高中数学 抛物线同步学案 新人教A版选修2

§2.4抛物线典例剖析

知识点一抛物线概念的应用

⑥例।已知抛物线/=2x的焦点是凡点P是抛物线上的动点，又有点4(3,2),求

I为I+I/1的最小值，并求出取最小值时。点的坐标.

解

将x=3代入抛物线方程

y2=2x,得y=±J^.

、后>2,.•.点A在抛物线内部.

设抛物线上点P到准线1：

x=—工的距离为d,由定义知|PA|+PF|=|PA1+d,

2

当PA_L1时，|PA|+d最小,

7,,,,7

最小值为一，即IPAI+IPFI的最小值为一，

22

此时P点纵坐标为2,代入y、2x,得x=2,

...点P坐标为(2,2).

知识点二求抛物线的标准方程

A例2求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(D过点(一3,2)；

(2)焦点在直线x—2y—4=0上.

分析设出抛物线的标准形式，依据条件求出P的值.

解(D设抛物线标准方程为7=-2勿或x2=2py(p>0),则将点(一3,2)代入方程得2P

4Q49

=§,或2。=/,故抛物线的标准方程为或六=5%

(2)①令x=0,由方程X—2y—4=0,得y=-2.

抛物线的焦点为户(0,-2).

设抛物线方程为f=-2py,则由£=2,得2p=8.

所求的抛物线方程为1=一8/

②令7=0,由x—2y—4=0,得x=4.

・•・抛物线的焦点为尸(4,0).

设抛物线方程为V=2px,由£=4,得2P=16.

所求抛物线方程为/=16x.

知识点三抛物线在实际中的应用

®例3汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜

的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射

镜的顶点（即截得抛物线顶点）距离是多少？

分析确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离

解取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标

系xOy,如图所示.

因灯口直径IAB|=24.灯深|0P|=10,

所以点A的坐标是（10,12）.

设抛物线的方程为y?=2px（p>0）.

由点A（10,12）在抛物线上,12=2pX10,

：.p=7.2.

抛物线的焦点F的坐标为（3.6,0）.

因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.

知识点四抛物线几何性质的简单应用

⑥例4抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9/+4/=36短轴所在的直线，抛物

线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程.

分析先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数.

22

解椭圆9丁+4/=36可化为1+户1,得抛物线的对称轴为x轴.

设抛物线的方程为/=ax（aW0）,

又抛物线的焦点到顶点的距离为3,

则有子=3,.♦.|a|=12,即。=±12.

故所求抛物线方程为/=12x,或/=-12/

知识点五直线与抛物线

0例5已知过抛物线/=2.（或0）的焦点的直线交抛物线于4、8两点，且=会,

求/彳所在的直线方程.

解焦点厂（多0）,设4（为，防）、8（x2,㈤,

5

若AB_LOx,则|相|=2仄铲不合题意.

所以直线48的斜率存在，设为九

则直线四的方程为y—e，20.

y=klx-与,

由消去X,

4=2px,

整理得ky—2py—kf=0.

韦达定理得,必+尸产石'=—/

I4gl=7(汨一及)？+(y-%，

•(yi-72)

(刃+㈤？-

c/।1、5

=2。(1+?)=3夕.

解得立=±2.

.••4?所在直线方程为尸2(%一负,或y=-2U-1).

知识点六抛物线的焦点弦问题

⑨例6U是过抛物线/=2px(p>0)焦点厂的弦，M是的中点，/是抛物线的准线,

MNL1,N为垂足.求证：

(DAV1&V；

(2)/7V±^；

(3)若W交抛物线于Q,则0平分MN.

证明(1)作ACJ_1,垂足为C,作BDL1,垂足为D,在直角梯形ABDC中,

V|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,

A|MN|=-(|AC|+|BD|)

2

(|AF|+|BF|)

2

2

2

由平面几何知识可知

△ANB是直角三角形，即ANLBN.

(2)V|AM|=|NM|,

.•./MAN=NMNA,

VAC/7MN,

.,.ZCAN=ZMNA,AZMAN=ZCAN.

