高中数学选修2-1 学期综合测评

高中数学选修2-1学期综合测评

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间

120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

一'选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为（一1,0）,则抛物线的方程是（）

A.y^~2xB.y^~—2x

C./=4xD./=—4x

答案D

解析I•抛物线的准线方程为x=l,焦点坐标为（一1,0）,.•.抛物线的开口方

向向左且顶点在原点，其中p=2,，抛物线的标准方程为y2=—4工

2.有下列四个命题：

①“若f+y2=o,则孙=0”的否命题；

②“若x>y,则f>y2”的逆否命题；

③若“无W3,则的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析对于①，否命题是“若/+y工0,则孙工0"，例如，x=—3,y=0

时，『+y27o,但孙=（）,是假命题；

对于②，逆否命题是“若/忘>2,则xWy”,例如x=0,y=-1时，x2^y2,

但x>y,是假命题；

对于③，否命题为“若尤>3,则x2—x—6W0”,例如x=4时，%2—%—6>0,

是假命题；

对于④，“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角“，是假命题.

所以真命题的个数为0.故选A.

3.命题“mx（）WR,2xo—3>1”的否定是（）

A.3xoR,2xo—3W1B.VxGR,2x—3>1

C.VxGR,2x—3W1D.5JCO£R,2.ro—3>1

答案C

解析由特称命题的否定的定义即知.

4.双曲线专一§=1（MOTW0）的离心率为2,它的一个焦点与抛物线V=4x的

焦点重合，则mn的值为（）

.3口3"6n8

A16B8CTD-3

答案A

解析抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,

故在双曲线5—^=1中，加>0,〃>0且m+〃=。2=1.①

又双曲线的离心率0=金=\^^3=2,②

\m=A,3

联立方程①②，解得j3故"〃2=讳.

5.设命题p：函数尸sin2x的最小正周期为去7T命题夕：函数尸cosx的图象

关于直线尤=］对称.则下列判断正确的是（）

A.p为真B.㈱q为假

C.“Aq为假D.pVq为真

答案C

解析函数y=sin2r的最小正周期为受=兀，所以命题p为假；函数y=cosx

的图象的对称轴为x=E,k《Z,所以命题q为假，所以留弟夕为真，p八q为假,

p\/q为假.

9792

6.椭圆卷+£=1与双曲线今一号=1有相同的焦点，则人应满足的条件是

VK,KD

（）

A.k>3B.2<k<3

C.k=2D.0<K2

答案c

解析由题意可知公>0且9一3=左+3,所以2=2.

7.左=土半是直线1与曲线/一丁=4仅有一个公共点的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案A

--],

,,“得（1—K）f+2入-5=0.

X2—/=4,

当3=1,即々=±1时，有唯一解.

当FW1且/=0时，也有唯一解，此时Z=±坐

所以七=±勺是直线^=依一1与曲线/一尸=4,

仅有一个公共点的充分不必要条件.

92

8.已知为（一3,0）,乃（3,0）是椭圆5+]=1的两个焦点，点尸在椭圆上，Z

,产死二原当01=守时，△F'lP/72面积最大，则"?十"的值是（）

A.41B.15C.9D.1

答案B

解析由SAF]PF2=1|FIF2\-yp=3yp,知P为短轴端点时，△QPB面积最大.此

2兀r-

时NR尸尸2=丁，得〃=Wi=2仍,b=\f7i=小,故机+鹿=15.

9.如图，将边长为1的正方形A3c。沿对角线3。折成直二面角，若点尸

满足诙=/瓦I-/龙+砺，则|诙2的值为（）

310—^29

A，2B.2C.—Dq

答案D

解析由题可知|9|=1,|应]=1,|劭=啦,

(BA,物=45°,

<BD,BC)=45°,{BA,BC)=60°.

二|酬=(如—加+筋>

=油+前一我反"前助一祀的-3乂IXlXy+lX/

,-卜乙(I乙乙

X落1X6*.

10.如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZACB=90°,2\AC\=\AAi\=\BC\

=2.若二面角5一。。一。的大小为60。，则依。|的长为()

ASB.小

C.2

答案A

解析如图，以C为坐标原点，CA,CB,CG所在的直线分别为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系Cxyz,

则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(O,2,2),Ci(0,0,2),设AD=a,则。点的坐标为(1,0,

a),宓=(1,0,a),亦=(0,2,2),设机=(x,y,z)为平面BiCO的法向量.

m-CB\=0[2y+2z=0,

则令z=-1,得

,/nCb=0寺[x+,az-一0,、

zn=(a,l,—1),又平面GOC的一个法向量为〃=(0,1,0),则由cos6(T=面向,

得《=^^^=5，即a=y^2,故AD=y[2,故选A.

