高中数学数列复习-题型归纳-解题方法+数列复习(综合训练篇含答案)+数学选修2-1练习题

高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理

+数列专题复习（综合训练篇含答案）+数学选修27练习题

数列题型归纳（附参考答案）

一、等差数列与等比数列

1.基本量的思想：

常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基

本方法。

2.等差数列与等比数列的联系

1）若数列｛q｝是等差数列，则数列｛a%｝是等比数列，公比为a、其中a是常数，d是｛4｝的公差。（a>0

且a#l）；

2）若数列｛4｝是等比数列，且4〉0,则数列｛log.〃〃｝是等差数列，公差为log”q,其中々是常数且

〃>0,awl,q是的公比。

3）若｛〃〃｝既是等差数列又是等比数列,则｛凡｝是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比较

等差数列等比数列

定义

{a”}为A•尸oa”+]-a”=d(常数)

｛即｝为6•Po巴=q（常数）

an

通项nk

%=%+(n-1)d=a+(n-k)d=dn+tz,-da”=a,q-'=akq"-

公式k

求和

〃(%+%)n(n-l)na(q

s=----------=na+--------a}=1)

公式n2]12

%=,4(j")=卬一4q丰口

、1-4\-q

中项a+h

A=--------G2=abo

公式2

推广：a2=a_xa

推广：2an=an_m+an+mflnmn+tn

1

性若m+n=p+q贝Ua+a=%,+a若m+n=p+q,则aa=aa。

质mnqmnpq

2

若伙“｝成A.P(其中kneN)KiJ｛akn｝也若伙/成等比数列(其中心eN),

为A.P。

则｛%“｝成等比数列。

3

•sn,s2n-Sn,s3n-s2n成等差数列。%，S2"一%，$3,一$2"成等比数列。

4

a—cha—a

d=----L=------(m*n)

n-\m-nqa,”

4、典型例题分析

【题型1】等差数列与等比数列的联系

例1(2010陕西文16)已知｛&｝是公差不为零的等差数列，at=l,且a.,a3,a„成等比数列.(I)求

数列｛%｝的通项;(II)求数列｛2的的前n项和Sn.

解：(I)由题设知公差dWO,

由a,=l,a.,a3,a,成等比数列得匕丝=匕以，

1\+2d

解得d=Ld=0(舍去)，故｛aj的通项an=l+(n—1)Xl=n.

(II)由(I)知2a=2北由等比数列前n项和公式得

S.=2+22+23+—+2n=-1-2,■=2nfl-2.

1-2

小结与拓展：数列｛4｝是等差数列，则数列他""｝是等比数列，公比为a',其中a是常数，d是｛4｝的

公差。(a>0且a#l).

【题型2]与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合

21

例2已知数列｛aj的前三项与数列｛b.｝的前三项对应相同，且al+2a2+2a3+-+2"-a„=8n对任意的

nCN*都成立，数列｛bn+i—bj是等差数歹U.求数列｛%｝与限｝的通项公式。

解：ai+2a?+2%3+…+2",an=8n(neN*)①

2n-2

当n22时，a,+2a2+2a3+-+2a„-1=8(n-l)(nGN*)②

①一②得21a0=8,求得a0=2'f,

在①中令n=l,可得ai=8=2'7,

4-n

/.an=2(nGN*).由题意知bi=8,b2=4,b3=2,b2—bi=—4,b3—b2=—2,

数列｛bn+i—bn｝的公差为一2一(—4)=2,/.bn+i—bn=-4+(n—1)X2=2n—6,

法一(迭代法)

--

bn=bi+(ba-bi)+(bab2)T---F(bnbn-i)=8+(—4)+(-2)T----卜(2n—8)

=n2-7n+14(nGN*).

法二(累加法)

即bn—bn-i=2n—8,

bn-l—bn-2=2n—10,

ba-bz=-2,

b2-bi=-4f

bi=8,

相加得bn=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)

(n—1)(—4+2n—8)

=8+-------------------=n~2—7n+14(zn£N).