在△ACN和AAFN中，|AN|=|AN|,|AC|=|AF|,

且NCAN=NFAN,AAACN^AAFN,

ZNFA=ZNCA=90Q,

即FNJ_AB.

⑶在Rt^MNF中,连结QF,

由抛物线的定义及(2)的结论得

QN|=|QF|=>ZQNF=ZQFN,

且/QFN=90°-ZQFM,ZQMF=90°-ZQNF,

/.ZQFM=ZQMF,/.|QF|=|QM|,

|QN|=|QM|,即Q平分MN.

知识点七抛物线的综合问题

⑥例7过抛物线炉=2px(p>0)的焦点尸作倾斜角为6的直线交抛物线于4、8两点,

设△/!如的面积为S(0为原点).

(1)用。、。表示S；

(2)求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程.

解(1)设直线g,代入/=2px,

得，=2痣4,

即y一空旷一d=。，

K

-----2P①

-sin"」

当直线轴时，①也成立.

.•.5=10F\MFlsin的|明sin("-0)

明阂sin9

\P2P.ep

=■—•----：—s1n4—-------.

22sinF2sine

⑵当0=90°时，

若£m=4,贝&=4,

,".p='2r\[2.

，此时抛物线的方程为/=4啦x.

考题赏析

1.(辽宁高考)已知点尸是抛物线V=2x上的一个动点，则点尸到点(0,2)的距离与点尸

到该抛物线准线的距离之和的最小值为()

A.乎B.3C.mD.|

解析如图所示，由抛物线的定义知，点尸到准线”=—/的距离d等于点尸到焦点的距

离1阳.

因此点户到点(0,2)的距离与点。到准线的距离之和可转化为点尸到点(0,2)的距离与点

p0)的距离，则距离之和的最小值为

夕到点尸的距离之和，其最小值为点材(0,2)到点

V17

2•

答案A

2.(全国I高考)已知抛物线y=af—l的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三

个交点为顶点的三角形面积为.

解析Vy=ax—\,Ay+\=ax.

=2X/

令p+l=V,x=x',则v=ax'：.x

・・・x'2=~yf的焦点坐标为(0,即p+l=；i

a\4a)4a

・,・产=&^-1的焦点坐标为(o,

又？=af—1的焦点是原点，

4d4

令x=0,得y=-1,令y=0,得才=±2.

故1与两坐标轴的三个交点为(0,-1),(2,0),(—2,0),

二围成三角形面积为5=1x4Xl=2.

答案2

3.(全国n高考)已知尸是抛物线a/=4x的焦点，48是抛物线c上的两个点，线

段46的中点为#(2,2),则△/!跖的面积等于.

解析设力(小，yi),8(x2,㈤，则抬=4M,城=4*2.

A(yi+?2)(yi—72)=4(为一尼).

..,・“一二4

•X\~r~X2，••11.

xt-X2y\+y2

直线力6的方程为y-2=x—2,即了=乂

将其代入/=4x,得4(0,0)、8(4,4).

|AB\=472.又尸(1,0)到尸x的距离为平，

义X4"\/2—2.

答案2

自主训练

1.抛物线/=ax（aWO）的焦点到其准线的距离是（）

4㈤R㈤

A•丁B~

C.\a\D.—|

答案B

解析因为/=ax,所以。=高，即该抛物线的焦点到其准线的距离为得，故选B.

2.抛物线/=20x（p>0）上一点〃到焦点的距离是a（a号），则点M的横坐标是（）

A.a+垓B.a-3

C.a+pD.a-p

答案B

解析由抛物线的定义知:点材到焦点的距离a等于点必到抛物线的准线x=一卷的距离,

所以点"的横坐标即点必到y轴的距离为a—多

3.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点尸（一3,血到焦点厂的距离为

5,则抛物线方程为（）

A.y=8xB.y=-8x

C.y=4xD./=-4x

答案B

解析点尸（一3,而在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为/=一

2Pxs>0）.由抛物线定义知I杼1=3+1=5.所以°=4,所以抛物线的标准方程是/=-8乂

应选B.

