高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (二)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（2）

单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

如图，在单位正方体ABCD-aB1GD1中，点P在线段上运动，给出以下四个命题:

①异面直线4P与BCi间的距离为定值；

②三棱锥。-BPCi的体积为定值；

③异面直线GP与直线CBi所成的角为定值；

④二面角P-BG-。的大小为定值.

其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.长方体4BCD-&BiGDi中,4B=力。=l,AAt=2,E为棱A①的中点，则直线C】E与平面CB/i

所成角的余弦值为（）

A.如B.延C.匹D.|

9933

3.球。的截面把垂直于截面的直径分成1:3,若截面圆半径为百，则球O的体积为

A.167rB.等C.4V3TTD.等

4.在棱长为1的正方体48。。-4a的。1中，E,F分别是棱

4道1，6。1的中点，N为线段BiC的中点，若点P,M分别为线段

DiB,EF上的动点，贝IJPM+PN的最小值为（）

A.1

B逑

4

C2V6+x^2

・4

D四

2

5.在正方形SGiG2G3中，E、尸分别是G1G2及G2G3的中点，。是EF的中点，

现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G］、G2.G3三点

重合，重合后的点记为G,那么，在四面体S-EFG中必有（）

A.SG!△EFG所在平面

B.SD!△EFG所在平面

C.GF1ASEF所在平面

D.GD1ASEF所在平面

6.在梯形ABC。中，AB//CD,ADLAB,AB=4,AD=CD=2,将梯形ABC。沿对角线AC折

叠成三棱锥。一4BC,当二面角0-AC-B是直二面角时，三棱锥。-4BC的外接球的表面积

为（）

A.4兀B.87rC.127rD.16兀

7.设长方体的对角线长是4,过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60。，则此长方体的体积是

（）

A.fB.8V2C.86D.1673

8.己知三棱锥P-4BC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三

角形，三棱锥P-ABC的体积为竽，则此三棱锥的外接球的表面积为（）

A167rD407rc647r八807r

A•亏B・亍C.-D.—

9.已知正四面体ABC。，点P在线段CO上，且CP=2PD,二面角Z-BC-D,P-AB-D,C-

4P—B的平面角分别记为a,0,y,则（）

A.£<a<yB./?<y<aC.a<p<yD.a<y<p

二、多项选择题（本大题共2小题，共8.0分）

10.如图四棱锥P-ABCD所有棱长均为4,点M是侧棱PC上的一个动点（不与点P,C重合），若

过点M且垂直于PC的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是

A.截面的形状可能为三角形、四边形、五边形

B.截面和底面ABCC所成的锐二面角为3

C.当PM=1时，截面的面积为5a

D.当PM=2时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为匕，匕（匕>眩），则匕=3%

11.如图，在正四面体P-4BC中，D,E,F分别是AB,BC,C4的

中点，下面四个结论成立的是（）

A.8c〃平面PDFA<^ZZr7，'\/C

B.DF_L平面PAED\-

C,平面PDF_L平面PAEB

D.平面POE_L平面ABC

三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

12.在棱长为1的正方体48<70-&8道1。1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若满足

\PA\+IPCJ=m点、P的个数为6,则m的取值范围是.

13.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2S，AB=4,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，

则正方体的最大棱长为.

14.设P、A、B、C、。是表面积为36兀的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P-ABCD

体积的最大值为.

15.已知球。与棱长为2/的正方体力BCD-48传1。1的所有棱相切，点〃是球O上一点，点N是

△4CB］的外接圆上的一点，则线段的取值范围是.

16.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为./IT/

正（主）视图愀左阀图

俯视出

17.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，团ABC是边长为4的等边三

角形，三棱锥P-4BC的体积为竽，则此三棱锥的外接球的表面积为.

四、解答题（本大题共13小题，共156.0分）

18.如图，在三棱锥P-4BC中，/.APB=90°,/.PAB=60。，AB=BC=CA,平面PAB_L平面ABC。

（I）求直线PC与平面A8C所成角的正切值;

（口）求二面角B-AP-C的余弦值.

19.直角三角形ABC中，NC=90。,4。=4,8C=2,E是AC的中点，尸是线段AB上一个动点，且

AF=AAB（0<X<1},如图所示，沿2E将ACEB翻折至AOEB,使得平面DEB_L平面ABE.