小结与拓展：1)在数列⑸｝中，前n项和Sn与通项an的关系为：

a=S,(n=1)

a=\｝11.是重要考点；2)韦达定理应引起重视；3)迭代法、累加法及累乘法是

(n>2,neN)

求数列通项公式的常用方法。

【题型3】中项公式与最值(数列具有函数的性质)

例3(2009汕头一模)在等比数列｛a“｝中，an>0(neN*),公比qe(0,1),且aia5+2a3a5+a2as

=25,as与a,的等比中项为2。(1)求数列｛aj的通项公式；(2)设b0=log2a"，数列｛bj的前n项和

qqs

为Sn当--H——^最大时，求n的值。

12n

解：(1)因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以，+2a3a5+a；=25

又an>o,…a3+a.5=5又a3与的等比中项为2,所以，a3a5=4

而q£(0,1),所以，a3>a5,所以，a3=4,a.5=1,q=—，ai=16,所以，

2

%=16x(1=2-

(2)bn=log2an=5—n,所以，bn+i—bn=-1,

所以，瓜｝是以4为首项，―1为公差的等差数列。所以，S„=W(9~^,^=—

2n2

sss

所以，当nW8时，-^>0,当n=9时，-^=0,n>9时，-^<0,

nnn

当n=8或9时，--H——+•••4—■最大。

12n

小结与拓展：1)利用配方法、单调性法求数列的最值；2)等差中项与等比中项。

二、数列的前n项和

1.前n项和公式Sn的定义:

S“=ai+az+…%。

2.数列求和的方法(1)

(1)公式法：1)等差数列求和公式；2)等比数列求和公式；3)可转化为等差、等比数列的数列；4)

常用公式：

“1

gk=1+2+3++n=-n(n+l)；

*=i2

『+2?+3?++/=!〃(〃+1)(2"+1)；

*=t6

yr=i3+23+33++〃3=严"+12；

*=12

>,(2k-1)=1+3+5+...+(2n-1)=n~。

*=i

(2)分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列,

然后由等差、等比数列求和公式求解。

(3)倒序相加法：如果一个数列｛aj,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这

个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。

(4)裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于(一^)其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1)

analt+l

1

,(其中｛4"｝等差)可裂项为：-------=—(---------);2)

+ajJdanan+i

L।i-向(根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和)

83%d

常见裂项公式:

1_1_1

(1)

n(n+1)nn+1

11,1

(2)------)；

〃(〃+2)knn+k

(3)1-='l11];

n{n-1)(〃4-1)2n[n+1)(n4-1)(〃4-2)

n11

(4)------=——―-------

(n+1)!n\(〃+l)!

22

(5)常见放缩公式：2（内-«）==2(4—\ln-1).

\]n+1+\[n&\[n+\]n-1

3.典型例题分析

【题型1】公式法

例1等比数列｛。“｝的前n项和Sn=2"—p,则…+a；=.

解：1）当n=l时，=2-p；

nn,n1

2）当nN2时，an=Sn-Sn.1=（2-p）-（2--p）=2-o

因为数列｛4｝为等比数列，所以为=2-p=2»i=lnp=l

从而等比数列｛4｝为首项为1,公比为2的等比数列。

故等比数列｛a：｝为首项为1,公比为q?=4的等比数列。

a\+a2+a3+'"+an=K；j）=，4n

小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列

的数列；4）常用公式：（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列｛”“｝为等比数列，

则数列｛a；｝及，也为等比数列，首项分别为a；、—,公比分别为屋、-O

lanja!q

【题型2】分组求和法

例2（2010年丰台期末18）数列｛4｝中，4=1,且点（4,。,用）（〃eN*）在函数/（x）=x+2的图

象上.（I）求数列｛4｝的通项公式；（II）在数列｛凡｝中，依次抽取第3,4,6,2"T+2,…项,

组成新数列｛bn］,试求数列｛b„］的通项bn及前n项和5,,,

解：（I）..,点（a“，a"+］）在函数/（x）=x+2的图象上，+2。

♦,•。用一%=2,即数列｛七｝是以q=1为首项，2为公差的等差数列，

an=1+（〃—1）x2=2〃-1。

（II）依题意知：b"=%T+2=2（2"一|+2）—1=2"+3

nn0_'〃+1

n+1

：.Sn=bx+b2++a=Z（2'+3）=Z2'+3〃=—=——+3n=2+3n-2.

i=ii=i1-2

小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然

后由等差、等比数列求和公式求解。

【题型3】裂项相消法

例3（2010年东城二模19改编）已知数列｛叫的前〃项和为S“，a,=l,5,加=4%+1,设

bn=a^-2an.（I）证明数列｛4｝是等比数列;

--{―-（〃eN*）,求7；=+c2c3+c3c4+

（II）数列｛%｝满足%+c£+i。

log2d+3

证明：（I）由于S,,M=4a,,+l,①

当〃22时，S.=4，*+1.②

①一②得%=4。“-4%-所以an+l-2an=2（a„-2an_,）.