4.抛物线/=ax的焦点与双曲线!一步=1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是（）

A.y=\xB.y=—4x

C./=一仆,D.y=-8x

答案D

解析因为当一/=1的左焦点为（-2,0）,所以抛物线开口向左，所以a<0,且P=*=

4,所以a=-8,所以抛物线方程为y=-8x,故选D.

5.办口厂为抛物线C：/=4x的焦点，过?且斜率为1的直线交抛物线。于4、6两点.设

\FA\>\FB\,则I加与|网的比值等于.

答案3+2也

解析；「=4才的焦点坐标为

以1,0）,准线方程为入=-1,

...过F且斜率为1的直线方程为

y=x-1.

将其代入y2=4x得

x2-6x+1=0.

V|FA|>|FB|,.,.XA=3+2A/2,xe=3-2万

又|FA|=XA+1,|FB|=XB+1>

.IFAI

邛=3+2万

"iFBI4-2V2

答案-3

6.过抛物线y'4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，0为坐标原点，则04•0B

的值是.

.解析当直线过焦点且垂直于X轴时，直线方程为x=l,代入/=4x,H2=土2.4、

8点的坐标分别为(1,2),(1,-2).

0A-OB=l-4=~3.

当直线过焦点不垂直x轴时，则直线的方程可设为了=鼠》-1),设儿8坐标分别为(为,

%)(如㈤.则/•4=16%及.

由；、得(2A+4)X+N=0,

[y=A(x—1),

OA,6^=为小+%%=1—4=—3.

7.已知圆心(x+2)z+/=l与定直线/：x=l,若动圆C与圆月相外切，且与直线/

相切，求动圆圆心。的轨迹方程.

解设圆心C到直线1的距离为"，则由题意知|=d+l从而可知圆心C到点(一2,0)

的距离和到定直线x=2的距离相等.

所以动圆圆心。的轨迹是抛物线，其焦点为(-2,0),准线为x=2,故设动圆圆心，的

轨迹方程为/=-2/ZY(/?>0),由孑=2,得0=4.

因此动圆圆心C的轨迹方程为"=一8乂

8.已知点材(-2,4)及焦点为尸的抛物线在此抛物线上求一点尸使\PM\+\PF\

o

的值最小.

分析先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点尸到焦点厂的距离等于尸到

准线1的距离d,所以求\PM\+\PF\的最小值问题可转化为求IPM\+d的最小值问题，让点P

在抛物线上运动，容易发现当点P运动到过点M且与x轴垂直的直线与抛物线的交点处时，

P^\+d最小.

解如图，设MN，x轴，与准线交于N,与抛物线交于点P,在抛物线上任取一点P',

连P'M,P'F,作P'N垂直于准线，垂足为N'.

由抛物线的定义，

|PN|=|PF|,\P'N;|-|PZF|

\P'M|+|P,N'|=|P'M|+|PZF|

|PN|+|PM|=|PM|+|PF|

V|P,M|+PN(|>|PN|+|PM|

A|P,Ml+lP*F|>|PM|+|PF|

这就是说，当P'与P重合时,PM|+|PF|的值最小

1

解方程组112得P(-2,—).

2

9.已知抛物线7=2人过点0(2,1)作一条直线交抛物线于4、3两点，试求弦4?中点

的轨迹方程.

解设弦力方的中点软x,。，力(汨，yi),B(x?,%),

则有«=2小，贽=2*2,

.>一7_2

又M+%=2%

''X\-X271+72,

.ji-y-1即T

>•——，

x\—x?y

y—1.

又丸。=='由题忌知力。

得y—x—y+2=0.

所以，弦4?中点的轨迹方程为7-x—y+2=0.

10.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135。的直线，被抛

物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

解如右图所示，依题意设抛物线方程为yJ2px(p〉0),

则直线方程为y=—x+-p.

2

设直线交抛物线于A(x“y),

B(X2,y2)1

则由抛物线定义得

|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

pp

=X1+——+X2+—f

22

即xi+x2+p=8.①

又4(小，乂)、8(小㈤是抛物线和直线的交点.

