高中数学人教A版高中必修2第三章直线与方程-直线复习

1.倾斜角的定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正方包与直线/向上方

向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是NAPX,直线V的倾斜角

是NBPx.

2.倾斜角的范围：直线的倾斜角a的取值范围是（TWaV180。，并规定与x轴平行或重

合的直线的倾斜角为0。.

3.倾斜角与直线形状的关系

倾斜角a=0°0°<a<90°a=90。90°<a<180°

Im/I

直线ZP：1a壮

0]X^P\OXO\PI«o\Ai

1.斜率的定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母/表示，即仁tana.

2.斜率公式：经过两点PG”力），「2（及，”）（乃力及）的直线的斜率公式为人=£胃.当乃=及时，直线PP2

没有斜率.

3.斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度.

2.斜率公式

々=2a=201

X1-X2X2~X\

[例1]（1）若直线/的向上方向与y轴的正方向成30。角，则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°

C.30°或150°D.60°或120°

（2）下列说法中，正确的是（）

A.直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana

B.直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

C.若直线的倾斜角为a,则sina>0

D.任意直线都有倾斜角a,且aW90。时，斜率为tana

1.直线/经过第二、四象限，则直线/的倾斜角范围是（）

A.[0°,90°）B.[90°,180°）

C.（90°,180°）D.（0°,180°）

解析：选C直线倾斜角的取值范围是[0。，180°）,又直线/经过第二、四象限，所以直线/的倾斜角范围是

（90°,180°）.

2.设直线/过原点，其倾斜角为a,将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。，得到直线小则直线/i的

倾斜角为（）

A.a+45°

B.a—135°

C.135。一a

D.当（TWuV135。时为a+45。,当135。在仁〈180。时为。一135。

解析：选D当(TWaV135。时，/i的倾斜角是a+45。.当135oWa<180。时，结合图形和倾斜角的概念，即

可得到人的倾斜角为a-135°,故应选D.

图⑴图⑵

［例2］(1)已知过两点A(4,y),BQ,-3)的直线的倾斜角为135。，则y=；

(2)过点P(—2,m)，。(〃?,4)的直线的斜率为1,则，"的值为；

(3)已知过A(3,l),B(m,-2)的直线的斜率为1,则m的值为.

3.(2023•河南平顶山高一调研)若直线过点(1,2),(4,2+小)，则此直线的倾斜角是()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［例3］已知实数x,y满足y=-2%+8,且2&W3,求:的最大值和最小值.

4.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上，当xe［2,5］时，求号|的取值范围.

［典例］已知两点A(—3,4),8(3,2),过点尸(1,0)的直线I与线段AB有公共点，则/的倾斜角的取值范围

;直线/的斜率上的取值范围.

已知直线/过点尸(3,4),且与以4—1,0),B(2,l)为端点的线段AB有公共点，求直线/的斜率k的取值范围.

4—0

解：•直线上的斜率如/。=1,直线PB的斜率HB===3,...要使直线/与线段AB有公共点,

3—(—1)

%的取值范围为［1,3］.

Mi蹴U自主演练，百炼方成钢

YINGV0NG

［成堂中时窗值］

1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()

A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率

B.倾斜角为135。的直线的斜率为1

C.若一条直线的倾斜角为a,则它的斜率为％=tana

D.直线斜率的取值范围是(一00,+°°)

解析：选D任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90。时，斜率不存在.所以A、C错误；倾斜角为135。的

直线的斜率为-1,所以B错误；只有D正确.

2.已知经过两点(5,〃。和(北8)的直线的斜率等于1,则机的值是()

A.5B.8

D.7

Q一61o

解析：选C由斜率公式可得一3=1,解之得相=与.

3.直线/经过原点和(一1,1),则它的倾斜角为.

1—0

解析：%=:7=1,

-I—0

因此倾斜角为135°.

答案：135。

4.已知三点A3,2),8(3,7),C(—2,-9a)在同一条直线上，实数a的值为.

