高中数学基本公式手册

高中数学基本公式手册

第一章：集合与函数

1.德摩根公式Cu(An8)=qAuQB;Cu(A\jB)=CuAnCuB.

2.4nB=4o=B===4。。*=中=CU4U8=R

3.card(AU5)=cardA+cardB-card(AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)

一card(AC\B)-card(BAC)-c〃「d(CClA)+card(AriBplC).

4.二次函数的解析式的三种形式①一般式/(x)=ox2+bx+c(awo)；②顶点式

f(x)=a(x-h)2+k(a。0):③零点式“外二玳工一玉乂工一%乂〃。。).

5.设须•々工迎/口么

(x,-x2)[/(%,)-"/)]〉0O/㈤-侬,)>o<=>f(X)在团可上是增函数；

X1~X2

a_々)[/a)—/(%)]<o="?：；(*)<o=〃x)在卜,可上是减函数.

设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0,则/(x)为增函数；如果/'(x)<0,则

/(x)为减函数.

6.函数y=f[x)的图象的对称性：①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称

o/(a+x)=/(a-x)o/(2a—x)=f(x).②函数y=/(x)的图象关于直线x=等■

对称0f(a+mx)=f(h-mx)=f(a-^-b-mx)-/(mx).

7.两个函数图象的对称性:①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)

对称.②函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线》=巴心对称.③函数

2m

y=/(x)和y=f-\x)的图象关于直线y=x对称.

巴1

8.分数指数塞an=-7=(。〉0,〃i,neN*,J3.n>1).

\am

-竺1

an=—(a>0,m,neN*,且.〃>1).

an

9.Tog°N=bcab=N(a>0,awl,N>0)

10.对数的换底公式log“N=g殳次.推论logb"=-log„b.

log,"a"m

第二章：不等式

）.常用不等式：

1）a,beR=>a2+b2>2ab（当且仅当a=b时取"="号）.

2）a,b&R*=>>4ab（当且仅当a=b时取"=”号）.

3）a3+b3+c3>3abc（a>0,b>0,c>0）.

4）柯西不等式（a?+/）（。2+"2）z（ac+bd）2,a,b,c,deR.

5）|a|-|b|<\a+b\<|a|+\b\

・极值定理已知都是正数，则有

1）如果积犯是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2访；

2）如果和x+y是定值s,那么当x=y时积盯有最大值1s?.

4

1.一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（aW0,A=b2-4ac>0）,如果。与

a/+以+c同号，则其解集在两根之外；如果a与a/+H+c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

1<X<x2<=>（X-X1）（X-X2）<0（%!<x2）；

<X],或X>x2<^>（X-X]）（X—龙2）〉°（X]<X2）.

；.含有绝对值的不等式当a>0时、有

\<ax1<a-a<x<a.

•|>40》2〉。20%>。或％<-a.

/«>0

I.无理不等式(1)J/(X)>Jg(x)=<g(x)N0.

J(x)>g(x)

7(x)>0

2)V7^>g(x)Og(x)20或""

p(x)20

3)Jf(x)<g(x)=,g(x)>0.

J(x)<[g(x)]2

i.指数不等式与对数不等式(1)当a>1时，

7«>o

"">废">Of(x)>g(x);log,J(x)>logng(x)o-g(x)>0

f(x)>g(x)

。当°<。<1时,

7W>0

/“)〉ag(xio/(x)<g(x)；logJ(x)>log,,g(x)<=><g(x)>0

J(x)<g(x)

第三章：数列

C几一]

c(数列｛〃“｝的前n项的和为5〃=%+。2+…)•

[sn-sn_｝,n>2

12.等差数列的通项公式。〃-ax+(n-l)J=dn+ci[-d(neN*)；

廿乂e*八斗几(见+凡)〃(〃-1)」d2/1」、

其刖n项和公式sn=-------=叫+——---d=—77-+(6--d)n.

