高中数学 01 集合与常用逻辑用语（教师版）新人教版

专题01：集合与常用逻辑用语

一、考纲解读

1.了解：了解集合的含义、元素与集合的属于关系、全集与空集的含义；了解“若P，则q”形式的命题，

逆命题、否命题与逆否命题，以及逻辑联结词“或”、“且“、“非”的含义.

2.理解：理解集合之间包含与相等的含义、两个集合的并集与交集的含义、在给定集合中一个子集的补

集的含义；理解命题的概念、充分条件与充要条件的意义、全称量词与存在量词的意义.

3.掌握：能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；能使用韦恩（Venn）图表达集合的

关系及运算；能正确地对含有一个量词的命题进行否定；会求两个简单集合的并集与交集、求给定子集的

补集，以及会分析四种命题的相互关系.

二、知识结构

三、复习策略

1.重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用.可以较好地

掌握以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分情况.

2.重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析儿何、立体儿何等各类知识的融汇贯通，可在一

轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平.

3.对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，对于其中涉及的化归思想和等价

转化思想进行认真体会.

4.全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位，判

断要准确，表达要合乎逻辑.

5.充分条件、必要条件及充要条件的复习，要把握好“若p则q”的命题中条件与结论之间的逻辑关系，

真正弄懂它并善于应用它去分析和解决问题.

四、典例精析

1.元素与集合的关系

例］（2012高考真题新课标理1）已知集合&="，2,3,4,5｝,8=｛（x,y）|xeA,yeA,x—yeA｝；,则§

中所含元素的个数为（）

A.3B.6C,8D.1°

分析：根据集合A中的元素确定集合B中的元素，由此可得集合B中的个数，确定时注意分类讨论思想

的应用.

解：要使x-yeA,当*=5时，＞可是1,2,3,4；当》=4时，＞可是1,2,3；当工=3时，V可是

1,2；当x=2时，y可是1,综上共有10个，选D.

方法提炼：元素与集合关系主要涉及两类题型：（1）判断元素与集合之间的关系，解答时如果不能直接判

断，则须对元素结构进行转化或集合进行化简；（2）根据元素与集合的关系求解相关问题，解答时要根据

具体条件进行分析，采用对元素的结构转化、元素间的相等关系建立方程等手段.

2.集合之间的基本关系

例2（山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试）设全集°2——5x4°,xeN},且

则满足条件的集合P的个数是（）

A.3B.4C.7D.8

分析：首先通过解不等式确定集合Q中的元素，然后根据集合Q中的元素个数进而可确定Q的子集个数.

e={xl2x2-5x<0,xeA^}={x0<x<-,XGN}={0,1,2}

解：2，所以满足Pl。的集合P有2'=8个,

故选D.

方法提炼：集合与集合之间的关系主要题型：（1）判断两个集合间的关系，数集之间的关系可借助数轴进

行判断，点集可考虑利用数形结合解决.（2）根据集合间的关系求相关的参数，通过要建立方程来解决;

（3）计算集合的子集个数，解答关键是确定集合的元素个数.

3.与函数交汇的集合运算

例3（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科）设集合是人={“外幻=8》3-3公2+6》是（0,转）上

的增函数},x+2则巅（an8）=

分析：首先利用导数和基本不等式确定集合简化集合A,然后通过求函数的值域化简集合B,最后求

解：/'。）=24/-6度+6,要使函数在（0，+8）上是增函数，则/（尤）=2“-6数+6>0恒成立，即

a<4x+-4x+—>2j4xx—=4

x,因为*Vx，所以a44即集合4={4"《4}.集合

'x+2'xe〔1'刃}={y[]WyW5},相人C8={用WxW4},蝌Q（An6）=（-oo/）U（4,+8）,

方法提炼：集合与函数的交汇主要体现为以函数的定义域或值域为集合问题，因此此类问题的解答关键是

要正确确定函数的定义域或值域，从而使集合得到简化，进而再进行集合间的基本运算.

4.与不等式交汇的集合运算

例4（2012高考真题天津理）已知集合A={xlxeRllx+2l<3},集合8={xlxeRI

I（%一m）（工一2）<0},且40|5=（-1,〃），则根=n=

分析：首先通过解不等式简化集合A,然后根据Ans的范围及A的集合的范围分析集合范围的端点值与

B中不等式中的关系，由此建立一个简单的方程可求得m,n的值.

解由k+Z<3,得一3<x+2<3,即—5<X<1,所以集合人=｛耳—期4口8=（—1,〃），

所以一1是方程（x—M（x—2）=°的根，所以代入得3（1+机）=°,所以m=7,此时不等式

*+1）（*一2）<°的解为一1cx<2,所以4n8=（—1,1）,即〃=1.