又瓦=%+1-2%,所以2=2%-

因为q=1,且G+%=4。］+1,所以4=3q+1=4.

所以乙=4-20=2.故数列｛〃｝是首项为2,公比为2的等比数歹U.

解：（H）由（I）可知“=2",则％=——-———N*）.

log2hn+3a+3

I1II

T„=cc+cc+cc++c,£,+|-----1-----1------F+--------------

t223344x55x66x7(〃+3)(〃+4)

11__n

4〃+44(〃+4)

小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于

1

\---c---｝其中｛/｝是各项不为0的等差数列,C为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1乂-------\

a„an+]J[an-an+i

和＜I-1f(其中｛0“｝等差)可裂项为：-------=—(--------);2)

,A+A+iJ%«川danan+｛

li；—-疯)。(根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和)

M+J%d

4.数列求和的方法(2)

(5)错位相减法：适用于差比数列(如果｛%｝等差，｛2｝等比，那么｛。,也J叫做差比数列)即把每一

项都乘以｛2｝的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.

(6)累加(乘)法

(7)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.

形如a“=(-l)"f(n)类型，可采用两项合并求。

(8)其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。

5.典型例题分析

【题型4】错位相减法

2462n

例4求数歹U—，…前n项的和.

222232〃

2771

解：由题可知｛3｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛--｝的通项之积

c2462n

设S“^-+—+—+■■■+—

222232"

2n

+•••H------②（设制错位）

2"1

①一②得a—（…+六一瑞（错位相减）

2/7

1-1

S一一梦

【题型5】并项求和法

例5求和皿=IO。'-99,+982—972H-----1-22-12

222222

解：SIOO=100-99+98-97H-----F2-l=(100+99)+(98+97)H-----F(2+1)=5050.

【题型6】累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和

寺

例6求1+11+111+…+111…1之和.

解：由于111…l='x999…9=’(10&—1)(找通项及特征)

''v'Qs------v------'Q

女个14个1

...1+11+111+-+H1-1=-(101-l)+-(102-l)+-(103-l)+---+-(10,t-1)(分组求和)=

9999

-(io'+io2+io3+---+io,,)--(i+i+i+---+i)^--lo(1°

99'-----------------'910-19

=—(10,,+l-10-9n)

6.归纳与总结

以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处

理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这

一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

三、数列的通项公式

1.数列的通项公式

一个数列⑸｝的与之间的函数关系，如果可用一个公式a.=f(n)来表示，我们就把这

个公式叫做这个数列的通项公式.

2.通项公式的求法(1)

(1)定义法与观察法(合情推理：不完全归纳法)：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法

叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。

(2)公式法：在数列｛a｝中，前n项和S“与通项a”的关系为：

tZi—S।(〃—1)

(数列｛%｝的刖n项的和为邑,=4+生++*.

(«>2,neN)

(3)周期数列

由递推式计算出前几项，寻找周期。

(4)由递推式求数列通项

类型1递推公式为an+l=a„+f(〃)

解法：把原递推公式转化为。，用-/=/.(〃)，利用累加法(逐差相加法)求解。

类型2(1)递推公式为an+l=f(n)a„

解法：把原递推公式转化为4也=/(〃)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

a„

(2)由”,用=/(〃)区,和卬确定的递推数列｛/｝的通项可如下求得：

由已知递推式有%=,a“_|=/(〃-2)a“_2，•••，/=/。也依次向前代入，得

«„=/(»-!)/(«-2)•••/(1)«,，这就是叠(迭)代法的基本模式。

类型3递推公式为=pa,,+q(其中p,q均为常数，—1)声0))。

解法：把原递推公式转化为：an+i-t=p(an-t),其中，=_幺_,再利用换元法转化为等比数列求解。

1一。

3.典型例题分析

【题型1】周期数列

2an,(Q<an<

若则

例1若数列｛/｝满足%+1q=g,a20

2%—i，q<%<1)