13.等比数列的通项公式%=q/i=幺.不(〃wN*)；

q

…fa1O-V)

其刖n项的和公式s“=<\-q或，,=-l-q-

nat,q=l=l

14.等比差数列｛4｝:a,,*]=qa“+d,q=b(q70)的通项公式为

b+(n-l)d,q=1

bq"+(d-b)q"~'-d

，什1

nb+n(n-1)d,q=1

其前n项和公式为s“,,dA-qnd,

(F)R+K，"1

15.分期付款(按揭贷款)每次还款X=W)”元(贷款。元,〃次还清，每期利率为8).

(1+/?)"-1

第四章：三角

16.同角三角函数的基本关系式sin2^+cos20-\,tan0=,tan0-cotO-1.

cos。

17.正弦、余弦的诱导公式

n

.产兀、(-1)2sina,a为偶数

sin(—+cr)=<〃_]

~(-1)2COSa,a为奇数

2

,n兀、(-l)cosa,a为偶数

cos(—+a)=<

〃+1

(-1)2sina,a为奇数

18.和角与差角公式

sin(a±/)=sinacos(3±cosasinp；

cos(a±〃)=cosacos/?+sinasin/3;

/.八、tana±tan£

tan(a±B)=----------—.

1¥tanatan0

sin(a+p)sin(a-/?)=sin2a-sin2p(平方正弦公式);

cos(a+0)cos(a—尸)=cos2a-sin2(3.

asina+bcosa=y/a2+/?2sin（a+Q）（辅助角°所在象限山点（〃/）的象限决

定,tan0=—).

a

积化和差公式

._sin(a+£)+sin(a-£)

sinacosp=--------------------

csin((7+^)-sin(6r-J3)

cosas\np=------£―------—

万cos(a+£)+cos(6Z-8}

cosacosp=-------------------

.・万cos(a一夕)-cos(a+/?)/人十口2美、》可目二।

s\nasmj3=-------------------—(特别汪意这里的大小关系)

19.二倍角公式sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.tan2a-一、⑶'"一

1-tan-a

□々京八ix•2l-cos2a21+cos2a

降幕公式sina----------,cosa=--------

22

20.三角函数的周期公式函数y=sin(ox+e),x£R及函数y=COS(QX+°),x£R(A,3,cp

2471

为常数，且AWO,3>0)的周期T=——；函数y=tan(69x+(p),xwk7r+—,kGZ(A,

co

jr

3,0为常数，且AWO,3>0)的周期T=—.

co

2万

通用周期公式：函数y=sin'〃xcos〃x的周期7=--

优+〃

21.正弦定理，一=/-=」一=2R.

sinAsinBsinC

22.余弦定理/=h2+c2-2hccosA;b2=c2-^-a2-2cacosB;c2=a2+/?2-2abcosC.

〃2+「22

余弦定理另一表达形式：cos4=——-----(通常用来求角)

2bc

23.面积定理(1)S=—ah=—bh=—ch(h、h>儿分别表示a、b、c边上的高).

22h2h

(2)S=—ahsinC=—besinA=—casinB.

222

⑶SAW=^(\OA\-\OB\)2-(OAOB)2.

24.三角形内角和定理在△ABC中，有

4+8+。=乃0。=万一(4+8)0^|='—^!^02。=2乃一2(4+8).

第五章：向量

25.平面两点间的距离公式

服,8=IAB|=dABAB="¥2-%）2+（力-必）2（A（花,%），B（乙,力））•

26.向量的平行与垂直设a=(x”yJ,b=(X2，%)，且bwO，则

ab=b=、a=/%—x2,=0="=%.

,玉

a_Lb(a*0)Oa4)=0<=>x[x2+yxy2=0o——=-1(联想记忆直线平行与垂直的性质).

必须

27.线段的定比分公式设4(须,弘),鸟(乙,%)，P(x,y)是线段耳鸟的分点，丸是实数，且

耳？=/1配，则

_X]+AX2

x=i.；*—►+XOP—►—►——►

1+XoOP=—!-----OP=tOP]+(l-t)OP2(t

,_』+4y21+2

5-1+2

特例：中点坐标公式x=%5,y=五&

22

28.三角形的重心坐标公式aABC三个顶点的坐标分别为A(X],%)、B(x2,y2)>C(x3,y3),

贝1「△ABC的重心的坐标是G(芯+；+JM+.1+*).

