高中数学课堂讲义-立体图形的直观图

高中数学课堂讲义一立体图形的直观图

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点I直观图的概念......................................................1

3.知识点2斜二测画法.......................................................2

4.知识点3空间几何体直观图的画法...........................................3

5.练习........................................................................3

6.探究点一平面图形的直观图的画法..........................................4

7.探究点二空间几何体的直观图..............................................6

8.探究点三直观图的还原与计算..............................................7

9.课堂作业....................................................................8

10.课时作业（二十一）立体图形的直观图.......................................10

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1了.解"斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步

骤.（数学抽象）

能用斜二测法画出简水平2会.用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图

单空间图形（长方体、形的直观图.（直观想象）

球、圆柱、圆锥、棱柱3.强化直观图、原空间几何体形状之间的相互转

及其简单组合）的直观换.（逻辑推理）

图.通过观察空间几何体原图形和直观图，了解空间图

水平

形的不同表示形式及不同形式间的联系.（直观想

象）

2.知识点1直观图的概念

把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，

又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.

［点拨］在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面

图形.

1,画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：

（1）画轴：在已知图形中画出x,y轴，两轴交点为O,ZxOy=90°.在

直观图中，把它们化成x',y'轴，两轴交点为0',且使Nx'O'y'=45°

（或135°）0

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(2)画线：①已知图形中平行于x,y轴的线段，在直观图中分别画成

平行于x',y'轴。②已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平

行于y轴的线段，在直观图中长度减半。

(3)成图：连线成图，擦去坐标轴，辅助线等。

注意把握：

不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度

变化的：垂直关系，角的大小，一般线段的长度

规则口诀是：

横相等，纵减半，平行关系不改变.

2、画几何体的直观图，比画平面图形的直观图，多画一个与x轴，y轴都

垂直的z轴，

并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.

口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚，空间观感好

体现.

3.知识点2斜二测画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

［点拨］

(1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系变为斜坐标系使

NVOy'=45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于X轴的线段长度不

变，平行于y轴的线段长度减半.

(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在

直观图中画出.

(3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置

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不改变.

4.知识点3空间几何体直观图的画法

1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个Z轴，直观图中与之对应

的是Z，轴.

2.画底面：平面voy表示水平平面，平面和V。/表示竖直平面.

3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平

行性和长度都不变.

4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

［点拨］(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适

当选取.为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.

(2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比.

(3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对

称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上.

(4)要先画出底面的直观图，再画出其余各面.

5.练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“义”)

(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍

垂直.()

(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍

平行.()

(3)正方形的直观图为平行四边形.()

(4)梯形的直观图不是梯形.()

答案：(1)X(2)7(3)V(4)X

2.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若NA的两边分别平行于x轴，

y轴，且乙4=90°,则在直观图中N4=()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

C［在画直观图时，NA'的两边依然分别平行于V轴，y'轴，而NVOy

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=45°或135°.故选C.]

3.利用斜二测画法画边长为1cm的正方形的直观图，可能是下面的()

C[正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项.]

4.如图所示的直观图△405,其原平面图形的面积为.

解析：由直观图可知其对应的原平面图形△AOB中，NAOB=90°,OB

=3,0A=4,所以SAAOB=；0A0B=2X4X3=6.

答案：6

6.探究点一平面图形的直观图的画法

画正五边形的直观图.

解析：(1)以正五边形的中心为原点。，建立如图(1)所示的直角坐标系

xOy,再建立如图(2)所示的坐标系使Nx，Oy=45°.

(2)在图(1)中作8G_Lx轴于点G,E"_Lx轴于点H,在坐标系/。了中作O'H'

=0H,O'G'=0G,O'A'=|OA,O'F'=|OF,过点F作CO〃/轴，

使C'D'=CD且尸为的中点.

(3)在坐标系voy中，过点G作GE〃y轴，且GE=；GB,过点次作

'轴，且HE=3HE.连接A'B',B'C',CD',D'E',E'A',

得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的平面直观图.

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方法技巧

画平面图形直观图的关键

(1)在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂

直关系.

