高中数学第一章空间向量与立体几何章末总结学案新人教A版选择性必修第一册

章末总结

体系构建

空同向量的定义及K灰示

*>**»,京法运算

空仰角岫险塞及施治第

空网向M话力的定W痛退工

又及H几何兔又

空间向li的线性运4,***♦««»

律和收KPI运算

空间向胡运克的跖舞律业4明结合戊、翁旭律

空”向依星本定J9*向黄

&公充理

空间向依抵本定用与空河向收运算的坐标我不空河直加米惊笈

审何向M话0的中标N东

才命旬青

用空间向量解决川室同向胡龙木点.m空间向依研究立体几何把同被送算

中的侬.平倒的位置关果

工体几何向即an.平血等无拿-ftlif-

4.距离浦头角问题建的几何结枪

代,而用

我的距

而莉亚

题型整合

题型1空间向量的运算

例1如图，在斜三棱柱-II/中，向量一>=,->=,

，三个向量之间的夹角均为2,点、分别在/八/上，且丁

t=；,I1=2,|*|=2,|；|=4.

(1)将向量一'用向量、表示，并求|―1;

(2)将向量*用、、表示.

答案：(1)*=>+J+-*=_*+/+^*=-[+

因为.=||||cos^=2x4x-}=4,

所以2=(_q+)2=32--•+2=\乂*-；X4+f=笥，

(2)因为—(=----；,所以为/的中点,

所以'=次-()=((~~(+++).

方法归纳

在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底

或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段的长度)的三个不共面的向量作为基底，这

样更利于解题.

迁移应用

1.如图，在四棱锥-中，底面是边长为1的正方形，到

的距离都等于2.给出以下结论：①一"+

②——>+—-,=:③—-)=―>■-1；©―>■一'=0,其

中正确结论的序号是.

答案：②③

解析：易知,+>=*+,=0,所以②中结论正确；因为底面

ABCD是边长为1的正方形，====2,所以,=2x2x

cos/,(•'=2x2xcos^f，又N=/,所以

,所以③中结论正确；显然①、④中结论不正确.故正确结论的序号是

②③.

题型2利用空间向量解决平行与垂直问题

例2(2021天津高二期中)如图，在四棱锥中，底面是正方

1底面是的中点，已知

(1)求证：1；

(2)求证：平面1平面

答案：证明以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建

立空间直角坐标系,

因为底面是正方形，=2,=2,

所以{0,0,0)，(2,0,6，(2,2,0),(026，(0,0,2).

(1)因为是的中点，所以的坐标为(1,1,1),

所以—'=，

易知"=(0>2,—2),所以."'=1x0+/x2+/x(—2)=0,

所以一―>，即_L

(2)因为底面是正方形，所以1,

因为1底面，u底面，

所以1，因为n=,,u平面，所以_L平

面，

所以平面的一个法向量为—,={-2,2,0),

设平面的法向量为=(,,),易知一'={2,0-2),

则1,二=£=«取=/，得=/,=/,所以平面的一个法

(=2—2=0,

向量为=(1,1,1),

因为•(=/x(-0+/x2+Ox0=0,

所以1一(,

所以平面1平面

方法归纳

判断平面与平面垂直有两种思路，一是利用判定定理判断；二是转化为平面的法向量

进行判断.

迁移应用

2.如图所示，已知1平面，四边形为矩形，=,,

分别为，的中点.求证：

(1)II平面

(2)平面1平面

答案：证明(1)如图所示，以为坐标原点,所在的直线分别为

轴建立空间直角坐标系

(,例，

因为，分别为，的中点，所以七,0,0),(―/~/~)，

所以—>=59，—»=(Q0,)，—>=(0,,0)，

所以—Y--

又因为仁平面，所以II平面

(2)由(1)可知*=(,)，*=(。，—).

设平面的法向量为/=(I，/,1),

令/=，得？=2,7=-，

则］二(2.

设平面的法向量为2=(2，2,2)，

令2=/，得2=。，2=，，则2=(QLD.

因为/,2=。一+=0,

所以1.L2，

所以平面1平面

题型3利用空间向量求空间距离

例3如图，在四棱锥-中，△是以为斜边的等腰直角三角形,

II，1,==2=2—2,为的中点.

(1)证明：II平面；

(2)求点到的距离；

(3)求直线到平面的距离.

答案：(1)证明：】双的中点，连接、，

V为的中点,•1•IIII,=1=>•1•四边形为

平行四边形，.•・II，

■,­C平面,C平面，[II平面

(2)取的中点，连接、，易得四边形为正方形，二=

=1.

是以为斜边的等腰直角三角形，1,=;=1,

V1,n=,u平面，

1平面

•••II，：，1平面

VU平面，平面1平面

以为原点，、所在直线分别为、轴,在平面内，作1平面

,建立如图所示的空间直角坐标系，

电

RCx

则(0,0⑨,[-1,1,0)，{1,1,0)，.