方法提炼：解答此类试题主要分两步完成：（1）简化集合.如果集合与函数结合，则可通过求函数的定义

域或值域给出化简的集合；如果集合与不等式结合，则可通过解不等式简化集合.（2）进行集合运算.

5.与解析几何交汇的集合运算

｛（x,y）i（y-x）（y--）>0｝

例5（2012年重庆高考理科）设平面点集A=x,B=

｛（x,y）l（x—iy+（y—l）24l｝,则ACB所表示的平面图形的面积为（）

分析：首先作出集合A与B表示的平面区域，然后求其公共区域，即ACB表示的平面区域，再根据图形

的对称性可求得AAB所表示的平面图形的面积.

y-x>0y-x<0

-1\1

y——>0y——<0

解：平面点集A表示的平面区域就是不等式组［工与［》表示的两块平面区域，而平面点集

B表示的平面区域为以点（1,1）为圆心，以1为半径的圆心的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域,

1

y=~

如图所示,图中的阴影部分就是ACB所表示的平面图形，由于圆和曲线X

1K

关于直线y=x对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的5,艮/5.

方法提炼：此类试题主要体现为集合的元素为解析儿何中的直线、圆、椭圆、

双曲线、抛物线上的点或某平面区域内的点坐标，因此解答时可以将集合问题

转化为解析几何问题来处理.

6.四种命题的转换

兀

例6（2012高考真题湖南）命题“若4,贝Ijtana=1”的逆否命题是（)

7171

A.若aW4,则tanaW1B.若a=4,则tana

7171

C.若tanaW1,则aw4D.若tanaHl,贝a=4

分析：若原命题是“若p,则q”的形式，则其逆否命题是“若非q,则非p”的形式，按此要求可写所要求的

否命题.

7tn

解：根据原命题与逆否命题的关系可得“若a=4,贝l」tana=1”的逆否命题是“若tana#1,则a±4",

故选C.

方法提炼：进行命题的转换体现在“换位”与“换质”两个方面：“换位”是指交换原命题的条件与结论,

“换质”是指对条件和结论进行否定.同时在进行命题转换时要注意两点：①如果命题中无明显的“若p,

则q”形式，可以先对命题进行改写；②“或”与“且”的互否性.

7.命题的否定

例7(2012高考真题辽宁)已知命题p：Vxi,x2CR,(f(x2)-f(xl))(x2-xl)>0,则「p是()

A.3x1,X2GR,(f(x2)-f(xl))(X2-xl)<0B.VX],X2」R,(f(x2)-f(xl))(x2-xl)<0

C.3xi,x26R,(f(x2)-f(xl))(x2-xl)<0D.Vxl,x2《R,(f(x2)-f(xl))(x2-xl)<0

分析：已知命题是全称命题，因此将全称量词否定为特称量词，判断词“)”否定为是即可.

解：命题p为全称命题，所以其否定「p应是特称命题，又(f(x2)-f(xl))(x2-xl巨0否定为

(f(x2)-f(xl))(x2-xl)<0,故选C.

方法提炼：对含有一个量词命题的否定一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称命题与存在性

命题互为否定，肯定与否定互为否定.而对一个命题的否定时，注意区分命题的“否定”与“否命题”，

命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件,

否命题则是既要否定结论，又要否定条件.

8.充分条件与必要条件的判断

111,,

--i=H—-j=H—-r=«a++c

例8(2012高考湖北文)设为仇cwR,则“abc=l”是“Ja&&”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件

111,111,

-H--j=H—j=VQ+/?+C~4--j=H--j=«Q+0+C

分析：考虑=yjbJc是否成立？NaJb&是否成

立.

111y[abcyjabcy/abcr-rr--/—

I—H—~i=H—~r=——~j=—i—『—I---j="=7cib+7be+7cu

解：当abc=1时，，y/ay/byjcyjay/by/c，而

+++/?)+(/?+c)+(c+6t)>2y[a~-b2\fb~-fe2y/ca(当且仅当=且Q/?C=],即

-~r=H-4—『—yjClh+yfbc+y/Cd«〃+/7+C

〃二6=。时等号成立)，故Jay/by/c；但当取a=b=c=2,显然有

111,111,

~d—『d--『WQ+0+C~d—-r=d---j=«Q+Z?+C

y/b&，但"cRl,即由Ja"y/c不可以推得"c=l；综上，

abc=l是Jay/b8的充分不必要条件.应选A.

方法提炼：充要条件判断主要有定义法、集合法、命题法三种方法.判断时还须做到：①确定命题的条件

和结论：②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.

五、自主演练

一、选择题

1.（北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考理）若集合A=2°},且=则集

合8可能是

A.{I?B.{小钊C.{T°』}D.R

1.A解析：因为4口8=8,所以8=因为{1，2}1A,所以答案选A.