由卜r+T消去y得.3.+*。，

[y=2px,

.*.xi+x2=3p,将其代入①得p=2.

所求抛物线方程为/=4x.

当抛物线方程设为/=-2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为/=-4x.

故抛物线的方程为"=4x或/=—4x.

讲练学案部分

2.4.1抛物线及其标准方程

对点讲练

知识点一求抛物线的标准方程

►例।分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1)过点(3,-4).(2)焦点在直线x+3y+15=0上.

解(1广.•点(3,-4)在第四象限，

抛物线的标准方程为/=2px(p>0)或Y=-2p,y(p,>0),把点(3,—4)的坐标分别

代入得

169

(-4)2=2pX3,32=—20义(-4)即20=k，2n=彳

二.所求抛物线的方程为/1=6导*或*=一Q,

(2)令x=0得y=—5；令y=0得x=-15

...抛物线的焦点为(0,—5)或(一15,0)

•••所求抛物线的标准方程为/=-60x或*=-20卜

【反思感悟】求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用

已知条件求P的值.

变式迁移1求满足下列条件的抛物线的方程.

(1)以坐标轴为对称轴，且过点力(2,3)；

(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为万

解(D由题意，方程可设为7=磔或*2=心,

将点4(2,3)的坐标代入，得

94

3，=勿•2或2'=〃•3,.•.m=5或〃=看

...所求的抛物线方程为9或/=£4卜

乙O

(2)由焦点到准线的距离为|,

可知。=|.

所求抛物线方程为

V=5x或/=-5x或V=5p或V=-5乂

知识点二抛物线定义的应用

⑥例2已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点欣一3,而到焦点的

距离等于5,求抛物线的方程和应的值.

解设抛物线的方程为/=-2px(p>0),则准线方程为*=争

..•点，"(一3,而是抛物线上的点，根据抛物线定义，"点到焦点的距离等于〃点到准线的

距离

-3I+1=5：.p=4.

抛物线方程为/=-8乂

又点."(一3,就在抛物线上故/=-8X(—3)

ni=±2乖.

【反思感悟】涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的

距离，可简化计算.

变式迁移2若动圆与圆(X—2/+/=1相外切，又与直线x+l=O相切，则动圆圆心的

轨迹是()

A.椭圆B.双曲线

C.双曲线的一支D.抛物线

答案D

解析设动圆的圆心为半径为八动圆与圆(“一2)2+/=1相外切，则"到定点(2,0)

的距离为r+1,动圆与直线工=-1相切，则点"到定直线8=-1的距离为r,所以"到定

点⑵0)和到定直线*=一2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.

知识点三抛物线知识在实际中的应用

⑥例3喷灌的喷头装在直立管柱0A的顶点A处，喷出水流的最高点8高5m,且与

以所在的直线相距4m,水流落在以。为圆心，半径为9m的圆上，则管柱力的长是多少？

解如图所示，

建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2=-2py(p>0),点C(5,-5)在抛

物线上，所以25=-2P•(-5),2p=5,所以抛物线的方程为x?=-5y,点A(-4,y。)在抛物

线上，所以16=-5yo,yo=-y,所以0A的长为5-y=1.8(m).二管柱0A的长是

1.8m.

【反思感悟】根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛

物线方程解决实际问题.

变式迁移3抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽

____米.

答案2乖

解析可设抛物线方程为/=-2”,则点(一2,—2)在抛物线上，则有：4=40.

.,.p—l,抛物线方程为1=-2y,当y=-3时，x=±#.

•••水面宽为2

课堂小结：

1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的

符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负

方向.

2.焦点在y轴上的抛物线的标准方程x?=2py通常又可以写成y=ax；这与以前学习的二次

函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax?来求其焦点和准线时，必须先

化成标准形式.

3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB的端点坐标

2

分别为A(xi,yi),B(x2,y2),则y1y2=-p,xix2=——，IAB|=Xi+x2+p.