B

(1)当;I=：时，证明：8。_1_平面。£/；

(2)是否存在4,使得DF与平面AOE所成的角的正弦值是当？若存在，求出4的值，若不存在,

请说明理由.

20.如图，在三棱锥P-4BC中，平面PAC_L平面ABC,P。_L4c于点£>,5.DC=2AD=2E^JPC

上一点，PE:EC=1：2

(1)求证：OE〃平面PA8

(2)求证：平面PDBJ_平面ABC

(3)若PD=2,AB=V3.NABC=60°,求三棱锥P-力BC的体积.

21.四棱锥P-HBCD中，侧面尸4。为等边三角形且垂直于底面ABC£),

AB=BC=\AD^BAD=AABC=^.

(1)证明：直线BC〃平面PAD;

(2)若4PCC面积为2«,求四棱锥P-ABCC的体积.

22.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面为等边三角形且垂直于底面ABC£>,AB=BC=^AD,

ZBAD=4ABe=90°.

(1)证明：直线BC〃平面PAD：

(2)若4PCD的面积为2夕，求四棱锥P-ABCD的体积.

23.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形4BCZ)是矩形，AB=痘,AD=2,△PAD为正三角形，且

平面2401平面4BCZ),E、F分别为PC、P8的中点.

(1)证明：EF〃平面PAQ；

(2)求几何体ABCDEF的体积.

24.如图，四棱锥P-4BCC中，4P4D为正三角形，AB//CO,AB=2CD,Z.BAD=90°,PA1CD,

£为棱PB的中点.

(1)求证：平面PAB平面CDE；

(2)若直线PC与平面PA。所成角为45。，求二面角A-DE-C的余弦值.

25.在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，/BAD=60°,PAiffiABCD,PA=遮,

E,尸分别为BC,PA的中点.

5

(I)求证：BF〃面PDE；

（n）求二面角。-PE一月的大小的正弦值;

（也）求点C到面PQE的距离.

26.如图1,4ACB=45。,8。=3,过动点A作AD1BC,垂足。在线段BC上且异于点8,连接

AB,沿AO将折起，使乙8。。=90。（如图2所示），

图1图2

（1）当BQ的长为多少时，三棱锥力-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥4-BC。的体积最大时，设点E,M分别为棱8cde的中点，试在棱8上确定一点N,

使得EN1BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.

27.如图，在四边形ABC。中，/.DAB=90°,^ADC=135°,AB=5,CD=2近,AD=2,求四

边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积・

28.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ"平面ABC。，AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1.

(I)若直线与8所成角的大小为g，求BC的长;

(E)求二面角B-PD-4的余弦值.

29.如图，在四棱锥P-ABC。中，PAABCD,AD//BC,AD1CD,HAD=CD=2VLBC=

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段尸。上，是否存在一点M,使得二面角“一AC-D的大小为45。，如果存在，求

与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

30.如图，扇形408的半径为2,圆心角乙4OB=120。，点C为弧43上一点，P。，平面A08且P。=

花，点MePB且BM=2MP,P4〃平面MOC.

(：

(1)求证：平面MOC1平面POB；

(2)求平面尸OA和平面MOC所成二面角的正弦值的大小.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：

本题重点考查了异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法；三棱锥的体积计算可以进行顶点轮

换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都行等这一结论；考查计算能力，空间想象能力.

对于①由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点轮换性求解体积，和点尸的位置及直线4%与

平面BOQ的位置即可判断正误；对于②三棱锥的底面0BQ为定值，判断P到平面OBCi的距离是否

是定值，即可判断正误；对于③由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求异面直线间的方法及

可求解.

解：对于①因为P64D1，而力DJ/BG，易证BG〃平面40。遇1，

所以异面直线为P与BG间的距离即为BQ到该平面的距离，

所以所求的距离为定值，所以①正确；

对于②三棱锥的底面DBG为定值，因为4DJ/BG，

所以g〃平面DBG，PeADr,

所以P到平面DBG的距离是定值，

所以三棱锥。-BPCi的体积为定值；

故②正确；

对于③因为在棱长为1的正方体力BCD-&B1QD1中，点尸在线段AD】上运动，

有正方体及题意易有反。1平面4BC1A，而C/u平面4BC1A，

所以当C1C】P,故这两个异面直线所成的角为定值90。，

故③正确.