解析：B、C三点共线，

„59。+7...2

:-ICAB=kBC,即3—“=~j，•'•a=2或g.

答案：2或5

5.已知A(机，一〃i+3),B(2,m—1),C(~l,4),直线4c的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求折的值.

解：由题意直线4c的斜率存在，即加#一1.

(一加+3)-4(m-1)—4

~^+i-2-(-1)-

.(―zw+3)~4。"-1)—4

,,"+132—(—1)•

整理得：—m—1=(zn_5)(m+1),

即(%+1)(加-4)=0,

Aw=4或,"=-1(舍去).

［福时达标检测］

一、选择题

1.给出下列说法，正确的个数是()

①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；

②一条直线的倾斜角为一30。；

③倾斜角为0。的直线只有一条；

④直线的倾斜角a的集合｛咏)。・&〈180。｝与直线集合建立了一一对应关系.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选A若两直线的倾斜角为90。，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是［0。，180°),

②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0。，③错：不同的直线可以有相同的倾斜角，④错.

2.过两点A(4,y),8(2,-3)的直线的倾斜角为45。，则y=()

A.

2

C.-1D.1

y+3y+3

解析：选Ctan45°=kAB=K，即工=1,所以），=-1.

3.如图，设直线/i，l2,b的斜率分别为处，k2,依，则公，k2,角的大1L小关系为（）

A.k\—

B.ki<k3<k2~\i3

C.心<心<&3

D.k3vh<ki

解析：选A根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确.

4.经过两点A（2,l）,8（1,机2）的直线/的倾斜角为锐角，则根的取值范围是（）

A.m<.1B.—1

C.—1<nz<lD.m>1或mV—1

解析：选c・・•直线/的倾斜角为锐角，

,*rn2-1

・,•A斜率%=-;-->0,

1—2

5.（2023•广州高一检测）如果直线/过点（1,2）,且不通过第四象限，那么/的斜率的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]

D.（0,3]

解析：选B过点（1,2）的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限.

二、填空题

6.已知。>0,若平面内三点A（l，—〃），5（2,/）,C（3,共线，贝ij〃=.

解析：若平面内三点共线，则心B=ksc,即万二整理得2。-1=0,解得。=1+啦，或。=1

一地（舍去）.

答案：1+啦

7.如果直线6的倾斜角是150。，/2±/i，垂足为，b与x轴分别相交于点C，A,/3平分/B4C,则人的倾斜

解析：因为直线八的倾斜角为150°,所以NBC4=30°,所以/3的倾斜角为3x（90°—30°）=30°.

答案：30°

y—1

8.已知实数x,y满足方程x+2y=6,当1WXW3时，匕的取值范围为.

y——1

解析：匕的几何意义是过M(X,y),M2,1)两点的直线的斜率，因为点M在函数x+2y=6的图象上，且

，所以可设该线段为A3,且§,5(3,,),由于ZNA=一/，所以的取值范围是1―8,—|

u[i+8).

答案：(-8,-1J1,+8)

三、解答题

9.已知直线/过点A(l,2),8(加,3),求直线/的斜率和倾斜角的取值范围.

解：设/的斜率为左，倾斜角为a,

当m=1时，斜率左不存在，0=90°,

3—2]

当mW1时，k=7=7,

m—1m—1

当,”>1时，左=」~7>0,此时a为锐角，0°<a<90°,

加一1

当，“VI时，k=—^—r<0,此时a为钝角，

m—1

90°<a<180°.

所以ae(0°,180°),kW(—8,o)U(O,+°°).

10.已知4(3,3),8(—4,2),C(0,-2),

(1)求直线A8和AC的斜率.

(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.

2—31—2—35

解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率二,=亍直线AC的斜率以。=八二；=*故直线A8的斜率为

直线AC的斜率为

(2)如图所示，当。由8运动到C时，直线AO的斜率由MB增大到kAc,所以直线A。

的斜率的变化范围是.

