微探究小专题8　有关旋转的几个常见题型

第二十三章旋转微探究小专题8有关旋转的几个常见题型

问题探究思考题型1

旋转中的角度问题123451.如图所示，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

B

＝50°，将此三角形绕点

C

按顺时针方向旋转后得到△A'B'C，若点B'恰好落在线段

AB

上，

AC

，A'B'交于点

O

，则∠COA'的度数是(

B

)第1题图A.50°B.60°C.70°D.80°B【解析】在Rt△

ABC

中，∠

A

＝90°－∠

B

＝90°－50°＝40°.由旋转的性

质，得B'C＝

BC

，∠A'B'C＝∠

B

＝50°，∴∠CB'B＝∠

B

＝50°.∴∠A'B'B＝∠A'B'C＋∠CB'B＝50°＋50°＝100°.∴∠COA'＝∠AOB'＝∠A'B'B－∠

A

＝100°－40°＝60°.12345题型2

旋转中的线段问题2.如图所示，在四边形

ABCD

中，∠

ABC

＝30°，将△

DCB

绕点

C

顺时

针旋转60°后，点

D

的对应点恰好与点

A

重合，得到△

ACE

，若

AB

＝

3，

BC

＝4，则

BD

＝

.(提示：可连接

BE

)第2题图5

12345【解析】如图所示，连接

BE

.

∵将△

DCB

绕点

C

顺时针旋转60°后，点

D

的对应点恰好与点

A

重合，得到△

ACE

，∴∠

BCE

＝60°，

BC

＝

CE

，

AE

＝

BD

.

12345题型3

旋转中的面积问题3.如图1，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝4，∠

BAC

＝90°，

AD

⊥

BC

，垂

足为

D

.

(1)

S△

ABD

＝

⁠.

4

12345(2)如图2，将△

ABD

绕点

D

按顺时针方向旋转得到△A'B'D，设旋转角

为α(α＜90°)，在旋转过程中：①四边形

APDQ

的面积是否随旋转而变化？说明理由；①解：四边形

APDQ

的面积不会随旋转而变化.理由：在△

ABC

中，∵

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝90°，∴∠

B

＝∠

C

＝45°.∵

AD

⊥

BC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

＝45°.∴∠

B

＝∠

DAQ

＝∠

BAD

＝45°，

BD

＝

AD

.

12345又∵∠

BDP

＋∠

ADP

＝90°，∠

ADQ

＋∠

ADP

＝∠

PDQ

＝90°，∴∠

BDP

＝∠

ADQ

.

∴△

BPD

≌△

AQD

(ASA).∴

S四边形

APDQ

＝

S△

APD

＋

S△

AQD

＝

S△

APD

＋

S△

BPD

＝

S△

ABD

＝4.∴四边形

APDQ

的面积是个定值，不会随旋转而变化.12345②当α＝

时，四边形

APDQ

是正方形.【解析】∵四边形

APDQ

是正方形，

AD

为对角线，∵∠

ADP

＝45°，

∠

BDP

＝45°，即α＝45°.45°

12345题型4

旋转中的综合问题4.(2023·唐山丰南区期中)(1)如图1，

O

是等边三角形

ABC

内一点，连接

OA

，

OB

，

OC

，且

OA

＝3，

OB

＝4，

OC

＝5，将△

BAO

绕点

B

顺时

针旋转后得到△

BCD

，连接

OD

.

填空：①旋转角为

°；60

②线段

OD

的长是

⁠；③∠

BDC

＝

°；4

150

12345【解析】①∵△

ABC

为等边三角形，∴∠

ABC

＝60°.∵△

BAO

绕点

B

顺时针旋转后得到△

BCD

，∴∠

OBD

＝∠

ABC

＝60°.∴旋转角的度数为60°.②∵△

BAO

绕点

B

顺时针旋转后得到△

BCD

，∴

BO

＝

BD

.

又∵∠

OBD

＝60°，∴△

OBD

为等边三角形.∴

OD

＝

OB

＝4.12345③∵△

BOD

为等边三角形，∴∠

BDO

＝60°.∵△

BAO

绕点

B

顺时针旋转后得到△

BCD

，∴

CD

＝

AO

＝3.在△

OCD

中，

CD

＝3，

OD

＝4，

OC

＝5，∵32＋42＝52，∴

CD2＋

OD2＝

OC2.∴△

OCD

为直角三角形，∠

ODC

＝90°.∴∠

BDC

＝∠

BDO

＋∠

ODC

＝60°＋90°＝150°.12345(2)如图2，

O

是△

ABC

内一点，且∠

ABC

＝90°，

BA

＝

BC

.