对于④：二面角P-BG-。的大小，是平面4BC15与平面BDG所成的二面角，

这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，④正确；

故选。.

2.答案：A

解析:

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

以。为原点，D4为x轴，CC为y轴，0劣为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面

直线OE与占&所成角的余弦值.

解：以。为原点，04为x轴，0c为y轴，DO1为z轴，建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),C(0,l,0),Di(0,0,2),EQO,1),。式0,1,2),8式1,1,2),

函=(1,0，2),=(1,1,0),

设平面CB1。1的法向量为元={x,y,z),

则(五•CB1=x+2z=0

(n-=x+y=o'

取z=l,得记=(-2,2,1),

设直线GE与平面CBiDi所成角的余弦值为8,

则$讥9=蠢孺=熹=善'

•••COS。="l-S*=Jl_岛)2=焉=当

••・异面直线GE与平面CB1A所成角的余弦值为当，

故选A.

3.答案：D

解析：

本题考查的知识点是球的结构特征及其体积公式，属于基础题.根据若球的截面圆半径为r,球心距

为4球半径为R,则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出求半径,

即可求出结果.

解：设球的半径为R,

••,球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3,

•••平面a与球心的距离为《R,

••・截面圆半径为遥，

=(V3)2+(|/?)2,

R2=4,即R=2,

[

•••球的体积为V=t7TX^

<5<5

故选D.

4.答案:B

解析：

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，连接&Di交EF于G,连接PG,则EF，平面

故£72PG,从而PM的最小值PG,可知G为EF的中点，为的四分之一.其次，连接BD,

设其中点为H，连接尸”，BJ,则AOiOB三ADiGB,从而PN=PH,最后，连接G"交8名于K,

则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为G”,即可得出结论.

,/H'W

LR

如图，首先PM的最小值就是P到EF的距离.连接当历交EF于G,连接PG,贝怀尸_L平面口避过氏

故EELPG,从而PM的最小值PG,

可知G为E尸的中点，。母为D$i的四分之一.

其次，连接BQ,设其中点为“，连接P”，BCr则ADiOB三△/QB,从而PN=PH.

最后，连接G/Z交BO】于K,则当尸为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH.

•.・正方体4BCD-4当6。1的棱长为1,

故选8.

5.答案:A

解析：

本题考查线面垂直的判定定理及空间想象能力，属于基础题.

根据题意，在折叠过程中，始终有SGi_LGiE,SG31G3F,BPSG1GE,SG1GF,由线面垂直的判

定定理，即可给出正确的选择.

解：•••在折叠过程中，

始终有SGi1GyE,SG31G3F,

即SGIGE,SG1GF,又GECGF=G

所以SG，平面EFG.

故选A.

6.答案：D

解析：

本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.画出图形,

确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可.

解：•••在梯形ABC。中，AB//CD,AD1.AB,AB=4,AD=CD=2,

：.AC=2V2,BC=2V2,•••AC1.BC.

取AB的中点O,AC的中点E,连接£>E,OE.

当二面角。-AC-B是直二面角时，DELOE,可得。4=。8=OC=。。=2,

•••。为三棱锥。-ABC的外接球的球心，半径r=2,

球的表面积为47rx22=167r.

故选。.

7.答案：B

解析：

本题主要考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属基础题.

设长方体的过一顶点的三条棱长为。，b,c,并且长为a,b的两条棱与对角线的夹角都是60。，求出

a,b,c,从而可出长方体的体积.

解：设长方体的过一顶点的三条棱长为a,b,c,并且长为a,b的两条棱与对角线的夹角都是60。,

则a=4cos60°=2,b=4cos600=2,

根据长方体的对角线性质，有。2+/)2+。2=42,

即2?+22+c2=42,c=2A/2.

因此长方体的体积U=abc=2x2x2或=8a.

故选8.

8.答案：D

解析：

本题主要考查了棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点P到面ABC的距离.

根据三棱锥P-ABC的体积可得点尸到平面ABC的距离为白，从而得到球心0到平面ABC的距离为

%正AABC的外接圆半径为，一于端；=T，因此R2=N+（2）2=个，从而求出外接球的表

V32sin（）0-J3V33

面积.