答案：一。

7

小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。

【题型2】递推公式为。向=%+/(〃)，求通项

例2已知数列｛qJ满足q=！，«,)+1=aH+,求您。

2n+n

解：由条件知：«„-a=—=——=------

+(n2+n〃(〃+1)n〃+1

分别令〃=1,2,3,……—1),代入上式得(〃—1)个等式累加之，即

(。2_%)+(〃3-〃2)+(4_)+........+(〃,[-an-\)

・.'a】=一,a=—+1----=--------

12〃n2n2n

小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

【题型3】递推公式为«„+1=/(«)«„,求通项

r\

例3已知数列｛〃〃｝满足4]=一，。〃+]=—“一〃〃，求〃“。

3〃+1

Z7,7

解：由条件知3=——,分别令〃=1,2,3,……代入上式得(〃-1)个等式累乘之，即

an〃+1

M—1Cl1

空・义.幺・X----------=>—=—

。2。3««-1234na,n

22

又a1=—，/.a=—

13"3〃

小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

【题型4】递推公式为《用=pa“+q（其中p,q均为常数，（pq（p-l）wO））,

求通项

例4在数列｛《,｝中，4=1,当时，有a“=3a,i+2,求｛4｝的通项公式。

解法1：设a“+根=3（。“_]+根），即有。“=3a,i+2〃?，对比=34_]+2,得加=1,于是得

4+1=3（?_]+1）,数歹心怎+1｝是以q+l=2为首项，以3为公比的等比数列，所以有a“=2-3"T-l。

解法2：由已知递推式，得a“+i=3a“+2,a“=3an_i+2,（n>2），上述两式相减，得。,用一。“=3（a“一。"_1）,

因此，数列｛。向一4｝是以出一4=4为首项，以3为公比的等比数列。所以4M-a“=4-3"T,即

3a“+2-4=4・3"-',所以4=2•3"-'-1.

小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构

造的办法有两种，一是待定系数法构造，设%+i+m=P（%+"）,展开整理a，用='4+'”一机，比较

系数有〃加一根=",所以〃2=_也，所以见+上_是等比数列，公比为p,首项为q+—也。二是

/?—1p-\p-\

用做差法直接构造，a“+i=pan+q,an=pan_x+q,两式相减有an+l-an=p（an-an_t）,所以a“+i

是公比为p的等比数列。也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.

4.通项公式的求法（2）

（5）构造法

构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的

辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这

种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通

常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.

1）构造等差数列或等比数列

由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无

疑是一种行之有效的构造方法.

2）构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项

公式.

3）构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

4)构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

(6)归纳猜想证明法

数学归纳法

T

(7)已知数列｛4｝前〃项之积T”一般可求Ti,则a.=7-(注意：不能忘记讨论”=1).

如：数列数“｝中,对所有的〃eN*都有生。2a3…以"=，则。3+。5=.

四、典型例题分析

【题型5】构造法：1)构造等差数列或等比数列

2

例5设各项均为正数的数列｛。“｝的前n项和为S",对于任意正整数n,都有等式：a,,+2an=4S“成

立,求｛%｝的通项a口

解：“；+2%=4S“=>%2+2%=4s“t’

aa

n-L+2a“-2an_,=4(S“-S„_t)=4a.

3”+a,i)(4-/i—2)=0，：.an-an_,=2.即｛%｝是以2为公差的等差数列，且

a,2+2al=4alnq=2.

/.an—2+2(〃-1)=2〃

小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等

比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.

【题型6】构造法：2)构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项

公式。

例6设｛〃〃｝是首项为1的正项数列，且a：-a3-〃a〃一〃a“_］=0,(n@N*),求数列的通项公式an.

解：由题设得⑷+《1T)(々〃一。〃_］一〃)=0.

•。［>0,・・。〃+>0.