V1平面，:1

在Rt△中，=V2—2=N=>/~3，

==1,

・・・N=12ff,

•••(吟与，皆与，

•••'US，1=(一『，给,

故>*'=2乂(一勺_1乂彳=-彳,

故点A到的距离=I?-(zzrr^=^.

\।Io

(3)由(1)知||平面，：,点到平面的距离即为所求.

由(2)知一•=(a|,y)，—'=[-1,1,0)，联有

设平面的法向量为=(,,),

叫=0,即1¥+¥=〃

=0,(一+=0,

令=/,则=1,=-V5，

・•・=(7,7,-VJ),

二点到平面的距离=4?=/浸：［=高=*,

故直线到平面的距离为空.

5

方法归纳

(1)求点到平面的距离，常常利用向量法，将问题转化为平面外一点与平面内一点构

成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.(2)求直线到平面的距离，往往转

化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则.

迁移应用

中，四边形为正方形，_L平面=2，

分别为，的中点.

(1)求证：II平面；

(2)求点到平面的距离.

答案:(1)证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意知(0,0,6,[0,0,2),(1,0,0),(220),{0,1,1),

=—0,2),，=(1,2,6,'={0,1,1),

设平面的法向量为=(,,),

+2

则=0(=0,

=0I—+2=Of

令=2,得=1»

—，

=0,

II平面

(2)由(1)知II平面

二点到平面的距离等于点到平面的距离.

由⑴知平面的一个法向量为=(2,-1,1),=(.-1,0,0)，

\_2_屈

二点到平面的距离TV=^=~'

的距离为斗，即点到平面的距离为苧.

•••点到平面

题型4利用空间向量求空间角

例4如图所示,在四棱柱////中，侧棱11底面

II平面1i1,1I-

2,为棱1的中点.

(1)证明:1/I

(2)求平面与平面1夹角的正弦值;

」所成角的正弦值辞，求线

(3)设点在线段；上，且直线与平面1

段的长.

答案:(1)证明：如图所示，以为原点,所在直线分别为轴,

轴,轴建立空间直角坐标系,

依题意得(0,0,6，{0,0,2),1(121)，(0,1,0)，

所以=5=(1,〃一］),一'={-1,1-1')，因为==。，所以//1

(2)设平面］的法向量为=(,,)，因为="一2,-1),

取—1,可得=-3,=-2,所以=.

由(1)知//_!_，又/_!.//,且/Cl=,/,u平

面/,所以/11平面J,

故-7-7=(/，0—/)为平面1的一个法向量，

所以c°s<晟l当,

所以sin<,—}—J>=岑，

故平面/与平面i夹角的正弦值为学.

(3)易得一'=(0,1,0),----；=(1,1,1),

设(=/=(,,)>0<<1,则(=*+*=(,+/,),

易知为为平面//的一个法向量，

设为直线与平面//所成的角，

则sin=|cos<-，—>1=三言=7^4^^=万拈韦'

所以万号前=弓="(负值舍去)，则一=或为-

所以|-=］&+(乎+(92=0.故的长为位.

方法归纳

解决立体几何中的夹角问题的思路：思路一：利用定义，在图形中找出所求的角，解

三角形求出所求的角；思路二：利用向量法，转化为直线的方向向量与平面的法向量之间的

夹角.

迁移应用

4.(2021山东济南第H■•一中学期中)如图，在四棱锥-中，1底面

，1，II，===2,=/，点为

棱的中点.

(1)证明：1;

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若为棱上一点，且满足1,求平面与平面夹角的

余弦值.

答案：(1)证明：以点为原点建立空间直角坐标系.

则[0,0,0)，(1,帅，(220)，(020),(0,00,(/,7,7),

所以-'=(QLI)，-=[2,0,0),

因为*-'=0,

所以1

(2)易知1,2,0),'=^1,0,~2).

设=(,,)为平面的法向量，

则｛

令=/,得=(2,1,1)为平面的一个法向量，

所以cosV,—>>=「言=熹=¥，所以直线与平面所成角的正弦

IHI76x723

值为手.

(3)易知'=(1,2,0),'=[-2,-2,2),>=[2,2,0),'=(1,0,0).

由点在棱上，设>=*,0<<1,故*=*+*=>+

*=(1-2,2-2,2).

1得'■"二^^因此式[一^)+式2-2)=0,解得=^,即(=

(一■及>

设/=(/，/，/)为平面的法向量，则[r—►=?即

(I-=0,

/=°>

/+'/+]1~0,

令=1,得/=("—3。为平面的一个法向量.

易知平面的法向量为2=3，。，则COS</,2>=-=急=-翳

所以平面与平面夹角的余弦值为呼.

题型5空间向量中的探索性问题

例5(2020天津滨海七校高二联考)如图，在三棱柱-///中，1

平面11,已知//=彳，—1>=1=2,点是棱/的

中点.