对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1)/1〃/2O%l=%2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②/|与，2不重合.

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与/2的倾斜角都是90。，则

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

h〃gkl=k2或11，/2斜率都不存在.

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于二1;反之，如果它们的斜率之积等于

二1，那么它们互相垂直，即m>k2=-l.

对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(l)/l_L/2㈡41饱=—1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②心#0且比£0.

(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.

(3)判定两条直线垂直的一般结论为：

今鬲生=-1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.

［例1］根据下列给定的条件，判断直线/!与直线/2是否平行.

(1)/1经过点4(2,1),8(—3,5),/2经过点C(3,-3),£)(8,-7)；

(2)/i经过点E(O,1),F(—2,-1),/2经过点G(3,4),H(2,3)；

(3)/i的倾斜角为60。,6经过点M(l,小)，N(—2,-2小)：

(4)/1平行于)，轴，/2经过点P(0，-2),2(0,5).

1.试确定〃?的值，使过点4>+1,0),3(—5,〃。的直线与过点C(—4,3),0(0,5)的直线平行.

［例2］已知直线/i经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线」经过点C(2,3),D(-l,a-2),如果求

。的值.

3.已知4(1,0),B(3,2),C(0,4),点。满足4BJ_C£>,且AZ)〃BC,试求点。的坐标.

［典例］已知直线(经过A(3,m),直线避经过点C(l,2),D(-2,m+2).

⑴若l\//h>求m的值；

(2)若求机的值.

已知4(一3,2),8(—2,〃-4,4),C(~m,rri),。(3,3，〃+2),若直线AB_LC£),求，”的值.

1.下列说法正确的有()

①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

②若h〃h，则眉=%

③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；

④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选A若%=%2,则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于X轴时，两条直线平行，

但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂

直，所以③错：④正确.

2.直线/”6的斜率是方程/一3x—1=0的两根，则人与，2的位置关系是()

A.平行B.重合

C.相交但不垂直D.垂直

解析：选D设/2的斜率分别为由，心，则心无2=-1.

3.已知AABC中，A(0,3)、BQ,—1),E、尸分别为AC、8c的中点，则直线EF的斜率为.

解析：产分别为AC、8C的中点，

：.EF//AB.

.-1-3、

:.kEF=kAB=-_()=-2.

答案：一2

4.经过点(九3)和(2,〃?)的直线/与斜率为一4的直线互相垂直，则〃?的值是

1m-3m—3114

解析：由题意可知心=工，叉因为ki=x一所以;-=7，解得，

42~m2—w43

5.判断下列各小题中的直线与/2的位置关系.

(1)/1的斜率为TO,(经过点A(10,2),8(20,3)；

(2M过点A(3,4),8(3,100),b过点M(—10,40),M10,40);

(3M过点4(0,1),8(1,0),，2过点M(—1,3),N(2,0)；

(4)/i过点4(-3,2),仇一3,10),b过点M(5,-2),N(5,5).

3—2]

解：(1)攵]=-io,%2=00_1()=75,

•:k2-l,A/1±Z2.

40—40

(2)/i的倾斜角为90°,则/]±x轴.fe=K)_(_10)=0,

则/2〃x轴，A/I±/2.

0—10—3.

(3)攵]=]_0=-1,%2=,_(_[)=-1»k\=ki.

3—1

又kAM=_]_()=_2WZ],/.l\//h.

⑷〈/I与/2都与x轴垂直，

［福时达标检测］

一、选择题

1.已知过点尸(3,2⑼和点。(加,2)的直线与过点M(2,—1)和点M—3,4)的直线平行，则加的值是()

B.-1

D.-2

4-(—1)2—2〃?