4

课时作业

一、选择题

1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，焦点在曲线9—£=1上，则抛物线方程

为（）

A.y=8xB.y=4.x

C./=2xD./=±8x

答案D

22

解析由题意知抛物线的焦点为双曲线十一］=1的顶点，即（-2,0）、（2,0）,所以抛物

线的方程为/=8才或"=-8x.

2.抛物线y=mx（K0）的焦点坐标是（）

A.（0,令B.（0,£）

C.（0,D.（0,-£）

答案B

解析由于抛物线方程可化为（欣0）,所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且

2p=--,所以§=—；,所以抛物线的焦点坐标是（0,；）,答案选B.

m24m4m

3.过点."（2,4）作与抛物线"=8x只有一个公共点的直线/有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

答案C

解析容易发现点."（2,4）在抛物线/=8x上，这样1过历点且与x轴平行时，/与抛物

线有一个公共点，或者，在M点上与抛物线相切，故选C.

4.已知P\（xi,yi）,Pilxi,%）是抛物线y—2px（p〉0）上不同的两点，贝Uy\/

是直线A月通过抛物线焦点的（）

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析设直线的斜率为衣，在x轴上的截距为xo,则。也的方程为y=4（x—X。），

x=%+xo（4=O时只有-一个交点不合题意），

所以y'=2/0/+xo）,即_/一华y—2Pxo=O.

当直线尸12过焦点时，xo=导则防鹿=-p：

当片次=-A?时，即一2〃的=一炉'，则刘=5直线过焦点.

当斜率不存在时也可验证是充要条件.

5.过抛物线/=4x的焦点作直线交抛物线于/（小，/）,B（xz,㈤两点，如果汨+及=6,

那么/冽等于（）

A.10B.8C.6D.4

答案B

解析方法一由已知得抛物线焦点为（1,0）,过焦点的直线设为尸火才一1）（由小+热

=6知，此直线不平行于y轴，因而衣存在）.

由1"消去p得六/一2（^+2）不+六=0.

,y=4x,

得k=±\.所以|（1+如）（为一冠2=2（不一范产=

x\•A2=l

64,故|明=8.

方法二由焦半径公式

,AB\—\AF\-\-.BFi\=小+]+用+§=8.

二、填空题

6.抛物线2/+5x=0的焦点坐标为,准线方程为.

答案（V°）x=l

解析化抛物线2/+5x=0为标准方程7=一占20=也所以焦点坐标为（一*

ZZZoo

0）,准线方程为

O

7.设点«3,¥）与抛物线「=2”上的点尸之间的距离为d,。到抛物线准线/的距离

为&,则当d+d取最小值时，/点坐标为.

答案（2,2）

解析当尸点是历与焦点,，0）连线与抛物线交点时，d+出最小，物'的方程为

9

一泉与抛物线V=2x联立得PR,2）.

O

三、解答题

8.过点0（4,1）作抛物线/=8x的弦四，若弦恰被。平分，求46所在直线方程.

解设力（汨，跖），8（*2,㈤，因点0（4,1）为46的中点

[XI+X2=8,

则有｛,将1、3两点坐标代入y=8*

lyi+/2=2

y\—Sxi①

则有，。

.疚=8*2②

①一②得：（防一度）（%+度）=8（为一冠，

由弘+及=2,则有~——4,

M一吊

二所求直线方程为y—1=4（%—4）,即4x—y-15=0.

9.一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩

形大木箱，问能否安全通过？

解

建立坐标系如图，设抛物线方程为

x=-2py,

则点（26,-6.5）在抛物线上，

.,.26*2--2p•（-6.5）,

；.p=52,抛物线的方程为x?=-104y,

当y=—0.5时，x=±2V13,则有4万>4,

所以木箱能安全通过.

10.已知过抛物线〃=2px（p>0）的焦点厂的直线交抛物线于/（刘，力）,夙如㈤两点.

求证：（1）X1也为定值；

给）倔y+》[为定值.

证明（1）抛物线/=2px的焦点为《，0）,

当月6不垂直于x轴时，

设直线血的方程为尸«圄（20）.