解：依题意，记三棱锥P-ABC的外接球的球心为0,半径为R,点尸到平面ABC的距离为儿

则由0-ABC=3sAABCh=5X4X42）Xh=?得h=亲.

又PC为球0的直径，因此球心0到平面ABC的距离等于：八=套.

又正△ABC的外接圆半径为r=又念=白，因此R2=产+（急2=等

zsinouVJv-53

三棱锥P-ABC的外接球的表面积等于4兀/?2=?兀

故选D.

9.答案：A

解析：

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，二面角的概念，考查空间想象能力与逻辑

推理能力，属于综合题.

先作出二面角a—BC—D，P-AB-D,C—AP—B的平面角，再比较大小即可.

解：如图，

A

正四面体ABC。，取8C的中点F,连接AF,DF,取AB的中点E,连接CE,ED,EP,

贝ijAFIBC,DF1BC,CELAB,ED14B,EPLAB,

二面角4—BC—D的平面角为乙4FD=a,

又♦.,正四面体相邻两面所成角相等，NCE。=Z.AFD=a,

二面角P-48-。的平面角为"ED="由图可知NCE。>KPED,

・•・1>/?,

又过点B向平面ACD作垂线B0,则垂足0为正ZL4CD的中心，

过。分别作4。，AP的垂线，则0Q1AP,易知。H>OQ,

二二面角C—AP—B的平面角为4BQ。=y,乙BHO=Z.AFD=a,

t;ury=>tana=tanNBHO=,

\_yfl

tairy>tann,y>a,

综上，<a<Y-

故选A.

10.答案：BCD

解析：

本题主要考查二面角，空间几何体的截面问题，以及棱锥的体积.属于难题.

利用二面角，空间几何体的截面问题，以及棱锥的体积的有关知识，对每个选项进行判断，即可得.

解：4选项中，如图，连接B。，

当M是PC中点时，MC=2,

由题意知三角形尸。C与三角形P8C都是边长为4的正三角形，所以DM工PC,BMLBC,又DM,

8例在面MB。内，且相交，所以PC1平面PB。，三角形MB。即为过点“且垂直于PC的截面，此

时是三角形，点"向下移动时，MC<2,如图，仍是三角形；

若点M由中点位置向上移动，MO2,在平面POC内作EMJ.PC,交PD于E,

在平面尸8c内作FM1PC交PB于F,平面MEF交平面PAD于EG,交PAB于FH,即交平面ABCD

于GH,则五边形MEGHF即为过点M且垂直于PC的截面，此时是五边形；

故截面的形状可能为三角形、五边形，A错误；

8选项中，因为截面总与PC垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面A8CZ)所成的锐角为定

值，不妨取M是中点，连接AC,BD,MB,MD,设AC,BD交点是N,连接PN,由题意知，四边

形ABC。是边长为4的菱形，BD1AC,因为MB=MZ),所以MN1BD,故4MNC是截面与平面

ABC。所成的锐角，过点M作MQL4C,垂足Q.在三角形P4C中，MN=2,NQ=或，故在直角

三角形MNQ中，cos乙MNC=阻=出，故NMNC=£,故B正确；

C选项中，当PM=1时，M是PC中点，如图，五边形MEG/Z/即为过点M且垂直于PC的截面，

依题意，直角三角形PME中，PE=P：“=2,故E为P£>的中点，同理，F是尸2的中点，则

cosZEPDM

EF是三角形尸8。的中位线，EF=池=2近,G,"分别在40,48的中点上，

证明如下，当G,H,也是中点时，GH//BD.GH=^BD,有GH"EF,GH=EF=2近，四边形EFHG

是平行四边形.依题意，三角形PAC中P4=PC=4,4C=4VL故P41PC,故PC1GE,易见，

正四棱锥中BD_L平面PAC,故BD1PC,GH_LPC,因为GE,GH均在平面EF”G内，且相交，所

以PC，平面EFHG,故此时平面E/7/G和平面MEF即同一平面.又BO_L平面PAC,有GH_L面平面

PAC,GHLGM,根据对称性有GH1GE,四边形EFHG是矩形.

即五边形MEGHF即为过点M且垂直于PC的截面,

平面图如下:

依题意，GH=EF=2岳EG=FG=2,三角形高为九=冏-(5=1-

面积是［x2V2xl=V2,四边形面积是2或x2=4/，故截面面积是5V2.