连接

OA

，

OB

，

OC

，将△

BAO

绕点

B

顺时针旋转后得到△

BCD

，连接

OD

.

当

OA

，

OB

，

OC

满足什么条件时，∠

BDC

＝135°？请说明理由.解：当

OA2＋2

OB2＝

OC2时，∠

BDC

＝135°.

12345

专题进阶小练1.如图，将△

ABC

绕点

A

逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△

ADE

，点

B

的对应点

D

恰好落在

BC

边上，若

DE

⊥

AC

，∠

CAD

＝25°，则旋转角α

的度数是

⁠.50°

【解析】根据题意，∵

DE

⊥

AC

，∠

CAD

＝25°，∴∠

ADE

＝90°－25°＝65°.由旋转的性质，可得∠

B

＝∠

ADE

，

AB

＝

AD

，∴∠

ADB

＝∠

B

＝65°.∴∠

BAD

＝180°－65°－65°＝50°.∴旋转角α的度数是50°.123452.如图，已知菱形

ABCD

的边长为2，∠

A

＝60°，将菱形

ABCD

绕顶点

A

在平面内顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，则旋转后的图形与原图形

重叠部分的面积为

⁠.第2题图

【解析】如图，连接

AC

，

BD

相交于点

O

，

BC

与

C

'

D

'相交于点

E

.

∵四边形

ABCD

是菱形，∠

DAB

＝60°，∴∠

CAB

＝30°，

AC

⊥

BD

，

AO

＝

CO

，

BO

＝

DO

.

∵

AB

＝2，

12345

∵菱形

ABCD

绕点

A

顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，∴∠D'AB＝30°，AD'＝

AD

＝2.∴

A

，D'，

C

三点共线，

又∵∠

DAB

＝60°，∠

ACB

＝30°，∴∠D'EC＝180°－60°－30°＝90°.

12345∵重叠部分的面积＝△

ABC

的面积－△D'EC的面积，

123453.如图，等边三角形

ABC

的边长为4，

P

是

BC

边上的动点，将△

ABP

绕点

A

逆时针旋转60°得到△

ACQ

，则△

APQ

的形状为

⁠

，

D

是

AC

边上的中点，连接

DQ

，则

DQ

的最小值为

⁠.第3题图等边三角

形

12345【解析】如图，由旋转，可得∠

ACQ

＝∠

B

＝60°，∠

PAQ

＝60°，

AP

＝

AQ

，∴△

APQ

是等边三角形.又∵∠

ACB

＝60°，∴∠

BCQ

＝120°.∵

D

是

AC

边的中点，∴

CD

＝2.当

DQ

⊥

CQ

时，

DQ

的长最小，此时，∠

CDQ

＝30°，

123454.(2023·石家庄赵县期中改编)如图1，已知正方形

ABCD

和正方形

CEFG

，点

G

在

BC

延长线上，点

E

在

CD

边上.(1)将正方形

CEFG

绕点

C

旋转至图2时，则

BE

与

DG

的数量关系

为

，

BE

与

DG

的位置关系为

⁠；BE

＝

DG

BE

⊥

DG

12345【解析】如图1，延长

BE

交

DG

于点

M

，设

BM

交

CD

于点

O

.

由条件可知，

BC

＝

DC

，

EC

＝

GC

，∠

BCD

＝∠

ECG

，∴∠

BCE

＝∠

DCG

.

∴△

BCE

≌△

DCG

(SAS).∴

BE

＝

DG

，∠

CBE

＝∠

CDG

.

∵∠

BOC

＝∠

DOM

，∴∠

DMB

＝∠

DCB

＝90°.∴

BE

⊥

DG

.

12345

解：如图1，连接

AC

.

∵

A

，

F

，

G

三点共线，∴∠

AGC

＝90°.12345

123455.(2023·石家庄第四十中二模)将两个等腰直角三角形纸片△

OAB

和△

OCD

放在平面直角坐标系中，已知点

A

坐标为(－5，0)，

B

(0，5)，

OC

＝

OD

＝4，∠

COD

＝90°，并将△

OCD

绕点

O

顺时针旋转.(1)当旋转至图1的位置时，∠

AOC

＝30°，求此时点

C

的坐标.12345

12345(2)如图2，连接

AC

，当△

OCD

旋转到

y

轴的右侧，且