由卜小一9消去y,

[y=2px

得六寸——p（必+2）x+~~~=0.

由根与系数的关系得占也=?（定值）.

当轴时，x\=x?=g

2

X1至=/■也成立.

（2）由抛物线的定义知，

\FA\=汨+5|必|=在十苫

又由（1）得小才2=?,

所端T

汨+%+夕

苴（不+意+汨莅+£

汨+&+2=2（定值）.

彳（为+%+。）''

2.4.2抛物线的简单几何性质

对点讲练

知识点一由性质求方程

⑥例।已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆/+/=4相交的公共

弦氏等于2#,求这条抛物线的方程.

解设讲求抛物线方程为/=2px（p>0）或/=-2〃x（p>0）,设交点力（xi,yi）,BQ,%），

（yi>0,度<0）,则|%|+I度I=2#,即八一%=小打，由对称性知，度=一九代入上式得力

=*,把必=馅代入x+/=4得x=±L所以点（1,镜）在抛物线/=20才上点（一1,镜）

在抛物线「=一2,彳上，所以3=2,或3=—20义（-1）.所以,=会所以所求抛物线方程为

y'=3才或y=—3x.

【反思感悟】（1）由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法.（2）由于抛物线

是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分.

变式迁移1已知抛物线的焦点在X轴上，直线y=2x+l被抛物线截得的线段长为诉,

求此抛物线的标准方程.

解•.•抛物线的焦点在x轴上,

•••设它的标准方程为"=2px

y—2px

由方程组',得"+(4—2p)x+l=0.

匕=2x+l

•J汨一也I-------------—.

y11+2'|x\~xi\=^^\/p2—4p.

^^7p2—4p=y[15.”=6或。=-2.

•••抛物线的方程为V=12x或/=-4x.

知识点二与抛物线有关的证明问题

，例2过抛物线焦点厂的直线交抛物线于4,E两点,通过点4和抛物线顶点的直线

交抛物线的准线于点〃，求证：直线的平行于抛物线的对称轴.

证明

如图所示，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.

设抛物线的方程为y?=2px,①

点力的坐标为僚，外），

则直线处的方程为‘

Ti’②

抛物线的准线方程是x=_g③

联立②③，可得点〃的纵坐标为y=-2④

因为点尸的坐标是(5oj,当仞Lx轴时，|%|=p

此时，|如|=|勿|,二如〃”轴

当48与x轴不垂直时，即近时，

直线力尸的方程为y=⑤

联立①⑤,可得点8的纵坐标为〃=一(.⑥

由④⑥可知，〃6〃x轴.

【反思感悟】因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个

变量表示出来，如上任一点，可表示为(以，，，注意恰当运用.

变式迁移2设抛物线「=2px(p>0)的焦点为F,0是抛物线上除顶点外的任意一点，直

线。。交准线于。点，过0且平行于抛物线对称轴的直线交准线于彳点，求证：PF1RF.

证明

如图所示，设点Q

贝ijR.(——,yo)

2

直线0Q的方程为y=&x,

yo

当x=-E时，解得y=-",

2yo

,P=&%又F(E

0),A脐=,前=5,一%)

2yo2

.•.宓■•麻土0,：.PFA.RF.

知识点三直线与抛物线的交点问题

⑥例3已知抛物线的方程为*=4x,直线1过定点户(一2,1),斜率为k.k为何值时,

直线/与抛物线V=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解由题意，设直线/的方程为y—1=HX+2).

y—1=4(x+2)

由方程组

y=4x

可得：ky—4y+4(24+1)=0.①

(D当衣=0时，由方程①得y=l.

把y=l代入/=4x,得x=*

这时，直线/与抛物线只有一个公共点(；，1)

(2)当kWQ时，方程①的判别式为

△=一16(24+才一1).

1°由4=0,即2如+4-1=0,

解得k——\,或★=/

于是，当衣=一1,或在二'1时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时,

直线/与抛物线只有一个公共点.

2°由4>0,即2六+4一1<0,解得一l<*g.

于是，当一1<伙/且4去0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解.这时，直线/

与抛物线有两个公共点.