(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶

点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容

易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过

此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.

［对点训练］

如图是正方形ABCE和正三角形COE所组成的平面图形，试用斜二测画法

画出其水平放置时的直观图.

解析：(1)以所在的直线为光轴，的垂直平分线为y轴，建立平面

直角坐标系，如图①所示；

(2)建立坐标系x'O'y',使Nx，Oy=45°.以。为中点，在/轴上截取

=AB,分别过4,B'作y轴的平行线，并截取AE=TAE,B'CBC,

在y轴上截取077=30D，如图②所示；

(3)连接E。，E'C,CD',并擦去作为辅助线的V轴、y轴，就得到

所求的直观图，如图③所示.

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7.探究点二空间几何体的直观图

画正六棱柱的直观图.(底面边长为2cm,侧棱长为5cm)

解析：画法：(1)画轴.画V轴、轴、z，轴，使/x，Oy=45°(或135°),

Nx'O'z'=90°.

(2)画底面.根据V轴、y轴，画正六边形的直观图A8COER使b长为4cm.

(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,尸各点分别作Y轴的平行线，在这些平行

线上分别截取4V,BB',CC',DD',EE',FF'都等于侧棱长5cm.

(4)成图.顺次连接4,B',C,D',E',F',并加以整理(去掉辅助

线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图.

方法技巧

画空间几何体的直观图的策略

(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，

然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，

并成图.

(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：

画轴—*画底面—,■画侧棱—*成图

［对点训练］

画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸

自定).

解析：步骤：

(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使/无Oy=45°,NxOz=90°.

(2)画底面.以。为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD

(3)画顶点.在Oz轴上截取OS,使OS等于已知正四棱锥的高.

(4)画棱.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S-ABCD

的直观图，如图②所示.

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X

8.探究点三直观图的还原与计算

已知△ABC的平面直观图是边长为a的等边三角形，那么原

△ABC的面积为（）

A近2口盅2

A.2aB.a

C.坐*D.y16a2

则坐a.又Nx，Oy=45°,?.A,O'=乎a.画△ABC的实际图形,

2

如图(2)所示，AO=2A'O'=yj6a,BC=B'C'=a,/.SAABC=|BCAO=*a.]

方法技巧

1.直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与V轴，y'轴平行的直线或线段，且平

行于V轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应

线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.

2.直观图与原图面积之间的关系

若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为则有$=乎S或S

=2P利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图

形面积.

［对点训练］

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用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形0A8C的

直观图为如图所示的直角梯形02,夕C,其中梯形的上底

长是下底长的;，若原平面图形0ABC的面积为36，则

O'A'的长为（）

A.2B.72

3

C.小D.

D[由原平面图形与直观图的面积之比为1：乎，设O'A'=x,则直观图

的面积为山（“+4所以原平面图形O4BC的面积为2小x|/=

3也,得尤=2，故选D.]

9.课堂作业

1.（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说

法正确的是（）

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

ACD[根据斜二测画法知，原来垂直的直线在直观图中未必垂直，因此B

错误，A、C、D正确.]

2.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在fOy平面上，则圆柱的高应画

成（）

A.平行于7轴且大小为10cm

B.平行于z，轴且大小为5cm

C.与7轴成45°且大小为10cm

D.与/轴成45°且大小为5cm

A[平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保

持一致.故选A.]

3.如图所示，矩形（74夕C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'

=6cm,CD'=2cm,则原图形是（填四边形的形状）.

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解析：如图所示，在原图形0A5C中,

应有Q4=OA，=6(cm),

OD=2O'D'=2X2yf2=46(cm),

CD=C'D'=2(cm),

：.0C=y)0D2+CD2

=yj(4^2)2+22=6(cm),

：.OA=OC,XOA//BC,OA=BC,

故四边形0ABe是菱形.

答案：菱形

4.用斜二测画法画一个上底面边长为1cm,下底面边长为2cm,高(两底

面之间的距离，即两底面中心连线的长度)为2cm的正四棱台.

解析：(1)画轴.如图(1)所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使

ZxOy=45°,ZxOz=90°.