解析：选B因为MN〃PQ,所以kMN=kpQ,即_：2=肃?，解得加=一1・

2.以4(—1/)，8(2,-1),C(l,4)为顶点的三角形是()

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A点为直角顶点的直角三角形

D.以3点为直角顶点的直角三角形

—1—124—13yt

解析：选C如右图所示，易知kf\B=._/_］、=-7,.C=］］)=5,4£由kAB'kAC=-1知

三角形是以A点为直角顶点的直角三角形.AA\

3.已知点A(—2,-5),3(6,6),点P在y轴上，且NAPB=90。，则点尸一寸法’的坐标为()

A.(0,-6)B.(0,7)

C.(0,一6)或(0,7)D.(一6,0)或(7,0)

解析：选C由题意可设点尸的坐标为(0,y).因为NAP8=90。，所以APJL8P,且直线AP与直线8P的斜

率都存在.又女”=%—,kRP='_7",kAP'knp=-1,

v+5v-6

即W(一二[)=-1，解得)，=-6或)，=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).

4.若4—4,2),8(6,-4),C(12,6),0(2,12),则下面四个结论：@AB//CD-,©ABLAD-.@AC//BDx④

ACLB。中正确的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

—4—~2312"-6312~~256—2]

解析：选C由题意得、"=6_(_4)=_予kcD=2—i2=~5,.0=2—(—4)=予^AC=i2—(-4)=4,无。

4,所以AB〃CO,AB_LAO,AC.LBD.

已知点A(2,3),8(—2,6),C(6,6),0(10,3),则以A,B,C,。为顶点的四边形是(

梯形B.平行四边形

菱形D.矩形

33

解析：选B如图所示，易知心s=-4，kBC=0,kcD=—4.kAD=0,kBD——7,kAC

=1，所以kAB=kcD,kBC=kAD,kAB-kAD=0,kAC~knD=~~飞,*2Ig，io：

故AZ)〃BC,AB//CD,A3与AD不垂直，8D与AC不垂直.

所以四边形ABCD为平行四边形.

二、填空题

6.K过点A(m,l),8(-3,4),一过点C(0,2),0(1,1),且“一，则，〃=.

解析：/i//121且依=^«=-1,：•ki=7-1,tn=O.

1—0-3―〃？

答案：0

7.已知直线/|的倾斜角为45。，直线/2〃/i，且，2过点A(—2,—1)和8(3,a),则a的值为

解析：'：l2//h,且/1的倾斜角为45°,.,.W2=Wi=tan45°=1,即J=l,所以a=4.

答案:4

8.已知A(2,3),8(1,-1),C(一1,-2),点。在x轴上，则当点。坐标为时，ABLCD.

解析：设点。(x,0),因为幻8=去"=4#0,所以直线CZ)的斜率存在.

-2—0

则由4B_LC。知，k-kD=~1,所以4—:—=一1,解得苫=一9.

ABC-1—X

答案：(—9,0)

三、解答题

9.当“为何值时，过两点4(1,1),8(2/+1,m一2)的直线：

(D倾斜角为135°；

(2)与过两点(3,2),(0,一7)的直线垂直；

(3)与过两点(2,-3),(一4,9)的直线平行？

m-33

解：(1)由kAB=2%/=tan135。=—1,解得加=—],或加=1.

,m—3,—7—2

(2)由kAB=2m2，且0—3=3,

tn—313、

则2〃合=一?解得机=],或〃?=一3.

m—39+3

⑶令2,

2"»一4一2

3、

解得加=不或加=—1.

10.直线■经过点A(%1),次一3,4),直线K经过点C(Lni)f。(一L加+1),当/“V或时,分别求

实数机的值.

解：当/]〃6时，

4—1加+1-m

由于直线，2的斜率存在，则直线/|的斜率也存在，则kAB=&D,即-；---=---；—―,解得m=3;

—3-/n—1—1

当/山2时,

由于直线，2的斜率存在且不为0,则直线/1的斜率也存在，则kAnkcD=—1,

4—1机+1-m9

即1,解得机=一东

-3-m―1—1

综上，当/|〃，2时，〃？的值为3;

9

当/1JL/2时，机的值为一

3.直线的点斜式方程

[提出问题]

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔

所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.