故C正确；

。选项中，若PM=2,看B选项中的图可知，忆=VM-BCD="P-BCD="PTBCD，故剩余部分匕=

O

4^P-ABCD，所以匕=3%，

故。正确.

故选BCD.

11.答案：ABC

解析：

本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判定，属于中档题.

由DF〃8C,能证明BC〃平面PDF；由已知推导出4E1BC,PE1BC,从而BC1平面PAE,进而DF1

平面「AE；由CF_L平面PAE,推导出平面PDF_L平面PAE；由已知得平面P4E_L平面ABC,从而平

面POE与平面A8C不垂直.

解：4因为在正四面体P-ABC中，D,E,尸分别是AB,BC,C4的中点，所以DF〃BC,因为DFu平

面PDF,BC仁平面PDF,所以BC〃平面PDF,故A正确；

8.因为4B=AC=PB=PC,E为BC的中点，所以4E1BC,PE1BC,因为4EnPE=E,AE,PEu

平面PAE,所以BC_L平面PAE,因为DF〃BC,所以DF1平面PAE,故B正确；

C.因为OF1平面P4E,且。Fu平面PDF,所以平面PDFJ■平面PAE,故C正确；

D因为DF1平面PAE,DFu平面ABC,所以平面P4EJL平面ABC,因为平面PAEn平面PDE=PE,

且PE与平面ABC不垂直，所以平面PQE与平面ABC不垂直，故。不正确.

故选ABC.

12.答案：（V3,V5）

解析：

【试题解析】

本题主要考查了正方体的结构特征，立体几何中的探索性问题，属于难题.

分析点尸在B或5为端点的棱和不是8或A为端点的棱上时m的取值范围，再根据满足条件的点P

的个数进行判断.

解：如图，PB+\PD[\^m,

当P在B或％为端点的棱（共6条）上时，如点尸在4。1上,

此时旧<77l<V2+1,

当P在不是B或5为端点的棱（共6条）上时，如点尸在CQ上,

将平面CDDiG翻折到和平面BCG为同一平面，如图，

则|P£)il+\PB\>V12+22=4,

此时遍<m<V2+1，

若满足PB\+PEM,〃的点尸的个数为6,

分析可得，有且仅有B或5为端点的每条棱上存在一个点P,

故，"的取值范围为me（8,通）.

故答案为：（百,石）.

13.答案：|

解析：解：正四棱锥P—ABC。中，P4=2近，4B=4,

可得P-4BCD的高为h=JPA2一弓AB?=y/20-8=2y/3>

设正四棱锥的内切球的半径为「，

Vp-ABCD=]SABC。八=IX16X2遍—

由正四棱锥的斜高为"=JPA2—（"）2=回』=4,

可得正四棱锥的表面积为S全=42+ix4x4x4=48,

?32怖-

即有内切球的半径为r="泮里=二=这，

露483

由正方体为球的内接几何体可得：

正方体的对角线即为球的直径，

设正方体的边长为«,可得2r=aa,

可得a=p

即有正方体的最大棱长为右

故答案为：

运用正棱锥的性质，求得正四棱锥的高和斜高，设正四棱锥的内切球的半径为厂，运用等积法，结合

棱锥的体积公式，可得r,再由球的直径即为正方体的对角线，即可得到所求最大值.

本题考查正四棱锥的性质和内接正方体的棱长问题，运用正四棱锥的内切球和正方体的关系是解题

的关键，属于中档题.

14.答案：y

解析:

本题考查棱锥结构特征、棱锥体积公式、球表面积公式及利用基本不等式求最值，属于基础题.

设球心到四棱锥底面的距离为X,可得底面边长为近x停』，代入棱锥体积公式，再利用基本

不等式可得最大值.

解：由已知可得球的半径r=3,

设球心到四棱锥底面的距离为x,棱锥的高为九=3+，

底面边长为疙xV32-%2.

P-4BCD的体积V=|x2X(9-x2)(3+%)

=|(3+x)(3+x)(6—2x)

1「(3+%)+(3+M)+(6-2,3_竺

―3L3」—"P

当且仅当％=1时等号成立.