X=X4-/lX=x—h—；—►—:

29.点的平移公式｛,,OOP=OP+PP(图形F上的任意一点

y=y+k[y=y-上

P(x,y)在平移后图形F'上的对应点为尸'(x',y),且尸产’的坐标为(儿竹).

第六章：不等式

30.常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>2ab(当且仅当a=b时取"="号).

(2)"22而(当且仅当a=b时取J”号).

2

(3)a3+b3+c3>3ahc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式(/+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|a|-1/?|<|a+Z?|<\a\+\b\

31.极值定理已知x,y都是正数，则有

(1)如果积xy是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2诟；

1,

(2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时积xy有最大值^5.

32.一元二次不等式ax2+bx+c>Q(^<0)(a0,A=Z?2-4ac>0),如果。与

ax2+/jx+c同号，则其解集在两根之外；如果。与。》2+芯+。异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x[<x<x2<=>(x-x1)(x-x2)<0(x,<x2);

<X

X<XpSKx>x2=(X_玉)(％—X2)>°(玉2)-

33.含有绝对值的不等式当a>0时，有

|A'|<ax2<a'-a<x<a.

凶>a=x?>/ox>a或x<-a.

[/W>0

34.无理不等式(1)77w>Vi««b(x)>o

f(x)>g(x)

”)20f

(2)V?^>g(x)=g(x)N0或

、g(x)<0

"(x)>[g(x)rm

/W>o

⑶"(x)<g(x)O,g(x)>0

J(x)<[g(x)『

35.指数不等式与对数不等式(1)当”>1时，

7«>o

(x)s(x)

a'>ao/(x)>g(x);logJ(x)>logag(x)o-g(x)>0

J(x)>g(x)

(2)当Ova<1时，

7«>0

凉")〉”')o/(x)<g(x);log„/(x)>logog(x)<=>■g(x)>0

,/W<g(x)

第七章：解析几何

36.斜率公式k=三二&（＜仁,%）、舄（%,%））.

x2-xx

37.直线的四种方程

（1）点斜式y-y}=k（x-x1）（直线/过点[（当,3）,且斜率为Z）.

（2）斜截式y=+8（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式——―土■（丁尸丁2）（＜（%，必）、己（尤2，%）（玉。工2））.

（4）一般式Ax+3y+C=0（其中A、B不同时为0）.

38.两条直线的平行和垂直（1）若:y=中+”,Z2:y=k2x+b2

①4I[ok]=后2，4wb2；®/[JL，2=忆#2=一1・

⑵若4:Ax+^y+G=0/：Ax+^y+G=°，且Ai、2、B]、B?都不为零,

ARC

①440」二」，二；②J_4044+片与=o；

NB?C2

k-k

39.夹角公式tana=\———L|〃：y=幻+&,/:y=kx^b.kk,^-1)

1+k2kl2221x2

AB_43

tana=；：+1/.(/]：^x+B,y+C,=0,/：Ax+By+C^0,AA+BBH0).

2222i2}2

TT

直线4,。时，直线。与，2的夹角是;.

40.点到直线的距离dJA%+6)'o+C1(点p(x。,y°)，直线l:Ax+By+C^0\

ylA2+B2

直线补充：过2条直线1」2的直线系方程：If%

41.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+F2-4F>0).

[x=a+rcos0

(3)圆的参数方程^

[y=h+rsinO

(4)圆的直径式方程(x-玉)。一%)+"一%)。一为)=0(圆的直径的端点是4(%,/)、

圆的补充知识：

1、相交弦方程：1=1一2

2、圆的切线方程：见木页49项

x2v2fx=acosO

42.椭圆=+==1(。>b>0)的参数方程是\

ab~[y=/?sin。

222

43.椭圆+焦半径公式|P"|=e(x+?)=a+ex,

|PF2|=e(----x)=ci—ex.

2

44.双曲线f=一v彳=1(。>0,b>0)的焦半径公式

ab

22

“=|e(x+?|=ex+a,\PF21=|e(-——x)\=ex-a.