问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点8,那么该斜拉索位置确定吗？

提示：不确定.从一点可引出多条斜拉索.

问题2：若某条斜拉索过点5(0,b),斜率为4,则该斜拉索所在直线上的点P(x,y)满足什么条件？

提示：满足上

问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？

提示：可以.方程为y—b=kx.

［导入新知］

1.直线的点斜式方程

(1)定义：如图所示，直线/过定点尸(x(),yo),斜率为左，则把方程y—/lyo=/x—xo)叫做

P(xo,yo)

直线/的点斜式方程，简称点斜式.

(2)说明：如图所示，过定点P(xo,)>o),倾斜角是90。的直线没有点斜式,其方程为X~Xo=

0,或X=M).

2.直线的斜截式方程

(1)定义：如图所示，直线/的斜率为出,且与y轴的交点为(0,b),则方程土上叫做直线/的斜截式方

程，简称斜截式.

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0,一的纵坐标方叫做直线在v轴上的截距.倾斜角是直角的直线没有斜截

式方程.

［化解疑难］

1.关于点斜式的几点说明：

(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(xo,加)和斜率心②斜率必须存在.只有这两个条件都具

备，才可以写出点斜式方程.

(2)方程y-yo=«x-ro)与方程上=匚效不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(羽，泗)的一条直线.

X-X0

(3)当“取任意实数时，方程丫一比=%(»一刈)表示恒过定点(xo,把)的无数条直线.

2.斜截式与一次函数的解析式相同，都是y=丘+。的形式，但有区别，当kWO时，)，=履+匕即为一次函

数；当上=0时，y=b,不是一次函数，一次函数丫=履+伙A#0)必是一条直线的斜截式方程.截距不是距离，可

正、可负也可为零.

锁定高考，考题千变不离其宗

直线的点斜式方程

［例1］(1)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为.

(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90。后得直线/,则直线I的点斜式方程为.

(3)求过点P(l,2)且与直线y=2%+l平行的直线方程为.

［解析］(1)'.•直线平行于y轴，，直线不存在斜率，，方程为x=-5.

(2)直线y=x+l的斜率k=l,所以倾斜角为45。.由题意知，直线/的倾斜角为135。，所以直线/的斜率/

=tan135°=-1,又点P(3,4)在直线/上，由点斜式方程知，直线/的方程为)-4=一(犬一3).

(3)由题意知，所求直线的斜率为2,且过点尸(1,2),；.直线方程为y-2=2(x-l),即2x—y=0.

［答案］(l)x=­5(2)y—4=—(x—3)(3)2%—y=0

［类题通法］

已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的

点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=xo.

［活学活用］

1.写出下列直线的点斜式方程：

⑴经过点4(2,5),斜率是4；

(2)经过点8(2,3),倾斜角是45。；

(3)经过点C(-1,-1),与x轴平行.

解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为丫-5=4。~2).

(2)•.•直线的倾斜角为45°,

二此直线的斜率Jt=tan45°=1.

...直线的点斜式方程为y-3—X—2.

(3),•直线与x轴平行,.•.倾斜角为0。，斜率k=0.

，直线的点斜式方程为y+l=0X(x+l),即)，=一1.

直线的斜截式方程

［例2］(1)倾斜角为150°,在)，轴上的截距是一3的直线的斜截式方程为.

(2)已知直线人的方程为y=-2%+3,/2的方程为y=4x—2,直线/与6平行且与L在y轴上的截距相同，求

直线/的方程.

［解析］(1)；倾斜角a=150°,斜率&=tan150。=一雪，由斜截式可得所求的直线方程为尸一冬一3.

(2)由斜截式方程知直线/i的斜率k\=-2,

又：/〃/i,

・・・/的斜率％=心=-2.由题意知/2在y轴上的微距为-2,・・・/在y轴上的截距方=一2,由斜截式可得直线/

的方程为y=—2x~2.