故答案为

15.答案：解：由题意得棱切球的半径为2,且球心。与正方体的中心重合，

所以0M=2,

易知44cBi为正三角形，且球心。到A点的距离［0*=76,

所以球心。到AACBi的外接圆上任意一点的距离均为遥，

于是ON=V6，OM=2,

因为|0N-0M\《MN4\0M+0N\,

所以线段MN长度的取值范围是［逐-2,遍+2］.

故答案为：［乃―2,通+2］.

解析：本题考查几何体与球的问题，属于较难题.

由得棱切球的半径为2,球心。到的外接圆上任意一点的距离都相等，可得。M=2,0N=

V6.结合|OM-ON||OM+ON|,

即可求出线段长度的取值范围.

16.答案：3

解析:

本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.由三

视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该

四棱锥最长棱的棱长.

解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，

底面A8CZ）是一个正方形，PB1底面ABC£>、PB=1,AD=AB=BC=1,

二该四棱锥最长棱的棱长为PD=>JPB2+BA2+AD2=Vl2+12+12=遍,

故答案为V5.

17.答案：等

解析:

根据题意作出图形，欲求球0的表面积，只须求球的半径兀利用截面圆的性质即可求出。01，进而求

出底面ABC上的高PC,即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r,从而解决

问题.

解：根据题意作出图形,

设球心为0,球的半径兀过ABC三点的小圆的圆心为01，

则。01_L平面ABC,延长CO】交球于点D,则PD平面ABC.

•••△ABC是边长为4的等边三角形，CO】=g=警

・•・。。1=

••^]PD=2001=

・・・△ABC是边长为4正三角形,

/.=—x4x4xsiu60"=4v砥,

'1616

,e*V三棱解-ABC=9X4V3~x22r4--------=—

33

20

・•・r7=―

3

则球。的表面积为4兀〃=詈,

故答案为等.

18.答案：解：(1)过点尸作「。148于0,连接。C.

由平面P4B_L平面ABC,知P。J_平面ABC,

即NOCP为直线PC与平面A8C所成的角.

因为乙4PB=90°,Z.PAB=60°,

不妨设P4=2,则。。=6，AO=1,AB=4.

因为4B=BC=CA,所以4C4B=60°,

所以。C=J4z+l2-2x4xlxi=V13.

在RtAOCP中，tan〃)PC=竺=再="

OCV1313

即直线尸C与平面48c所成的角的正切值为等.

O

(〃)过C作CD_LAB于O,由平面1平面A8C,知CD1平面PA8.

过点。作DE1P4于E,连接CE,据三垂线定理可知CEJ.P4

所以，NCE。为二面角的平面角.

由（I）知4B=4,又4APB=90。，Z.PAB=60°,

所以CD=2>/5，DE=V3，CE=715.

在RtACDE中，cosZ.CED=—=-^=——.

CEV155

故二面角B-AP-C的余弦值为

解析：本题考查线面角，考查面面角，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查

学生的计算能力，属于中档题.

(1)过点/5作「。_1_48于0,连接OC,可得4OCP为直线PC与平面A8C所成的角，从而可求直线

PC与平面ABC所成的角的正切值；

(1I)过C作C。14B于。，过点。作DE1PA于E,连接CE,/CED为二面角B---AP--C的平面角，

则可求二面角8-AP-C的余弦值.

19.答案：解：(1)在44BC中，ZC=90°,即ACJ.BC,

则BO1DE,

取BF的中点N,连接CN交BE于M,

当4=9时，F是AN的中点，而E是4c的中点，

EF是2L4NC的中位线，EF//CN.

在ABEF中，N是BF的中点,

••.M是BE的中点.

在RMBCE中，EC=BC=2,

•••CM1BE,则EF1BE.

又平面DBE_L平面ABC,平面DBEn平面4BC=BE,

EF1平面DBE.

又BOu平面BDE，:.EF1BD.

而EFCtDE=E,：.BD_L平面DEF.

(2)

则C(0,0,0),4(4,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),

由(1)知M是BE中点，DM1BE,而平面DBE1平面ABC.

DM_L平面ABC,

则。(Li,VI).

假设存在满足题意的；l,则由我•=4/.

可得产(4—4尢2A.0),

则DF=(3-4A,24-1,-72)-

设平面AOE的一个法向量为i=(x,y,z)，

则｛展”=0，即｛-2X=)

n-AD=0,-3x+y+V2z=0,

令7=或，可得x=0,z=-1,即£=(0,企,一1).

