节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章-章末测试A

节节高高中数学北师大版(2019)必修第一册第一章——章

末测试A

未命名

一、单选题

1.下列计算正确的是

A.(x+=x+y1B.(x—j)2=x2—2xy—y2

C.(^+l)(^-l)=x2-lD.(x-1)2=x2-l

2.已知全集。=1<,集合M={x[0<x<2},N={x|L,x<3},则图中的阴影部分所

表示的集合为()

A.(1,2)B.[1,2)C.(2,3)D.[2,3)

3.把r-病+67版-9"2分解因式为()

A.(%++3M)(x-m+3/t)B.(X+〃7-3〃)(X-〃2+3〃)

C.(X-〃Z-3”)(X-〃7+3〃)D.(X+7W+3”)(X+〃2-3〃)

4.若“X：—3X+2H0”是“xwl”的条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不

必要

5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税

一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适

重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的

第2关收税金为剩余金的《，第3关收税金为剩余金的J,第4关收税金为剩余金的

第5关收税金为剩余金的：，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金

56

()

A.2斤B.一斤C.—斤D.—斤

5510

6.已知函数〃%)=公+2丘—根在区间(2,6)上既没有最大值也没有最小值，则实数左

的取值范围是()

A.(-6,2)B.(y2)

C.(e,-6]U[2,+oo)D.(-®,-6]U[-2,-H»)

二、填空题

7.己知函数〃x)=4f一区—8在区间(5,20)上不是单调函数，则实数上的取值范围是

8.p-.-^—<0,q-.x2-4x-5<0,若。且4为假命题，则x的取值范围是________.

x-3

9.设尤eR,使不等式3尤2+》-2<0成立的x的取值范围为.

10.如图，正方形ABCO的边长为1,点E为边上一点，将ABCE沿CE折叠，使

点8落在点Af处，连接AM,则A〃的最小值为.

三、解答题

11.先化简，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=l,y=-l.

12.已知函数〃x)=x2-2ax-l+a,aeR.

(1)若。=2,试求函数丫=(x>0)的最小值；

(2)对于任意的xe{x|0VxV2},不等式成立，试求。的取值范围.

13.中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算

律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为

O,对于A中的任意两个元素&=(a,b),0=(Gd),规定：

a0/3=(ad+bc,bd-ac).

⑴计算:(2,3)0(-1,4)；

(2)请用数学符号语言表述运算。满足交换律，并给出证明；

(3)若“A中的元素/=(%»)”是“对VawA,都有夕。/=/。夕=a成立”的充要条

件，试求出元素/.

14.已知函数/(X)=/-«x+a+3.

(1)当a=7时，解不等式/(x)>0；

(2)当xeR时，/(无)20恒成立，求。的取值范围.

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

利用完全平方公式及平方差公式检验选项即可.

【详解】

选项A中，(尤+a=x?+>2+2孙，故此选项错误；选项8中，(x-y)-=/-2肛+/,故

此选项错误；选项C中，(x+l)(x-l)=%2-l,正确；选项。中，(尤-I)?-2x+l,故

此选项错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.

2.D

【解析】

【分析】

阴影部分为集合M的补集与集合N的交集.

【详解】

由题意@M)cN=[2,3),

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的运算，考查集合运算的Venn图表示，属于基础题.

3.B

【解析】

【分析】

利用平方差公式即可得到结果.

【详解】

原式=X2-m2+6mn-9n2-x2-(/??-3n)2=(x-m+3〃)(尤+m-3n),

故选：B.

【点睛】

答案第1页，共8页

此题考查了因式分解-平方差公式法，熟练掌握公式是解本题的关键.

4.A

【解析】

【详解】

由x2-3x+2知，推出存1且存2,因此前者是后者的充分不必要条件.

解答：解：由x2-3x+2#）,得洋1且存2,能够推出洋1,

而由洋1,不能推出好1且xr2；

因此前者是后者的充分不必要条件.

故选A.

5.C

【解析】

设总共持金x斤,再根据题意列式求解即可.

【详解】

设总共持金x斤，再根据过5关后剩x-l斤列式计算即可.

由题得>-

12345,6

B即n尤*一乂一><—*—X—=；1-1=%=一

234565

故选：C

【点睛】

本题主要考查了方程列式求解的方法，属于基础题型.

6.D

【解析】

【分析】

要使得函数/（力=犬+2区-机在区间（2,6）上既没有最大值也没有最小值，转化为函数

/（X）在区间（2,6）为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

由题意，函数〃力=犬+2米-根的图象开口向上，对称轴的方程为X=Tt,

要使得函数=f+2"-根在区间（2,6）上既没有最大值也没有最小值，

答案第2页，共8页

可得函数/（元）在区间（2,6）为单调函数，贝|满足一女<2或—%>6,

解得k>—2^k<—6,即实数k的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，

合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7.40<^<160

【解析】

先求得函数的对称轴，要使函数/（力=4--质-8在区间（5,20）不是单调函数，则必有对

称轴在区间内，列不等式解出即可.