(1)求证：/J•平面；

(2)求平面/与平面//夹角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一点，使得与平面//所成角的正弦值为呼？

若存在，求出一的值；若不存在，请说明理由.

答案：(1)证明：=1,1=2,N]=彳j=yj~3,

・•・2+f=2]、JJ_,

•・,1平面11，又/U平面]1,

-L1

又,・,n=,u平面，

]1平面

(2)以为原点，―'，—；,一的方向分别为，，轴的正方向建立如

图所示的空间直角坐标系,

则(0,0,2),“I小。,《百。，,(1,0,0),

设平面/的法向量为=(〃〃/),

=(一/,~2)

(------>_n(-1+61-2j=0,

“一金书,+¥T,=0.

令/=近，则1=1,1=1,：.=(47).

设平面1/的法向量为=(2,2)2)9

力=(。。一3

令2~心，则2=1，2=0,

=(7,V5,0),

ACOS<,>=—=[="

IIII2/55

••・平面/与平面1/夹角的余弦值为学.

(3)假设存在点，设(，，)，

v'—>»G[0,/],

••(-1,,)=[-1,0,2).(2-,0,2),，=6一，一当2).

由(2)知平面1j的一个法向量为=,

由|cos<\>|==乎，得692-38+5=0,即(3-/)-

2居-¥+52〃

[23-5)=0,

=」或=—,--或——.

323323

方法归纳

解决探索性问题的基本策略是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后

在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存

在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不

存在.

迁移应用

5.(2021山东聊城高二期中)如图所示，在三棱柱-///中，/I平面

,1——=4,4-9ff,是/的中点.

（1）求直线与平面/所成角的正弦值；

（2）在棱/上是否存在一点，使得平面与平面,所成的角为4s若

存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系

则(4,0,0)，(040)，(0,0,2)，，所以—'=(-4,4,0)，------；=(4,0,2),

={0,4,-2）.

-af4+2

-令

即<

设平面/的法向量为=（-al4-2-

，，贝IJ=[1-1-2）,

所以cos<_；>=^^=^=一产，

所以直线与平面,所成角的正弦值为当.

（2）假设在棱/上存在一点，使得平面与平面/所成的角为45°,

设（。〃），0W<4,则-'={4,0-），

设平面的法向量为/=（〃〃/）,

叫；：—：«<-41+7°；=0,取L,则,=（，〜

由（1）知平面!的法向量为=（1,一/,一劣.

所以|COSV/,>|==/8L=[，即2=1,

IIIIJ22+1&岳23

解得=平（负值舍去）.

故在棱/上存在一点，使得平面与平面/所成的角为好，点的

坐标为（。4不.

高考链接

1.(2018课标n理，9,5分)在长方体////中，

,=则异面直线/与,所成角的余弦值为()

A-iB-TC-7D-7

答案：

2.(2020新高考I,20,12分)如图，四棱锥一的底面为正方形，1底

面.设平面与平面的交线为

(1)证明：1平面

(2)已知==1,为上的点，求与平面所成角的正弦值的

最大值.

答案：(1)证明：因为在正方形中,II

且C平面，u平面，

所以II平面，

又因为u平面，平面n平面=，所以II

因为在四棱锥-中，底面是正方形，所以1，所以JL

又1底面，U底面，所以1，所以1

因为n=,,u平面,所以1平面

(2)建立如图所示的空间直角坐标系

因为==/,所以（〃。自，｛0,1,0）,（1,0,0）,（0,0,1），{1,1,0）,

设（,OQ,则—'={0,1,0）,~~*=（,0,1）,­>={1,1-1），

设平面的法向量为=(,,),

则=：或即{="+=0

令=/,则=_,=o,所以平面的一个法向量为={1,0-），

.•_1+0+

则cos<

=III——I=展4+1

所以与平面所成角的正弦值为|cos<----->>I=I"I_qH+IR2

y[3'y/m^+131m^+1

¥•口1口9口l5w?E=%当且仅当=/时取等号，

所以当点的坐标为（1,0,1）时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为乎.

3.（2020课标m理,19,12分）如图，在长方体1I中，点分

别在棱!上，且221■

（1）证明：点/在平面内;

(2)若=2,1=3,求平面与平面1夹角的正弦值.

，使得/，连接

答案：（1）证明：在棱/上取点1~2

1

在长方体1/中，II且1/，且

=2I

2

•••四边形为平行四边形，则//且

同理可得四边形/为平行四边形,

/II且

/II且1—,则四边形为平行四边形,

•••点1在平面内.

（2）以点/为坐标原点，/八/八所在直线分别为轴、轴、轴

建立如图所示的空间直角坐标系!

{,2,1,3)、、(2,0,2)、{0,1,1},

-=10,-L-I)，'={-2,0,-2),一「=[0,-1,2),一丁=(-2