高中数学高效作业17奇偶性含解析新人教A版必修第一册

奇偶性

［A级新教材落实与巩固］

一、选择题

1.下列函数中奇函数的个数为(C)

①f(x)=x*②f(x)=x'(3)f(x)=x+-；

x

@f(x)=4.

X

A.1B.2C.3D.4

【解析】由奇函数的定义可知①②③是奇函数.

2.已知函数f(x)是定义在［1—a,5］上的偶函数，则a的值是(C)

A.0B.1C.6D.-6

【解析】因为函数是定义在［1—a,5］上的偶函数，所以定义域关于原点对称，所以1

—a+5=0,得a=6.

3.若对于任意实数x,都有f(—x)=f(x),且f(x)在区间(-8,0］上单调递增，则

(D)

A.f(-2)<f(2)

B.f(-l)<f(^-||

C.<f(2)

D.f(2)《一号

【解析】根据题意可知，f(x)是偶函数.因为f(x)在(-8,0］上单调递增，所以f(x)

在区间［0,+8)上单调递减，所以f(—|)>f(2).

4.若奇函数f(x)在［1,3］上单调递增且有最小值0,则它在［—3,—1］上(A)

A.单调递增，有最大值0

B.单调递减，有最小值0

C.单调递减，有最大值0

D.单调递增，有最小值0

【解析】根据奇函数图象的对称性知，函数f(x)在［―3,—1］上单调递增，有最大值

0.

5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4—x),当一2Wx<0时，f(x)

，贝Uf。等于(D)

2

A.-2B.-y

2

C.yD.2

【解析】咽=f(4—3=巧=

_fH)=2.

6.若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数为偶函数的是(B)

A.g(x)=x+f(x)

B.g(x)=xf(x)

C.g(x)=x2+f(x)

D.g(x)=x2f(x)

【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以g(x)=x+f(x)是R上的奇函数；因为y=

X，是R上的偶函数，所以g(x)=x?f(x)是R上的奇函数；g(x)=xf(x)为R上的偶函数；g(x)

=x?+f(x)不能判定奇偶性.故选B.

二、填空题

3

7.如图所示，给出奇函数y=f(x)的部分图象，则f(—2)的值是一5.

【解析】由图可知f(2)=5,因为y=f(x)是奇函数，所以f(—2)=-f(2)=-5.

9

8.若f(x)=a—工是定义在R上的奇函数,则a的值为2.

【解析】由题知，f(0)=a—2=0,解得a=2.

9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(—1)=2,则f(0)+f(l)=丁2.

【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,f(1)=—f(―1)=—2,

所以f(o)+f(l)=—2.

10.已知函数f(x)=X2+4X+3.若g(x)=f(x)+bx为偶函数,则b=-4；函数f(x)

在[—3,3]上的最大值是24.

【解析】g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,g(—x)=x?—(b+4)x+3.因为g(x)=

g(—x),所以b+4=0,所以b=—4.f(x)=x?+4x+3的图象关于直线x=-2对称，因此

f(x)在x=—2时取得最小值一1,在x=3时取得最大值24.

11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当xWO时，f(x)=x3-3x,则f(x)=

fx3—3x,x^O

n~x3+3x,x>0一.

【解析】当x>0时，一x<0,

从而有f(x)=f(—x)=[(-x)3—3(—x)]=—X3+3X,

3

所以S)=二[x—3+x3,…xWO),0.

三、解答题

12.判断下列函数的奇偶性.

(l)f(x)=(X—1)A；

(3)f(x)=|x+a|—|x—a|；

2

(4)f(x)=x+|x-a|(aeR).

(1+x)(1—x)20,

解：（1）由题意得'—11,

—x#0

所以定义域关于原点不对称，

所以f(x)是非奇非偶函数.

f9-x2^0,

(2)由J।IIIu>—3WxW3,

[|x+4|+|x—3|WO

所以解析式化简为f(x)=g斤P,

满足f(—x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

(3)f(—x)=|—x+a|—|一x—a|=|x—a|—|x+a|=-f(x),所以f(x)为奇函数.

(4)当a=0时，f(x)=x2+|x|,显然f(x)为偶函数；

当a#0时,f(a)=a2,f(—a)=a2+2\a\,

一方面f(—a)—f(a)=2|a|#Onf(—a)(a),所以f(x)不是偶函数，

另一一方面f(—a)十f(a)=2a?+21a[#0nf(-a)#—f(a),

所以f(x)不是奇函数，所以，当aWO时，f(x)是非奇非偶函数.

综上，当a=0时，f(x)是偶函数；当aWO时f(x)是非奇非偶函数.

[B级素养养成与评价]

13.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0,+8)上单调递减，若f(a)》f(―

2),则a的取值范围是(D)

A.aW—2B.a22

C.aW—2或a22D.—2WaW2

【解析】由已知，函数y=f(x)在(一8,0)上单调递增，若a〈0,由f(a)》f(—2),

得a2一2；若a20,由已知可得f(a)2f(—2)=f(2),aW2.综上知一2WaW2.

14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增.若f(—3)=0,

f(X)

则<0的解集为{xl—3〈x〈0或x〉3}.

X-----------------

【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上单调递增，所以f(x)

在区间(0,+8)上单调递减,所以f(3)=f(―3)=0.当x〉0时，f(x)<0,解得x>3；当x<0

时，f(x)>0,解得一3<x<0.故一3<x<0或x>3.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=—X2—2x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对任意实数m,f(m—l)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.

解：(1)当x〈0时，-x>0,

又因为f(x)为奇函数，

所以f(x)=—f(―x)=—[一(―X)2—2(―x)]=x2—2x,

—x2—2x,x20,

所以f(x)=

x2—2x,x<0.

(2)因为f(m—1)+f(m2+t)<0,

所以f(m—1)<—f(m2+t),

又f(x)是奇函数,所以f(m—l)〈f(—t—n)2),

易知f(x)在R上单调递减，

所以m—l>—t—m?恒成立，

(1、25

所以t>—m2—m+l=—(m+方+-恒成立，

所以I；4,即实数t的取值范围为件+8).

16.⑴设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0］上单调递增，又f(2a2+a+l)〈f(3a?

-2a+l),求实数a的取值范围；

(2)已知f(x)是定义在(一1,