3°由4<0,即22+力一1>0,

解得在<—1,或衣斗.

于是，当衣一1,或时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解.这时，直线/

与抛物线没有公共点.

综上，我们可得

当a=-1,或A=；,或4=0时，直线/与抛物线只有一-个公共点；

当一1<人看且4W0时，直线/与抛物线有两个公共点;

当K—1,或A〉$寸，直线，与抛物线没有公共点.

【反思感悟】当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个

交点.解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解.

变式迁移3直线/：y=kx^\,抛物线a〃=4%,当A'为何值时，/与C分别相切、相

交、相离？

fy—kx+1,①

解将/和C的方程联立L人

[4=4x,②

①式代入②式，并整理，得

发/+(24—4)x+l=0.

当*#0时，是一元二次方程，

，4=(2〃-4)2—4片=16(1一公.

(1)当4=0时，即4=1时，/与C相切.

(2)当4>0时,即衣1时,/与C相交.

⑶当/<0时，即衣>1时，/与C相离.

当4=0时.，直线/：尸1与曲线a/=4才相交.

综上所述，当％=0或%<1时，/与C相交，当衣=1时，/与C相切，当A>1时，1与C

相离.

课堂小结：

1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为X轴,求抛物线的标准方程时，为避免讨论

张口的方向可设抛物线的方程为y'2ax(aWO).此时，不论a>0或a<0,焦点坐标都是(幺,0),

2

准线方程都为x二-色.

2

2.抛物线y"=2px(p>0)上任一点的坐标可用一个量yi表示为;x?=2py(p>0)

2P

X\

上任一点坐标可设为(Xi,—).

2P

3.直线与抛物线的位置关系

设直线1：y=kx+m,抛物线：y、2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x

的方程：ax2+bx+c=0,

⑴若a#0,

当A〉0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当△=()时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当A<0时，直线与抛物线相离，无公共点.

(2)若a=0,直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重

合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

课时作业—一♦

一、选择题

1.P(x。，用)是抛物线V=2px(pr0)上任一点，则户到焦点的距离是()

A.|B.|xo+负

C.|x«—p\D.|Ao+pl

答案B

解析当。>0时，由抛物线定义得点尸(施，㈤到焦点的距离为刘+家当。〈。时由抛物

线定义知网质，㈤到焦点的距离为一日一施，综上得所求距离为|刘+£,故选B.

2.过抛物线/=4x的焦点作直线/交抛物线于4、8两点，若线段^中点的横坐标为

4,则|力以等于()

A.10B.8C.6D.4

答案A

解析设/、6两点的横坐标分别为无、x,„则有玉+葡=8,

\AB\=\AF\+IBF\—XB+^

=8+p=8+2=10.

3.抛物线〃=2以与直线ax+y—4=0的一个交点是(1,2),则抛物线的焦点到该直线

的距离为()

A.|,\/3

C•娜D.乎

答案B

解析由已知得抛物线方程为V=4x,直线方程为2x+y-4=0,抛物线y=4x的焦点

坐标是尸(1,0),到直线2x+y-4=0的距离占与空。=呼

V?+l5

4.若抛物线7=2px(0〉0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物

线焦点的距离的关系是()

A.成等差数列

B.既成等差数列又成等比数列

C.成等比数列

D.既不成等比数列也不成等差数列

答案A

解析设三点为尸I(XI,珀，Pi(xz,㈤，P人X3,7s),

则状=20小，yi—2pxi,ys.-7.px).,因为2状=苏+苏，

所以XI+>3=2X2,

即|尸㈤一介旧"一劳=20班一外

所以|K冏+记/=2]台尸

二、填空题

5.抛物线的顶点在原点，准线垂直于x轴，且焦点到顶点的距离为4,则其方程为

答案/=16才或/=-16x

解析焦点到顶点的距离即^=4,p=8.

6.抛物线y=f上的点到直线2x—y-4=0的距离最短的点的坐标是.

答案(1,1)

解

析设点1(x,。是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d=^|2x-y

4」V5

x—41

V5

--(1)2—31