‘a”一％=〃

/、Z、Z、1cc〃(胃+1)

cin=4+(2-4)+(%-Q,)+，，，—^n-\)=1+2+3+•••+〃=———

【题型7】构造法：3)构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例7数列｛a,,｝中，=1,前n项的和S“=〃2%,求见…

解：a“=S“一S"_|=〃)“一(〃一1)%“_|ns?2a“t

cin—1

=>—=----，

〃+1

n-\n-2111

…&吗----.-----...——x—=-------

an-\an-2〃+1n32

1

••an+\

5+1)5+2)

【题型8】构造法：4)构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

例8设正项数列满足%=1,勺=2。3(n22).求数列｛凡｝的通项公式.

解:两边取对数得：log，”=l+21og产，log；"+l=2(logQ+l),设a=log；"+l,

则2=2%

例｝是以2为公比的等比数列，4=bg；+l=l.

b„=lx2"-'=2"T,log："+1=2"T,log2"=2'-'-I,

【题型9】归纳猜想证明

例9设数列｛an｝的前n项和为Sn,且方程X*—HnX—an=0有一根为Sn—1,n=l,2,3,,,,

(I)求a”a2；(II)｛an)的通项公式,

解：(1)当口=1时，x?—a【x—a]=0有一根为Si—l=a1一1

于是(ai—I)?—ai(a1-1)—ai=0,解得ai=g

当n=2时，x"—a2x—a2=0有一根为S2—l=a2—

于是3一步一a2(a2—3一a2=0,解得a1=，

(II)由题设(SL1)'—an(Sn—1)—an=0,

—=

即Sn"2Sn+1—anSn0.

当n22时，an=Sn—Sn-i,代入上式得

Sn-lSn_2Sn+1=0①

11123

由(I)知Si=ai=5，Sz=ai+@2=5+3=、由①可得53=]

由此猜想S“=TT7，n=l,2,3,—

n+1

下面用数学归纳法证明这个结论

(i)n=l时已知结论成立.

1/

(ii)假设n=k时结论成立，即Sk=F，

k+1

ik+1

当口=1<+1时，由①得Sk+i=^二，B|JSk+i=i_i_9»

乙一、kk十N

故n=k+l时结论也成立

综上，由（i）、（ii）可知a=士对所有正整数n都成立

n十1

▼nn—11

于是当n22时，a=S-Sn-i=~ry-...=一TTTT，

nnn-r1nn（n十1）

又n=l时，ai=T=!所以

L1VAz

｛an｝的通项公式an=m，n=l,2,3）...

数列高考复习（附参考答案）

------综合训练篇

一、选择题：

1.在等差数列｛4｝中，6+36+65=120,则2a9—/0的值为（0）

A.18B.20C.22D.24

2.等差数列｛4｝满足：6+%=8应=30,若等比数列也“｝满足仇=6也=4,则名为（B）

A.16B.32C.64D.27

3.等差数列｛4｝中,q+4+%=39,%+4+。9=27,则数列｛6,｝的前9项之和S9等于

（C）A.66B.144C.99D.297

4.各项都是正数的等比数列｛%｝的公比q#l,且。2，卬成等差数列，则为（A）

y[5—1V5+11—A/5A/5+1„A/5—1

A.------B.------C.------D.------或------

22222

5.设等比数列｛%｝的前八项和为S"，若'=3,则'=（B）

$356

78

A.2B.-C.-D.3

33

6.已知等差数列｛叫的前〃项的和为S“，且$2=10,S5=55,则过点P（〃,a“）和Q（〃+2,a“+2）（〃eN*）

的直线的一个方向向量的坐标是（B）

A.（2，e）B.（-],-2）c.（--,-1）D.（—1,—1）

7.设a、b、c为实数,3a、4b、5c成等比数列，且1土1、士1、上成等差数列，则u,上c的值为（C）A9.4—

abcca15

943434

B.±——C.—D.±——

-151515

2

8.已知数列｛%｝的通项%=，则下列表述正确的是（A）

3

A.最大项为G，最小项为小B.最大项为4,最小项不存在

C.最大项不存在，最小项为&D.最大项为卬，最小项为。4

9.已知｛aa｝为等差数列，«1+03+«5=105,%+4+4=99.以S”表示｛a“｝的前〃项和，则使得S“达到最

大值的〃是（B）

A.21B.20C.19D.18

9.一系列椭圆都以一定直线/为准线，所有椭圆的中心都在定点M,且点M至卜的距离为2,若这一系列

椭圆的离心率组成以3[为首项，；|为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai=（i=l,2,…，n）,