11.过点P(—4,0)的直线/与曲线C：f+2y2=4交于A,B两点，则A3中

点Q的轨迹方程为()

A.(x+2)2+2/=4

B.(X+2)2+2/=4(-1<x^0)

C.f+20+2尸4

D.x2+2(y+2)2=4(-1<x<0)

答案B

解析设A(xi,yi),8(x2,yi),0(x,y),

则XI+%2=2X,y\+y2=2y,

J9X++22M*=44,=2-2_2W2)2

J2—yi1(X2+XIY_X

X2-x\21V2+yJAB2y

2

=：PQ=.；4=-可=(X+2)+2^=4,

AB中点。的轨迹方程为a+2)2+2y2=4(—lVx〈0).

12.已知双曲线，一次=1屹＞0),以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长

的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,。四点，若四边形ABC。的面积为

2b,则双曲线的方程为()

答案D

解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABC。为矩形.双曲线的渐近

线方程为旷=±&,圆的方程为£+产=4,不妨设交点A在第一象限，由y=&,

42〃32〃

/+y?=4得故四边形A3。。的面积为4x\yA=4+序=

2b,解得廿=12,故所求的双曲线方程为卷一1=1,选D.

第II卷(非选择题，共90分)

二'填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知Mx)：x1+2x-m>Q,如果p(l)是假命题，p(2)是真命题，那么实数

m的取值范围是.

答案［3,8)

解析因为p(l)是假命题，所以1+2—即机23.又因为p(2)是真命题，

所以4+4—加>0,即〃?<8.故实数m的取值范围是［3,8).

14.以等腰直角三角形ABC的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭

圆的离心率为.

答案坐

解析设等腰直角三角形的直角边长为/,则其斜边长为啦/,由题意可知，

焦距2c=•/,c=*i,由椭圆的定义可知2a=2/,a=l,所以离心率e=；=乎.

15.已知点M(—3,0),N(3,0),B(l,0),动圆C与直线MN相切于点3,过M,

N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为.

答案X2—^-=1(%>1)

解析设圆与直线PM,PN分别相切于E,F,则|PE|=|PF|,=|N8|

=|^..\\PM\-\PN\=\PE\+\ME\-(\PF\+\NF\)=\MB\-\NB\=4-2=2,.•.点P的

轨迹是以M(—3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a=l,c=3,.•.从=8.故双

曲线的方程是

16.已知A(0,-4),8(3,2),抛物线,y2=x上的点到直线AB的最短距离为

答案亭

解析直线A3的方程为2尢一y一4=0,设抛物线:/=无上的点p«,尸)，则点

nzzi七心口匚土,|2f一产一4|於一2，+4Q—1>+333班

P到直线AB的距离公小=小=小诟

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

17.(本小题满分10分)已知。=。,4,1),〃=(-2,y,-1),c=(3,—2,z),

a//b,5_Lc,求：

(l)a,b,c；

(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

r41

解(1)因为。〃6所以二■=；：==，解得x=2,y=—4,这时a=(2,4,l),

6=(-2,-4,-1),又因为万，%所以万c=0,即一6+8—z=0,解得z=2,

于是c=(3,-2,2).

(2)由(1)得a+c=(5,2,3),8+c=(l,—6,1),因此a+c与分+c所成角的余弦

-5—12+32

值=再乐丽=一再.

18.(本小题满分12分)已知命题p：方程日+\=1表示焦点在y轴上的椭圆;

命题(7：\/%6此4/—4/?a+4加一320.若依第〃)/\<7为真，求的取值范围.

解〃真时，m>2.

q真时，机-320在R上恒成立，即

/=16机2—16(4加-3)W0,解得

.(㈱p)Aq为真，假，q真.

〃W2,

即

1WmW3,

二所求，〃的取值范围为[1,2].

19.(本小题满分12分)在长方体ABCO—AiBiCDi中，AA\=2AB=2BC,E,

F,Ei分别是棱A4i,BBi,48的中点.

求证：(1)CE〃平面CiEiF；

(2)平面CiEF,平面CEF.

证明如图所示，以。为原点，DA,DC,DDi所在的直线为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，设BC=1,

则C(O,1,O),E(l,o,l),G(0,l,2),g,2).

