三垂线定理及逆定理，证明过程表达了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直T线面垂直T线线垂

直”.

【例2】如图，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，以，平面ABC.

(1)求证：平面fi4c_L平面PBC；

(2)若。也是圆周上一点，且及C分居直径A8的两侧，试写出图中全部互相垂直的各对

解：(1)证明：是AB为直径的圆。的圆周上一点，AB是圆。的直径，：.BCA.AC.

又B41.平面ABC,BCU平面ABC,

：.BCLPA,从而BC_L平面B4C.

BCU平面尸8C,平面以C_L平面PBC.

(2)平面布CJ_平面ABCD-,平面用CL平面PBC；平面网。，平面PBD；平面PAB

®ABCD-,平面出£>J_平面ABCD

第18讲第3章§3.1.1倾斜角及斜率

0学问要点：1.当直线/及x轴相交时，我们把x轴正方向及直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线

/及X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.则直线/的倾斜角a的范围是

2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即4=1加夕.假如知道直线上两点2内,乂),尸*,,%),

则有斜率公式％=之一%.特殊地是，当为=犬2，时,，直线及x轴垂直，斜率4不存在；当X|Xx,,%=%时，

直线及y轴垂直，斜率右0.

留意：直线的倾斜角a=90°时，斜率不存在，即直线及y轴平行或者重合.当a=90。时，斜率D；当0。<夕<90。时，

斜率4>0,随着a的增大，斜率”也增大；当90。<。<180。时，，斜率％<0,随着。的增大，斜率人也增大.这样，

可以求解倾斜角a的范围及斜率后取值范围的一些对应问题.

0例题精讲：

【例2】已知过两点4(加+2,4-3),8(3->-肛2相)的直线/的倾斜角为45°,务实数加的值.

解：―-~———--=------=tan45°=1,+3加+2=0,解得/n=-1或一2.但当/n=—I时，A、8重合，舍

加〜+2—(3—m一in)

去•m=—2・

【例3】已知三点A(m2)、8(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上，务实数。的值.

解：心尸上匚二色一，7^-(-9^)=7+9£・.・ABC三点在一条直线上，・・・3=限，即上=42，

八*3一。3一。K3-(-2)5A53c3_a5

7

解得a=2或。=—.

9

第19讲§3.1.2两条直线平行及垂直的断定

0学问要点：1.对于两条不重合的直线4、4,其斜率分别为勺、&，有：

=

(1)/j//l2<=>kxk2；(2)4_L(=K•&=—1,

2.特例：两条直线吊一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….

Q例题精讲：

【例1】四边形ABC。的顶点为A(2,2+2&)、8(-2,2)、以0,2-2血)、£)(4,2),试推断四边形ABCO的形态.

解：A8边所在直线的斜率原B=2一(；；于)=孝，CD边所在直线的斜率上。=27：]；血)=孝,

BC边所在直线的斜率&BC=&-言)_2=_亚DA边所在直线的斜率的人=(2+芝"2=S

"：kAB=kCD,kKC=kIM,：.AB//CD,BC//DA,即四边形ABC。为平行四边形.又：觞•心,=十X(一夜)=-1,

AB±BC,即四边形A8C£>为矩形.

【例2】已知AA3C的顶点8(2,1),C(-6,3),其垂心为”(-3,2),求顶点A的坐标.

解：设顶点4的坐标为(x,y).

■v-x(--)=—1,

..sIn口■\kAc-kBH=-1x+65小的%Jy=5x+33Jx=-19.

.AC±BH,AB±CH,..<，H即n<,化间为<,解N得：〈...

也屋自H=-12zlx(_l)=_1[y=3x-5[y=-62

,x—23

A的坐标为(-19,-62).

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【例3】(1)已知直线4经过点M(-3,0)、N(-15,-6),I,经过点R(