2

45.抛物线V=2px上的动点可设为P(三-,y。)或P(2pf2,2pf)或P(x0,y。)，其中

2P

y：=2px0.

bA/7Z»—卜2

46.二次函数y=a?+乐+c=a(x+——)2+'~匕(a*0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标

2a4a

为(_2,一与；(2)焦点的坐标为(―2,4—一♦:1)；(3)准线方程是

2a4a2a4a

4ac-b2-l

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|4a=，("一》2)2+(%一%)2或

22

上同=)(1+/)(》2-X]>=|xx-x2\yj\+tana-\y,-y21Vl+cota(弦端点

y=kx+b,

K(xi,y]),B(x2,y^),由方程<消去y得到a/+bx+c=0,A>0,a为直线

F(x,y)=0

AB的倾斜角，&为直线的斜率).

48.圆锥曲线的两类对称问题：

(1)曲线F(x,y)=0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2yo-y)=0.

(2)曲线F(x,y)=O关于直线Ax+8)，+C=0成轴对称的曲线是

〜2A(Ax+By+C)2B(Ax+By+C)^

F\x-------z---------,y-----------；----)=0n.

A2+B2A2+B2

49.切线方程快速解法：对于一般的二次曲线AV+Bry+Cy+Ox+Ey+/nO,用/x

代用代＞2,用也代孙,用"二代x,用'1代＞即得方程

Axox+B-^^^+Cyoy+D-^^+E-^^+F^O,这就是曲线的切线方程

50.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b/O),a〃b=存在实数入使a=入b.

51.对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足丽=xE+y9+z反，

则四点P、A、B、C是共面=x+y+z=l.

52.仝I用两个向里的夹角公式cos(a,b)…她+吟:她、(a=(q吗吗)，

Ja；+a[+a]Jb；+忧+b；

b=(优也也)).

A_R,/71-•

53.直线A8与平面所成角P=arcsin一_(〃z为平面a的法向量).

\AB\\m\

m•nm,n——

54.二面角a-/一夕的平面角。=arccosr=~=或%-arccos=~—(m,〃为平面a,

|m||n||m||H|

£的法向量).

55.设AC是a内的任一条直线，且BCLAC,垂足为3又设A0与AB所成的角为4，AB与AC

所成的角为2，A0与AC所成的角为6.则cos6=cos61cos

56.若夹在平面角为°的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是4,名，与二面角

的棱所成的角是。,则有sin?osin?6=sin?4+sin22-2sin。]sin。2cos°;

同一冬区04180°-(〃+%)(当且仅当6=90°时等号成立).

57.空间两点间的距离公式若A(X1，M，ZJ，B(x2,y2,z2),贝U

dAtB=\AB\=《ABAB="(9-1甘+(%-必旷+(马一&y•

58.点Q到直线/距离〃=」一J(|a||回)2—伍・b)2(点P在直线/上，直线/的方向向量

1«1

a=PA,向量b二尸Q).

59.异面直线间的距离3」一与~。是两异面直线，其公垂向量为〃，C、O分别是/“A

|〃|

上任一点，d为4间的距离).

60.点8到平面a的距离俱(3为平面a的法向量，A8是经过面a的一条斜线，

|»1

Awa).

61.异面直线上两点距离公式d=+/+几2_2cos。

（两条异面直线a、b所成的角为0,其公垂线段A4'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、

F,AE=m,AF=n,EF=d）.

2222

62.I=/：=cosq+cos02+cos03=1

（长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为小小4,夹角分别为

〃、4、％）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.

s'

63.面积射影（二面角）定理S二——（大型考试如高考时最好先加以证明）

cos。

64.常见几何体的体积公式：

棱柱：u=s/?（s:底面积，h：高）圆柱：v二万

棱锥:v=-圆锥：v=-^r2h

33

第八章：排列组合与二项式定理：

66.分类计数原理(加法原理)N=mx+m2+…+mn.

67.分步计数原理(乘法原理)N=//I,xm2x•••x.

YI!

68.排列数公式=〃(〃一1)…("一根+1)=------------♦(〃，meN*,且加工〃).

(n-m)!

69.排列恒等式(1)A：=(〃_m+l)A；，;(2)4"=」一A：；(3)A；'=nA；:;;(4)

n-m

〃A：=A：：；-A：;(5)AmnA：，

70.组合数公式c：=41=迎二上也二"12=——巴1——(〃，机GN*,且机4〃).