DF与平面ADE所成的角的正弦值

TT

DF-n

sin。=|cos(DFn)|=|

,

\DF\\n\

|在(22-1)+6|=V2

V3-J(3-4A)2+(21-l)2+(-V2)2—3•

解得2=:(2=3舍去).

综上，存在"玄使得”与平面做所成的角的正弦值衅

解析：(1)由NC=90。得BOJ.DE,取BF的中点N,连接CN交BE于M,可得到CM1BE,

EF18E.利用平面。BE_L平面ABC,由面面垂直的性质得到EF_L平面OBE.得到EF1BD.再由直线

与平面垂直的判定定理得到BC工平面OEF.

(2)以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.设存在

满足题意的九*=Z/而.求出后的坐标，设平面AOE的一个法向量为£=(x,y,z)，利用

T—>

{71,竺=°，求出骨的坐标，再由sinO=|cos(而，为|=|.|列等式，解出;I的值.

n-AD=0,|DF||n|

20.答案：解：(1)•••登=号=2,二DE//PA,

■：DE仁平面PAB,PAu平面PAB,：.DE//平面PAB-,

(2)因为平面R4CJL平面ABC,

且平面P4CCI平面4BC=AC,PDu平面PAC,PDLAC,

所以P。，平面ABC,

又PDu平面PDB,

所以平面PDBJ■平面ABC.

(3)由(2)可知PO，平面48c.

△ABC中，AB=V3./-ABC=60%4C=3,由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos600,

所以SC?一百BC-6=0，

所以BC=2如或一B(舍去).

△ABC的面积SMBC=\AB-BC-s讥60。=1-V3-2V3-y=^.

所以三棱锥P-ABC的体积/TBC=：XShABCxPD=V3.

解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法.解

题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

(1)利用线段成比例，直线平行；

(2)PD_L平面ABC,从而平面PAC_L平面ABC；

(3)用余弦定理得AC长，求得△ABC的面积，从而由三棱锥体积公式得到答案.

21.答案：解：(1)证明：四棱锥P-ABCD中，•••ZB4D=44BC=90。.

BC//AD,mu平面PAD,BC<t¥®PAD,

直线BC〃平面PAD：

(2)解：四棱锥P—ABC。中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABC。,4B=BC=^AD,^BAD=

/.ABC=90。.设AD=2x,

则AB=BC=x,CD=V2x.。是A。的中点，

连接PO,OC,C£>的中点为：E,连接OE,

则OE=—%,PO=V3x-PE=VPO2+OE2=隼,

△PCD面积为2位，可得：\PE-CD=247,

即：3*刍沙近刀=2夕，解得x=2,PO=2V3.

则%-4BCD=gX：(BC+4。)x48xPO

=ix1x(2+4)x2x2V3=44

解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及

计算能力.

(1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可.

(2)利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可.

22.答案：解：(1)证明：四棱锥P-ABCO中，

因为NB/W=/.ABC=90°,

所以，BC//AD,

因为ADu平面PAD,BC不在平面上，

所以，直线BC〃平面PAD；

(2)解：四棱锥P-ABCD中，侧面PA。为等边三角形且垂直于底面A8CQ,

。是AO的中点，连接尸O,则P014。，

•••POJ"面ABCD,

AB=BC=-AD,乙BAD=/.ABC=90°,

2

设AD=2%,则ZB=BC=%,CD=V2x,

CO的中点为E,连接OCOE,

则OE=yx，PO=V3x.PE=VPO2+OE2=筌，

/PCD面积为2，，可得：三PE.CD=2小,

即：如浜,缶=2夕，解得x=2,PO=2V3.

则％-48CD=gX3(BC+40)X48x尸。=4A/3.

解析：本题考查棱锥的结构特征，考查线面平行的判定，面面垂直的性质.属于中档题.

(1)利用线面平行的判定定理得到证明；

(2)首先利用面面垂直的性质得到P。，面A8C。，再借助条件求出四边形A8CC的面积，最后利用

体积公式得解.

23.答案：证明：(1)-E,F分别为尸C,尸8的中点，•••EF〃BC.

•:4BC。是矩形，AADHBC,：.EF//AD,

■■■ADu平面PAD,EF仁平面PA。，二EF〃平面PAO.