2.（重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考）设P={yly=m（厂+D,xeR）,Q={y

1-（!）"

Iy=2,x€R},则（）

A.P=QB.QNPC.°q（；RPD.（RQqP[:]

2.D解析P={ylyeO},Q={yly<l}.逐个对照易得答案.

3.（北大附中河南分校2013届高三第四次月考理）已知集合P={正奇数}和集合

M={xlx=a㊉力eP},若M1尸，则乂中的运算“㊉”是（）

A.加法B.除法C.乘法D.减法

3.C解析：因为加之尸,所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合中的运算为乘法运算，选C.

4.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科）已知集合”={yiy=/},

N={y|炉+）』=2},则MC|N=（）

A.{（tD,（-l,1）}B,{1}C,OHD.1°，后]

4.D解析：”={）'1）'=/}=3"0},N={ylx2+y2=2}={）,卜收“4亚},所以

Mn7V={y|0<y<V2}

1，选D.

5.【2013届河北省重点中学联合考试】设全集U=R,A={xI'I-<2）,B={XI

log।（x-+x+1）〉—log2（x-+2）

2},则右图中阴影部分表示的集合为

A、{xIlWx<2}B、{xIx21}

C、{xIOVxWl}D、{xIxWl}

5.A解析：因A=（°，2）,B=（-oo,l）,则。心=[0,+8）.图中阴影部分为C°B,于是

An（C〃）=[0,2）,故选A.

6.（山东省威海市2013届高三上期末）已知R为全集，A={XI（1—X）（X+2）4°}^JG（A=

（A）*11<-2或工>1}（B）&114一2或121}

（C）{xl-2<x<l}⑴）{xl-2<x<l}

6.C解析：因为A={xl（l—x）（x+2）<0},所以

^A-{xl（l-x）（x+2）>0）-{x|（x-l）（x+2）<0}={x|-2<x<l}、中

7.（山东省临沂市2012届高三第二次模拟理）设'={刈2'—"'3},'=卜卜—若A[B,则

实数4的取值范围是

（A）（-8,-1）（B）（C）（一8，_2）（D）（-00,-21

7.A解析:集合4=叶3力-1W3}=叶IV},而8=郎〉叫唠AC,胭a<-\,

选A.

8.（山东省临沂市2012届高三第二次模拟文）设集合P={31°g2"},。={。力},若"0=网，则

PuQ=

（A）也。}（B）{3，。』}（C）{3,。,2}（D）{3,0,1,2）

8.B解析：因为a#0,所以必有匕=0,则log2a=0,解得”=1,所以集合尸={0，3b0={0]},

所以「门。={0,1，3},选民

9.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试理）设集合A={邛>1}，'="।Q一2）<°},则A（18等

于

A.{x\x>2}B{x|0<x<2}c.®<x<2}D.{xlO<x<l}

9.C解析：B={xlx（x-2）<0}={x[0<x<2},所以AnB={x[l<x<2},选c

M={x\y=yJ2x-x2>乂=（丫|^=3*>nl

10.（山东省泰安市2013届高三上期末理）己知集合1,集合训）一’r九

则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为

A（2,+8）B[0,l）u（2,+oo）

[0,l]u（2,+oo）[0,1]u[2,E）

c.D.

M=卜|,=12x-x2}={x|2x-x2>0}={x|0<x<2}

10c解析

N={y|y=3，,x>0}={y|y>l},则阴影部分为比卜€加UN且x史MA，},M\JN={x\x>Q}

AfA"={x|l<xM2},所以，即阴影部分为{x]cAf|jN月或MAN}={x|0Wlx>2},即

[0』]52，句，选c.

11.（贵州省四校2013届高三上期末（天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考））已知集合

2

M={xlx-l<0}（N={yly=log2（x+2）,xeM},则知CN=（）

A.（。，1）B.（TDC.（-1,。）D.0

11.A解析：M={XIX2-1<0}={X|-1C<1},

Af={y|y=log2（x+2）,xeM}={yly=log2（x+2）,-l<x<l}={>>|log2l<y<log23}

即N=3°J<1限2引，所以MnN={x[0<x<l},即（0,1）,选A.

12.（2013年长春市高中毕业班第一次调研理）已知集合A=[x1x2-X-2<0},8={xly=ln（l-1xI）},

则An（Q8）=

A.（L2）B.U，2）c.（T，DD.d，2]

12.B由/-x-2<0可得一1<x<2,又y=ln（l-lxl）中l-lxl>0,则1>1xl即一1<x<1,则

Q8={xlxW-皿1},因此An（Q8）=[l,2）,故选民

13.（惠州市2013届高三第三次调研理）已知集合"MT"},8={加+1=0},若B^A,则实数a

的所有可能取值的集合为（）

A.卜1}B.{1}C.Il}D.{T'°'l}

13.D解析：。=0或1或-1.