A：1x2x・・・xmm!•(H-m)\

71.组合数的两个性质(1)C；；=Crm:⑵C：+C：I=C：：1

72.组合恒等式⑴C：=n~m+iCT;(2)C；=」一C'L；(3)C：=—图;(4)

mn-mm

,

£C；=2"；(5)C；+C；+1+C；+2+-+C,>C,；：1.

r=0

73.排列数与组合数的关系是：A：=m!.C：.

nn22rnrr

74.二项式定理他+3"=C'"+C'na-'b+C；a-b+•••+Cna-b+…+C»”;

二项展开式的通项公式：7川=。，标7'（，=0,1,2…，〃）.

式子(ax+力+cz)"中xpytlz"-p-<l的系数：

式子（a/'+个）"中常数项的系数：用比例法

第九章：概率

75.等可能性事件的概率P（4）=-.

n

76.互斥事件A,B分别发生的概率的和P（A+B）=P（A）+P（B）.

77.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A]+A2H-----FAn)=P(Aj)+P(A2)4------FP(An).

78.独立事件A,B同时发生的概率P(A・B)=P(A)-P(B).

79.n个独立事件同时发生的概率P(Ai•A2.....A/=P(Ai)♦P(A2).........P(An).

so.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率p“(k)=c；尸(1-py'-k.

81.离散型随机变量的分布列的两个性质：(1)^>0(/=1,2,---);(2)Pl+P2+-=\.

82.数学期望£&=演片+々巴+…++…

83.数学期望的性质：(1)4喈+b)=aE⑹+%；(2)若4〜6(〃,p),则转=〃p.

84.方差£>J=(X]—E4)Lp]+(X2-E4)、P2+~+(X"-EJ)Lp“+一

85.标准差焚=J".

86.方差的性质⑴。(J)=E铲-(烤了；⑵。(片+小)=&2必；(3)若J〜B(〃,p),则

OJ=〃p(l-p).

I

87.正态分布密度函数/(x)=-y^^-e26〉，xe(-8,+8)式中的实数u,a(<7>0)是参

\J2TV6

数，分别表示个体的平均数与标准差.

1工

2

88.标准正态分布密度函数/卜)=万工6,XG（一8,+8）

89.对于N3"）,取值小于x的概率尸（x）=中[亍匕J.

尸（阳<）（）（

x0<x2=Px<x2-Px<xj=F（X2）-F（X,）

Z（x,-可（y,-刃Zx，%-〃xy

i=I__i=\________________

=a+bx,其中/

90.回归直线方程y

f=l1=1

a=y-bx

£(苍-可(y-歹)J(x,.-x)(x-y)

91.相关系数r=产“.=上“二

\-幻吃(/一7)2(£*—加2)(储,2_n-2y

Vi=l/=!V/=1»=1

|r|Wl,且|r|越接近于1,相关程度越大；r|越接近于0,相关程度越小.

第十章：极限

0⑷<1

92.特殊数列的极限(1)4=1

n-»oo

不存在\q\<1或(?-1

0伙<。

4〃A+%]/l+…+旬%

(2)limV(k=t).

”一>81

btn'+bl_ln'"4---他4

不存在(k>t)

(5无穷等比数列｛。闻"一］(|q|<l)的和).

n"\-q\-q

93.limf(x)=aolimf(x)=lim/(x)=a.这是函数极限存在的一个充要条件.

+

Xf厢x->Vx->x0

94.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点Xo的附近满足：

(1)g(x)</(x)</i(x);(2)limg(x)=a,limh(x)=a(常数)，则lim/(x)=〃.

XTXOx-*jr0xfXo

本定理对于单侧极限和X->8的情况仍然成立.

95.两个重要的极限(1)lim任土=1；(2)limf1+-|=e(e=2.718281845…).

96./(x)在X。处的导数(或变化率或微商)

小)==lim丝=lim/(斗」")二/⑷.

°口一与加TOAxAsoNx

c”即L、士心，/、..△5..s(r+Af)-s。)

97.瞬时速度u=s。)=lim—=lim------------.