I机

n-2

设bn=2（2n+l）•3•an,且品=一；一，Tn=Ci+C2+-+Cn,若对任意neN*,总有%>—恒成立，

储瓦90

则m的最大正整数为（B）

A.3B.5C.6D.9

二、填空题：

10.已知等差数列｛4｝前n项和S产-M+2tn,当n仅当n=7时Sn最大，则t的取值范围是

（6.5,7.5）_.

r）[n5为奇数）

11.数列｛。“｝的通项公式是“，="，则数列的前2m（m为正整数）项和是_2m+1+m2—

“忸（〃为偶数）

2.

12.已知数列｛可｝满足：。4"-3=0,。2"=a“，〃eN*,则“2009=：

%014=

【答案】1，0

【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.

依题意，得。2009—04x503-3=>°2014=02*1007="1007=“4x252-1=°♦

应填1,0.

13.在数列｛%｝和也,｝中，儿是a〃与am的等差中项，久=2且对任意都有

4

3an+i—an=0,则数列｛bj的通项公式bn

3"

14.设Pl,P2,…Pn…顺次为函数y=L(x>0)图像

X

图)，Q1，Q2，…Qn…顺次为X轴上的点，且

△OPQ\,AO\P◎，…，…,均为等

形(其中Pn为直角顶点).设Qn的坐标为

(x“,O)(OwN*),则数列｛面的通项公式为

xn-2-VHneN*）

三、解答题:

15.已知｛6,｝是等比数列，Sn是其前。项的和，。1，。7,。4成等差数列，求证：2s3,56,s12-s6,成等比

数列.

15.［解法1］由已知%+4=2%，%+4/=2。］/,：.1+“3=246...........（2分）

6

当”1吐2s3（几-SJ=2s3（%+/++ai2）=2s4（ad+%q6+仆力=2S3S6^

.........（4分）

31<6

=（1+^）S3S6=（l+^）-^^-56=^<~?<56=52...........（8分）

\-q\-q

当4=1时,S3=3q,S。=6%,Si2-§6=64,同样有2s302-Sf）=S：,……（10分）

所以，2s3，S6，S12-S6成等比数列......................................（12分）

[解法2]由已知q+%=2%,%+%/=2aq6,..i+/=246,..........（2分）

当夕=1时,2S2（S[2—S4）=2x34（12%-q）=36a；,

S；=（6%>=36而・・・・2s2（S12—$6）=S]2s3,§6,$2-S6成等比数列.・・・（6分）

当时，丸=工・^^=工（1+/）=_1.2],..................（8分）

2s③2l-q322

2s3,S6,Sl2-S6成等比数列..........................................（11分）

综上，2s3，S6，S12—S6成等比数列......................................(12分)

16.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意自然数n总有S“=p(%-l),(p为常数，且

pw0,p#1）,数列｛a｝中有a=2n+q（q为常数）。

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）若4]=4,。2＜。2求P的取值范围。

16.解：（1）4=S]=p（q-1）解得p=—^―（p*O，P*D

P-1

当〃22时，a,,=Sn-Sn_]=p（an-an_x）整理得（p-1）%=p%

故殳"=—^―（〃22,〃eN+,”0,”1）

4分

/iP—l

P_］，an_,p-1

得4=4（4）"T=（-A）'（〃eN.）........................6分

p-\p-1p-\

p

=2+9

P-l

(2)由已知得＜消去<7并整理得（上）2-—2--2<0

2Ap—lp—l

（上,）x2<4+4〃y

p-

则-1<—<2

p-l

又p^O,：.〃的取值范围为(-O0,0)U(0,3U(2,+00)...........12分

16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005年该厂生产的模

拟太空椅获利48万元，以后它又以上年利润的1.25倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利75

万元，这个利润是上年利润的上4，以后每年的利润均以此方式产生.预期计划若干年后两产品利润之

5

和达到174万元.从2005年起，

(I)哪一年两产品获利之和最小？

(II)至少经过几年即可达到或超过预期计划？

解：(D设第〃年太空椅获利万