2024贵州中考数学一轮知识点复习 第24讲 锐角三角函数及其实际应用（课件）

第24讲锐角三角函数及其实际应用

贵州近年真题精选1

考点精讲2

重难点分层练3贵州6年真题精选1命题点特殊角的三角函数值(黔东南州2考)1.(2022黔东南州11题4分)tan60°＝________．2.(2020黔东南州11题3分)cos60°＝________．贵州其他地市真题3.(2023遵义10题4分)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，计算tan22.5°的值为(

)第3题图A.＋1B.－1C.D.B2命题点直角三角形的边角关系4.(2022贵阳7题3分)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(

)A.B.1C.D.第4题图B5.(2021黔西南州25题12分·源自人教九下P70第10题)把(sinα)2记作sin2α，根据图①和图②完成下列各题：(1)sin2A1＋cos2A1＝___；sin2A2＋cos2A2＝___；sin2A3＋cos2A3＝___；第5题图【解法提示】sin2A1＋cos2A1＝；sin2A2＋cos2A2＝；sin2A3＋cos2A3＝.111(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有：sin2A＋cos2A＝_____；第5题图1(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；第5题图(3)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则sinA＝，cosA＝，∵sin2A＋cos2A＝，由勾股定理得a2＋b2＝c2，∴sin2A＋cos2A＝1；(8分)(4)已知在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求cosA.(4)解：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°，∵sin2A＋cos2A＝1，∴cosA＝.(12分)第5题图3命题点锐角三角函数的实际应用6.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为(

)A.米B.4sinα米C.米D.4cosα米第6题图B7.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与地面距离为150m，则这栋楼的高度是________m.第7题图1008.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m(点A，E，B，C在同一平面内)．第8题图(1)求仰角α的正弦值；第8题图解：(1)如解图，过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥AN于点M，NM∠AME＝∠ANC＝90°，易得四边形BNME为矩形，∴MN＝BE＝1.6，∴AM＝AN－MN＝41.6－1.6＝40，∵AE＝50，∴sinα＝，∴仰角α的正弦值为；(4分)第8题图NM(2)求B、C两点之间的距离(结果精确到1m)．(sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)H(2)∵∠ACN＝∠HAC＝63°，AN＝41.6，∴NC＝≈21.2，在Rt△AEM中，EM＝＝30，∴BN＝EM＝30，∴BC＝BN＋NC＝30＋21.2≈51，∴B、C两点间距离约为51米．(10分)第8题图NM9.如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕轴O自由转动的阀门，平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中，若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB.(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；第9题图【解法提示】根据题意知，当下水道的水满时，OB⊥OP，此时∠POB取最大值为90°，当阀门被河水冲关闭时，OB与OP重合，此时∠POB取最小值为0°，∴阀门被下水道的水冲开与阀门被河水冲关闭过程中，∠POB的取值范围是0°≤∠POB≤90°.第9题图解：(1)0°≤∠POB≤90°；(3分)(2)为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．(结果保留小数点后一位)(参考数据：≈1.41，sin67.5°≈0.92，cos67.5°≈0.38，tan67.5°≈2.41,sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41)第9题图(2)如解图，过点B作BD⊥OP于点D，∵∠BAC＝67.5°，∴∠BAO＝90°－67.5°＝22.5°，D∵OA＝OB＝100cm，∴∠OBA＝∠OAB＝22.5°，∴∠BOP＝∠BAO＋∠ABO＝45°，(5分)∴OD＝OB·cos45°＝100×＝

，∴PD＝OP－OD＝100－≈29.5cm.(7分)答：此时下水道内水的深度为29.5cm.(8分)第9题图D10.黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1m，参考数据：

≈1.4，≈1.7)第10题图解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，第10题解图EF由题意知AB＝BC，在Rt△CDF中，CF＝CD·cos60°＝4×＝2m，设AB＝xm，则DE＝BF＝x＋2，∴AC＝＝x，∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠EDC＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，∴AD2＋CD2＝AC2，∴＋42＝(x)2，解得x1＝4＋4，x2＝4－4(舍去)，∴AB＝4＋4≈11m.答：电线杆的高AB约为11m.AD＝，第10题解图EF贵州其他地市真题11.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是(