［答案］(1)丁=一堂》一3

［类题通法］

1.斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当〃=0时，y="表示过原点的直线；当4=0时，y=b表

示与x轴平行(或重合)的直线.

2.截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数

或零，而距离是一个非负数.

［活学活用］

2.求倾斜角是直线产一小x+1的倾斜角的;，且在y轴上的截距是一5的直线方程.

解：•.•直线)，=一于x+1的斜率A=一小，.•.其倾斜角a=120°,由题意，得所求直线的倾斜角ai=；a=30。，

故所求直线的斜率4i=tan30°=雪.

•.•所求直线的斜率是坐，在y轴上的截距为一5,

，所求直线的方程为了=监一5.

两直线平行与垂直的应用

［例3］当。为何值时，

⑴两直线)，=依-2与y=(a+2)x+l互相垂直？

(2)两直线y=—x+4a与y=(〃2—2)x+4互相平行？

［解］(1)设两直线的斜率分别为公，的，则肥=〃，k2=a+2.

,两直线互相垂直，

工鬲%2=。(。+2)=-1,

解得〃=一1.

故当a=—\时，两条直线互相垂直.

(2)设两直线的斜率分别为心，k4,

则依=-1,攵4=/—2.

・・•两条直线互相平行，

［i72-2=-1,

］解得〃=—1.

故当a=—\时，两条直线互相平行.

［类题通法］

判断两条直线位置关系的方法

直线/i：y=k\x-\-b\,直线，2：y=k2x+b2.

(1)若岛K«2,则两直线相交.

(2)若内=依，则两直线平行或重合，

当加#历时，两直线平行；

当加=历时，两直线重合.

(3)特别地，当所必=一1时,两直线垂直.

(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑.

［活学活用］

3.(1)若直线八：y=(2a-l)x+3与直线氏y=4x-3垂直，则。=.

(2)若直线ox+2y+3a=0与直线3x+(a—l)y=—7+a平行，则实数a的值为.

解析：⑴由题意可知幼=2a—1,kh=4.

3

V/a/2,/.4(2a-l)=-l,解得o

(2)显然当〃=1时两直线不平行；当。W1时，2］=号，幻=7^一，因为两条直线平行，所以41=心，解得。

乙1CI

=3或〃=—2.经检验，〃=—2时两直线重合，故4=3.

3

答案⑵3

1)8

修补短板，拉分题一分不丢

系列/

偏懑"/

7.斜截式判断两条直线平行的误区

［典例］已知直线/i：x+/wy+6=0,，2：(加一2)x+3y+2〃?=0,当/1〃/2时，求〃2的值.

—22

［解］由题设h的方程可化为y=~~―x—^in,

m-22

则其斜率&2=——Q―,在y轴上的截距岳=一了机

・・・/］〃/2,・・・/］的斜率一定存在，即加#0.

/./i的方程为y=-4一±

7mm

m~21

3~m

由得'

2,6

_*一启

解得m=-1.tn的值为-1.

［易错防范］

1.两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等.当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合.

2.解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合.

［成功破障］

当。为何值时，直线/i：y=-2or+2a与直线6：y=(〃2—3)x+2平行？

解：/.a2-3=-2«JL2a^2,

解得a=~3.

自主演练，百炼方成钢IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

［成堂中时演优］

1.直线y=2x—3的斜率和在y轴上的截距分别等于()

A.2,3B.-3,-3

C.-3,2D.2,-3

答案：D

2.直线/经过点P(2,-3),且倾斜角a=45。，则直线的点斜式方程是()

A.y+3=x—2B.y—3—x+2

C.y+2=x—3D.y—2=x+3

解析:选A,直线/的斜率左=tan45。=1,

二直线/的方程为y+3=x-2.

3.过点(一2,-4),倾斜角为60。的直线的点斜式方程是.

解析：a=60°,Z=tan60°=小，

由点斜式方程，得)，+4=小。+2).