取AO,BC的中点。，M,连接PO,OE,OM,ME,则P0J.4D,

4BF-0ME为三棱柱，E-OMCD为四棱锥.

•••平面P40JL平面ABCD,：.P0，平面ABCD,

由己知可求得P。=V3.E到平面ABCD的距离为立，

2

V-\SABMO•y+^SOMCD.'=：•

解析：本题考查了空间直线，平面的垂直，平行问题，求解几何体的体积，属于中档题，关键是运

用好定理，抓住条件.

(1)要证EF〃平面，由线面平行的判定定理，既要证EF平行于平面尸4。内的一条直线，通

过分析，证明EF〃4D即可；

(2)取AD,BC的中点0,M,连接PO,OE,OM,ME,确定尸0为四棱锥P-ABC。的高，求出P。=回

运用体积公式.日日求解即可.

U=\SABMO+IS0MCD-

24.答案：(I)证明：取AP的中点凡连结EEDF,

•••E是PB中点，EF//\AB,ACD//EF,

四边形CDE尸为平行四边形，

•••DF//CE,

又△PAD为正三角形，

PA1DF,从而P41CE,

又P41CD,CDCtCE=C,

PA1平面CDE,

又PAu平面PAB,•••平面P4B1平面CDE.

(II)解：vAB//CD,PA1CD,

PA1AB,

又AB1AD,PA(\AD=A,

AB1平面PAD,CD1平面PAD,

：.MPD为PC与平面PAD所成角，

即NCPO=45。，从而CO=AD,

以A为原点，建立空间直角坐标系4-孙z,如图所示,

Dy

设力£>=2,则4(0,0,0),B(4,0,0),

P(0/，①。(0,2,0),E(2,1,y).

•••族=(2《净，而=(02，0)，

设平面ADE的法向量五=(x,»z),

，1\[3

则2%+/+32=0,取z=-4,翩=(70,-4)，

2y=o

由(I)知PA_L平面CDE,...&=(o,l,遮)是平面COE的一个法向量,

TT—4-^32局

・••cos<AP,n>=―

2xV1919

•・二面角A-DE-C的余弦值为一醇

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意向量法的合理运用.

(1)取4P的中点尸，连结EF,。凡推导出四边形C£>EF为平行四边形，从而DF//CE,由此能证明

平面P4B1平面CDE-,

(2)以A为原点，建立空间直角坐标系4-xyz,利用向量法能求出二面角4一DE-C的余弦值.

25.答案：(I)证明：

取P0中点G,连结GF,

,:E,尸分别为BC,PA的中点，底面ABC。是边长为2的菱形,

GF//BES.GF=BE,.•.四边形BEGF是平行四边形，

•••BF//EG,

vBF<4平面PDE,EGu平面PDE,

BF〃面PDE.

(U)解：作DHJ.4E于4点，作H/J.PE于/点，连£>/.

可得DHJ_平面PAB,PEu平面P4B,DHJ.PE,

又PEJ.HI,HICDH=H,HIDIH,DHu平面C/HPE_L平面。田,

又。/u平面。/H,PEJ.O/,

即4D/H是二面角。-PE一4的平面角，

AE=\/AB-+BE2—2AEBE-(MS12VP

=j4+l-2x2xlx(-i)=V7.

DE=x/DC2+CE1-2DC-CE-m.s6(r

=j4+l-2x2xlx(-1)=V3-

y4r?n7+3-4y[3

••cosZ-AED=—左—尸=-p,

2x6x77y/7

32

・•・sinZ-AED=1一片厅

*e,^Ai4ED=5XV3Xy/7X万=V3,

•・施嗤审,

PD=>JPA2+AD2=VT+4=V7.

PE=y/PA2+AE2=VT+7=VTO,

3+10-7V3

cosZz-nPrE7Dn=——-p-==-f=，

2xV3xV10V10

sin^PED=1--=^=,

'ioVio

S〉PED=1XV3XV10X福=亨,

V2ir-

D]_工_叵

一回一m

2

•DH273Vio2V10

DiV7V217

••・二面角D-PE一4的大小的正弦值为出.

7

(也)解：设点C到平面PDE的距离为h,

・・,Vp-CDE=^C-PDE9

**,]S&CDExP4=~