【详解】

解：由己知函数/（x）=4f-8的对称轴为x=[,

O

又函数“X）在区间（5,20）上不是单调函数，

k

贝！I必有5〈一<20,解得40〈左<160,

8

故答案为：40<%<160.

【点睛】

本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系

确定，是基础题.

8.（-8,-1]33,+8）

【解析】

化简命题P：x<3,q-.-l<x<5,转化条件得"，4中至少有一个为假命题，即可得解.

【详解】

?为真时，X<3；q为真时，-1<X<5.

且q”为假命题,

■P,q中至少有一个为假命题，

x23或xV-l或x25,整理得x23或xV-1.

故答案为：（-oo,-l]^[3,+co）.

【点睛】

答案第3页，共8页

本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.

9.（T,g）

【解析】

【分析】

通过因式分解，解不等式.

【详解】

+x—2V0,

即（x+l）（3x-2）<0,

2

BP-1<x<—,

2

故％的取值范围是（T*.

【点睛】

解一元二次不等式的步骤：（1）将二次项系数化为正数；（2）解相应的一元二次方程；（3）根据

一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集.容易出现的错误有：

①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合.

10.V2-1

【解析】

因为正方形ABCD的边长为b所以AB=3C=1.由折叠的性质得MC=J?C=1.连接AC,

在AAMC中，由三角形的性质知AM>AC-MC.因为MC=1为定值，所以当A,M,C

三点共线时，AM的值最小，即可得答案；

【详解】

因为正方形ABCD的边长为1,所以AB=BC=1.由折叠的性质得MC=3C=1.

连接AC,

在AAMC中，由三角形的性质知AM>AC-MC.

答案第4页，共8页

因为MC=1为定值，所以当A,M,C三点共线时，40的值最小，

此时==0-L

所以AM的最小值为近-1.

故答案为：A/2-I.

【点睛】

本题考查线段距离最小问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

11.9孙；-9

【解析】

【分析】

直接利用完全平方公式和平方差公式展开可得解.

【详解】

原式=4x?+4xv+y2+x2-y2-5%2+5孙=9xy.

当x=l,>=-1时，原式=9个=-9.

故答案为9孙；-9

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.

3

12.(1)最小值为一2；(2)a>-.

4

【解析】

【分析】

(1)由"迫=xJ4x+l=x+y4.利用基本不等式即可求得函数的最小值；

XXX

(2)由题意可得不等式成立"只要“丁-2公-1<0在［0,可恒成立”.不妨设

g(x)=x2-2«x-l,则只要g(x)VO在［0,2］恒成立.结合二次函数的图象列出不等式解得

即可.

【详解】

解：(1)依题意得kW"X+1="_4.

XXX

因为％>0,所以％.

X

当且仅当工=工，即x=l时，等号成立.

X

答案第5页，共8页

所以y±-2.

故当x=l时，y=”的最小值为-2.

X

（2）因为〃x）—a=V—26—1,所以要使得“任意的xe{x|0MxV2},不等式成

立”，只要“£-2分一140在0Wx42上恒成立”.

不妨设8（%）=犬-2依-1,

则只要g（x）＜0在0WxW2上恒成立.

g(O)WO0-0-1<0

所以《

g⑵WO4—4(2—1<0

,3

解得a-~•

4

3

所以〃的取值范围是

4

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于

中档题.

13.（1）（5,14）（2）交换律：aQp=pQa,证明见解析（3）（0,1）

【解析】

【分析】

（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；

（2）直接得出2。£=?。《,再证明，由题中规定，分别得到与尸8,即可证明

结论成立；

（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需/。&=o,根据题中规定，得到只需

（bx+ay,by-ax）={a,b）,分别讨论々=（0,0）和。力（0,0）两种情况，即可得出结果.

【详解】

（1）因为对于A中的任意两个元素《=（。/），尸=（Gd）,

规定：a0/3=(ad+bc,bd—ac).

所以(2,3)6-l,4)=(2x4-3xl,3x4+2*l)=(5,14).

(2)交换律：aQP=PQa,证明如下：

答案第6页，共8页

由题知：aQ/3={ad+bc,bd-ac),

(3O«=(c,rf)©(a,b)=(cb+da,db-ca)=(ad+bc,bd-ac),

：.aQ(3=(3Qa.

(3)若A中的元素，=(x,y),对V(zeA,都有&。/=/。0；=&成立,

由(2)知只需/Otz=a.

故(x,y)G