答案:y+4—y/3(x+2)

4.在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x—4平行的直线的斜截式方程为

解析：：直线y=-3x-4的斜率为-3,

所求直线与此直线平行，

.♦.斜率为一3,又截距为2,由斜截式方程可得)，=—3x+2.

答案：y=-3x+2

5.(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线的方程；

(2)求经过点(-2,—2),且与直线y=3x-5垂直的直线的方程.

解：(1)由)，=2x+7得其斜率为2,由两直线平行知所求直线的斜率是2.

...所求直线方程为)，-1=2(尤一1),

即2x~y~1=0.

⑵由y=3x—5得其斜率为3,由两直线垂直知，所求直线的斜率是一生

・••所求直线方程为y+2=—1(x+2),即x+3y+8=0.

[徐时达根检测]

一、选择题

1.已知直线的方程是y+2=-x—l,贝4()

A.直线经过点(-1,2),斜率为一1

B.直线经过点(2,-1),斜率为一1

C.直线经过点(-1,-2),斜率为一1

D.直线经过点(一2,-1),斜率为1

解析：选C直线的方程可化为y—(―2)=—[x—(―1)],故直线经过点(一1,—2),斜率为-1.

2.直线y=ar—5的图象可能是()

解析：选B由.y=ax—1可知，斜率和截距必须异号，故B正确.

3.与直线y=2r+l垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()

A.y=]x+4B.y=2x+4

C.y=~2x+4D.y=一/+4

解析：选D因为所求直线与y=2r+l垂直，所以设直线方程为、=一5+。又因为直线在y轴上的截距为

4,所以直线的方程为y=—1x+4.

4.过点(-1,3)且垂直于直线x—2y+3=0的直线方程为()

A.2x+y—]=0B.2x+y—5=0

C.x+2y—5=0D.x~2y+l=0

解析：选A在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为一2,

・・・所求直线的方程为y-3=-2(x+l),即2工+)，­1=0.

5.过点(1,0)且与直线丫=5—1平行的直线方程是()

A.X—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2x+y~2=0D.x+2y-l=0

解析：选A与直线y=$一1平行的直线方程可设为：y=1x+c,将点(1,0)代入得0=g+c,解得。=—g,

故直线方程为y=5一5即x—2y—1=0.

二、填空题

2

6.过点(一3,2)且与直线y-1=京冗+5)平行的直线的点斜式方程是.

222

解析：与直线y—1=](x+5)平行，故斜率为1,所以其点斜式方程是y—2=](五+3).

2

答案：y-2=?(戈+3)

7.直线y=or—3〃+2(。£即必过定点.

解析：将直线方程变形为y—2=〃(x—3),由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2).

答案：(3,2)

8.过点(4,—3)且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为.

解析：依题意设/的方程为》+3=小-4).

4k+3

令第=0,得》=一4左一3;令y=0,得x=一^.

小,我+3

因土匕——4%——3=~/一.

3

解得k=—l或攵=一1

3

故所求方程为y=—x+1或)=一不.

3

答案：y=—x+l或y=_]x

三、解答题

9.已知三角形的顶点坐标是A(—5,0),8(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.

—3—033

解：直线A3的斜率的?=公/八=一九过点4一5,0),由点斜式得直线A3的方程为)=一式七+5),即3x

_J)OO

2+3s2—02

+8y+15=O;同理，A：BC=T—r=-T,^c=jrT7=7,直线BC,AC的方程分别为5x+3y-6=0,2x-5y+10=

UDDUlJJ

0.

10.已知直线/的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等，且直线/在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直

线/的方程.

解：由题意知，直线/的斜率为|,故设直线/的方程为y=1x+b,/在x轴上的截距为一，在y轴上的截

2333

距为力，所以一孕一6=1,b=-g,直线/的方程为y=/t一1,即15x—10y—6=0.

3.&3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程

层析教材，新知无师自通