(1)设平面CiEiF的法向量〃=(x,y,z).

即产出

—(1、n-GEi=O,

•.•G6=1,—5,0,尾=(—1,0,1),A

一n-FCi=Q,、一x+z—0.

取71=(1,2,1).

VGE=(\,—1,1),〃.宓=1—2+1=0,/.CE±n.

又平面GEiF,...CE〃平面C1E1F.

(2)设平面E/C的法向量为机=(a,b,c),

由年=(0,1,0),^=(-1,0,-1),

m・EF=0,b=0,

「J即-a-c=..取机=(T,0」)・

m-FC=0,

V/n«=1X(-1)+2XO+1X1=-1+1=O,

，平面CEiE，平面CEF.

20.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC—431。中，AB=1,AC=AAi

=/，ZA5C=60°.

(1)证明：AB_LAiC；

(2)求二面角A-AiC-B的正切值大小.

解解法一：(1)证明：：三棱柱ABC—481cl为直三棱柱，：.AB±AAi.

在△ABC中，AB=\,AC=小,ZABC=60°.

由正弦定理得NAC3=30。，

：.ZBAC=90°,gpABLAC,平面ACC1A1.

又AiCU平面ACG4,：.AB±A\C.

(2)如图，作AOL4C交AC于。点，连接8D

VAB±AiC,ADQAB=A,平面ABD

：.BDLA\C.

二.NADB为二面角A-AiC-B的平面角.

AArAC爽X爽加

在Rt^AAC中，AD=

一#-2-

AB\16

在RtAB^D中，tanNAOB=77i=^-,

二二面角A-AiC-B的正切值为坐.

解法二：（1）证明：•.•三棱柱ABC—481G为直三棱柱，：.AA\LAB,A4i±

在△ABC中，AB=\,AC=事,ZABC=60°.

由正弦定理得NAC3=30。，

：.ZBAC=90°,EPABLAC.

如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,小，0),4(0,0,回

：.AB=(1,0,0),AC=(0,小，一小).

,宓牙』xo+oxS+ox(一5)=0,

：.ABLA\C.

⑵取机=加=(1,0,0)为平面A41cle的法向量.

由(1)知，祀=(一1,小，0),

设平面A13C的法向量〃=(x,y,z),

n-BC=O,—x+小y=0,

则-x-y[3y,y=z.

.小y-5z=0,

AiC=0»

令y=L则〃=(小，1,1),

.i、mn

..cos\m,n)—,,,।

V3X1+1XQ+1XQ

■^l2+02+02--\/(V3)2+l2+l25

，二面角A-AiC-B的正切值为坐.

21.(本小题满分12分)如图，已知点政＞,0)为抛物线产=以内的一个定点，

过E作斜率分别为左卜依的两条直线分别交抛物线于点A,B,C,。，且M,N

分别是线段AB,CD的中点.

(1)若"2=1,攵於2=—1,求△EMN面积的最小值;

(2)若M+d=l,求证：直线MN过定点.

解(1)当〃?=1时，E为抛物线＞2=4x的焦点.

；kik2=-l,：.AB±CD.

由题意，知直线45的方程为y=Zi(x-l),

设A(xi,yi),8(x2,y2).

|y=Zi(x—1),

由彳,得Aiy2—4y—4kl=o,

ly=4x,

yiy2——4.

—八、….、//xi+x2yi+y2

又线段AB的中点为此r一,」广

•,・磁+i,£)-

同理点N(2而+1,-2M).

S△EMN=，IEM•I卯=+（看）.N（2好）2+（—2-）2=2q好+、+2

22g2+2=4,

当且仅当人*，即代=±1时等号成立，

/.丛EMN面积的最小值为4.

（2）证明：由题意，得直线的方程为y=Zi（x—加），设4（xi,yi）,B（X2,yi）,

{y=k\（x—m）,

由12—^得依）'2—4y—4kim=0,

.._4.

••♦+*=而,yiy2=—4m.

又线段A5的中点为从中，守），

同理点膈+〃?,百.

）必一yzk\kz

••&MN==k\ki,

XM-XNk\+ki

2

直线MN的方程为

y-rK=\k\kiL偏+〃1］，

即y=k\k2（x—m）+2,

・,・直线MN恒过定点⑺,2）.

?2

22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆，十方=l（a＞。〉。），42,0）是长轴的一

个端点，弦过椭圆的中心。，旦而反'=0,|发一丽=2|反'一瓦1|.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P,。为椭圆上异于A,8且不重合的两点，若NPCQ