)A.tan55°＝B.tan55°＝C.sin55°＝D.cos55°＝第11题图B12.为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段划出如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米、宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出________个这样的停车位.(取≈1.4，结果保留整数)第12题图1913.如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上．(1)该船从B处继续航行________km可使船到达离灯塔距离最近的位置；第13题解图【解法提示】如解图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，D∵∠CAB＝90°－60°＝30°，∴在Rt△ACD中，tan30°＝，∴CD＝AD·tan30°＝AD，∵∠CBD＝90°－30°＝60°，∴在Rt△BCD中，tan60°＝，∴CD＝BD·tan60°＝BD，∴

AD＝BD，∵AB＝60km，∴(AB＋BD)＝BD，解得BD＝30km.解：(1)30；第13题解图D(2)已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？第13题图(2)由(1)知，CD＝BD＝30≈52，∵52>47，∴继续航行安全．答：这艘船继续向东航行安全．锐角三角函数的定义常见类型和解法近似数和精确度仰角、俯角坡度(坡比)、坡角方向角锐角三角函数的实际应用直角三角形的边角关系三边关系三角关系边角关系图表记忆法规律记忆法特殊角的三角函数值记忆法锐角三角函数及其实际应用考点精讲【对接教材】人教：九下第二十八章P60－P85；北师：九下第一章P1－P28.锐角三角函数的定义如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A为△ABC中的一锐角，则有：图①∠A的正弦：sinA＝＝________∠A的余弦：cosA＝＝________∠A的正切：tanA＝＝________α30°45°60°sinα

_________cosα

_____

____tanα

____

特殊角的三角函数值记忆法α三角函数图表记忆法(如图②，图③)规律记忆法：30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；30°，45°，60°角的余弦值是60°，45°，30°角的正弦值直角三角形的边角关系三边关系：a2＋________＝c2三角关系：∠A＋________＝∠C＝90°边角关系：sinA＝

＝cosB，cosA＝

＝________，tanA＝________＝

b2∠BsinB已知条件图形解法一直角边和一锐角(a，∠A)

∠B＝90°－∠A，c＝____，b＝(或b＝)

斜边和一个锐角(c，∠A)

∠B＝90°－∠A，a＝c·________，b＝c·cosA(或b＝)

常见类型和解法sinA已知条件图形解法两直角边(a，b)

c＝________，由tanA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A

斜边和一条直角边(c，a)

b＝，由sinA＝____，求∠A，∠B＝___________常见类型和解法90°－∠A概念定义图形仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫_______，视线在水平线下方的角叫________(如图)

坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角α叫坡角，i＝tanα＝_____(如图)

锐角三角函数的实际应用仰角俯角概念定义图形方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)x度，如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)锐角三角函数的实际应用近似数和精确度：解直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数；一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位．如：3.246精确到0.1或精确到十分位为________，精确到0.01或百分位为_______3.23.25重难点分层练例1题图例1

(1)如图①，若BD＝1，CD＝15，∠α＝30°，求AC的长；解：(1)如解图①，过点B作BE⊥AC于点E，E由题意知BE＝CD＝15，CE＝BD＝1，∵∠α＝30°，∴AE＝BE·tanα＝15×＝5，∴AC＝AE＋CE＝5＋1；提升关键能力(2)如图②，在△ABC中，AB＝3，∠α＝30°，∠β＝45°，求点C到直线AB的距离；例1题图(2)如解图②，过点C作CD⊥AB于点D，D在Rt△ACD中，AD＝，在Rt△BCD中，∵∠β＝45°，∴BD＝CD，∴AB＝AD－BD＝AD－CD，即CD－CD＝3，∴CD＝(＋1)；(3)如图③，在四边形ABCD中，BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，连接AC，∠α＝60°，∠β＝30°，求CD的长；例1题图(3)如解图③，过点D作DE⊥AB于点E，E在Rt△ACB中，AB＝BC·tan60°＝BC＝4，在Rt△ADE中，AE＝DE·tan30°＝DE＝，∴CD＝BE＝AB－AE＝4－＝；(4)如图④，在四边形ABCD中，AD＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，连接AC，∠α＝30°，∠β＝42°，求BC的长(结果保留整数．参考数据：

≈1.73，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90);例1题图(4)如解图④，过点A作AE⊥BC于点E，E则CE＝AD＝2，∵∠β＝42°，∴在Rt△AEC中，AE＝≈2.22，∵∠α＝30°，∴在Rt△ABE中，BE＝AE·tan30°≈1.28，∴BC＝BE＋CE＝1.28＋2＝3.28≈3；例1题图E(5)如图⑤，已知∠α＝25°，∠β＝65°，AB＝10，CE＝14，求CD的长(保留一位小数，si