14.（山东省威海市2013届高三上期末文）二6凡/一以+14°为假命题，则。的取值范围为

（A）（-2,2）⑴）[-2,2]（C）（-00'-2）U（2,+oo）⑴）（-00,-2]U[2,+8）

14：A解析：因为王€凡/一ax+140为假命题，所以VxeR,/-ax+l>0,即△<（）,即/_4<0,

解得—2<x<2,即a的取值范围为（-2,2）,所以选A.

15.（山东省临沂市2012届高三第二次模拟理）已知命题，：“VXGU，2]，X2一。2°”，儆4：“heR,

—+2ax+2-。=0"。若命题：“P且4”是真命题，则实数。的取值范围是

（A）〃〈一2或〃=1（B）〃<一2或1<〃42（c）tz>1⑴）-2<tz<1

222

15.A解析:Vx£[1,2],x-a>0^即X/x£[1,2],x>a,月以a<\o3xeR，有x+2ax+2-a=0,

则说明方程有解，即判别式八二4。2-4（2-a）N°,解得。之1或a«—2,因为命题p且g为真，所以

"同为真命题，所以。<一2或。=1,选A.

16.（山东省淄博市2013届高三上期末文）下列有关命题的说法正确的是

A.命题“若d=l,则x=l”的否命题为“若一=1,则x力1”

B命题“三不£R,二+x-1<0”的否定是“弋x£R,4-x—1〉0，，

C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题

D.若“p或q”为真命题，则p,q至少有一个为真命题

16.D解析：命题“若一=1,贝IJX=1”的否命题为“若-71,贝IJXH1”所以A错误。命题

«3xe/?,x2+x-l<0»的否定是“VxeR,』+x-120„,所以B错误。命题“若,则sinx=sin），，，

正确，则命题“若、=>\则$吊"=$抽），”的逆否命题也正确，所以c错误，故选D.

17.（2013安徽省省级示范高中名校高三联考文）命题“去的否定是（）

xxxx

A3XGR,e>xB\/xeR,e>xc3xeR,e>xDVXGR.e>x

17.解析：对结论否定的同时量词对应改变.

is.（山东省兖州市2013届高三9月入学诊断）对于函数y=/a）,xeR,的图象关于）‘轴

对称”是“y=/（x）是奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

is.解析：若y=/a）是奇函数，则的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数y=/a）,

满足的图象关于>轴对称，但不一定是奇函数，答案应选c.

19.（2013广东惠州市第二次调研）"2">2"”是“I°g2">l°g2””的（）

A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件

C.充要条件D.必要不充分条件

19.D解析：注意。力的正负号.故选O.

20.（遵义四中2012~2013学年度高三第四次月考文）已知e凡则>2"是"力>2。"成立的（）

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

20.A解析：由”2>2a得a>2或a<°,所以'2>2"是"/>2a"成立的充分不必要条件，选人.

21.(广东省华南师大附中2013届高三第三次月考文)设命题—3|<］，*x—2一,则P是4的

()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

21.晰2：P：l<x<2,q-A<x<2f故选人.

22.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】“此一，，是“。〉0且8<°”的

()

A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要

【解析】^i^+2=(a+&'；P10=口右〈00］娱<0或］口>0,则选力

22.Aabab>06<0

二、填空题

24.(山东省临沂罗庄高考补习学校2013届高三10月月考理)设U={0,1,2,3},A={xGUIx2+mx=0},若

CUA={1,2},则实数m=.

24.-3解析：V［UA={1,2},.,.A={0,3}，，0,3是方程x2+mx=0的两根，，m=-3.

25.(山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测)已知集合

人=卜,2—16<0},6=卜上2—4x+3>。},则Au3=

?5R竹析A=-16<()}={x1-4<x<4}8={无卜？_4x+3>o}={x|x>3或x<1}所以

A\JB=R

26.(北京市西城区2012-2013学年度第一学期期末高三文)设函数外灯=/一68+5,集合

A={(a,b)\f(a)+f(b)<Qt且/(a)—/(b)20}.在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积

为.

26.4TI解析：因为/(x)=f-6x+5=(x—3尸—4，所以由/(«)+/(^)<0得

22

(a-3)-4+(/?-3)-4<0；即伍一3)2+(6-3)248,它表示以(3,3)为圆心，

半径为2血的圆面。由/(&)—得即/一6。2/一6。，整

a-b>0［a-b<0

<<

理得(a-b)(a+b-6)>0,即［。+6-620或曾+匕-640,显然

a-b=°,a+0-6=°的交点为(3,3),且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所