(2)画下底面.在平面xQy上画边长为2cm的正方形的直观图，即平行四边

形ABCD.

(3)画上底面.在0z上截取00,=2cm,过。分别作平行于轴Ox.轴Oy

的轴。*、轴。y,在平面voy上用画正四棱台下底面直观图的方法画出正四

棱台的边长为1cm的上底面的直观图，即平行四边形49CO.

(4)依次连接4T,BB',CC,DD',整理(去掉辅助线，将被遮挡部分

改成虚线)得到正四棱台的直观图，如图(2)所示.

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io.课时作业（二H—）立体图形的直观图

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

［A级基础达标］

1.（多选）用斜二测画法画平面图形的直观图，下列说法错误的是（）

A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形

B.两条相交直线的直观图可能是平行直线

C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直

D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点

ABC［斜二测画法中，平行性不变，相交直线仍相交，故A和B错误，D

正确，而直观图中X'轴和y'轴所成的角为45°（或135°），故C错误.故选ABC.］

2.如图，水平放置的三角形的直观图，D'是49边上的一点且。

A'B',A'B'//Y'轴，C'D'//X'轴，那么C'A',CB',CD'三条线

段对应原图形中的线段CA,CB,。。中（

A.最长的是C4,最短的是C3

B.最长的是CB,最短的是C4

C.最长的是C4,最短的是CD

D.最长的是C3最短的是C。

D［因为Ab〃:r轴，C'D'//X'轴，所以在原图中，ABJ_CD,A8=2AE,

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CD=C'D',所以CB2=CD2+BD2=CD2+（2B'D'f,CA1=CD1+AD2=CD2+

（240）2,因为A'=|A'B>,所以CB〉。〉。，故选D.]

3.如图，边长为1的正方形（749C是一个水平放置的平面图形OABC的

直观图，则图形OA3C的面积是（）

*

B.喙

C.啦D.2啦

D[由直观图夕C画出原图OABC,如图，因为O'B'=y/2,所以0B

=2也，0A=1,则图形0A8C的面积是2啦.故选D.]

4.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为。的等腰直角三角

形，则原图形的面积为（）

A.坐a2B.2y[2a2

C.乎a2D.也a2

D「.•平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a的等腰直角三角

形，.'.S'a2,则原图形的面积S=2&X；/=也々2.故选D.]

5.（多选）水平放置的△A8C的直观图如图所示，其中用。，=。。，=1,A'

0',那么原△ABC是一个（）

A.等边三角形B.直角三角形

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C.三边互不相等的三角形D.面积为小的三角形

AD[由题中图形知，在原△ABC中，AO±BC.'：A'O'=苧，：.AO=

小，"：B'O'=C'0'=\,：.BC=2,AB=AC=2,：./\ABC为等边三角

形....△ABC的面积为:X2X小=小，故选AD.]

6.已知水平放置的四边形A3CQ,按照斜二测画法画出它的直观图4g

如图所示，其中4D=2,B'C'=4,A'B'=\,则0c的长度是.

解析：画出原图如下图所示，由图可知DC=#22如22=26.

答案:2吸

7.△ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直

观图的面积为..其直观图的周长为

解析：如图所示

△ABC为边长为2cm的正三角形,

则其水平放置的直观图9C的面积为

S—坐邛X乎X2』乎

其直观图的周长为

L=A'B'+B'C'+C'A'

—2X1X坐Xcos135。+

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2+y4+（坐j—2X1X坐Xcos45°

=（乎+{l+2+（乎-3=2+加■

答案：乎2+#

8.利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是（填序号）.

解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不

会改变，有的边的长度会发生变化，因此三角形的直观图是三角形，平行四边

形的直观图是平行四边形.

答案：①②

9.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底

面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm,高为3cm,圆锥的高为3cm,

画出此机器部件的直观图.

解析：（1）画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使/尤Oy

=45°,ZxOz=90°.

（2）画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆。，使直径为3cm,在z轴

上截取00,使0O=3cm,过。作Ox的平行线OY,Oy的平行线0y，利用

0X与0旷画出底面圆。，，使其直径为3cm.