2024八年级数学下册专题5.2菱形的判定与性质压轴题专项讲练含解析新版浙教版

Page1专题5.2菱形的判定与性质【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A动身，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时动身，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请干脆写出v的值．【思路点拨】（1）分四种状况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；（2）分两种情形分别求解即可解决问题．【解题过程】解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．此时，t＝22﹣3t，t=11当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16﹣t＝3t，t＝4，∵线段PQ为平行四边形的一边，故当t=112或4时，线段（2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x，在Rt△APB中，则有82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴PD＝16﹣6＝10．∴BQ＝PD＝10，∴QC＝BC﹣BQ＝22﹣10＝12，∴v=12当四边形AQCP是菱形时，可得AP＝AQ＝CQ＝y．在Rt△ABQ中，则有82+（22﹣y）2＝y2，解得y=137∴AP=137∴QC＝AP=137∴v=137综上所述，v的值为2或1时，满足条件．1．（孝义市期中）如图，△ABC中，AC=2，BC＝4，AB=32，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形A．32 B．8 C．62 【思路点拨】先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．【解题过程】解：∵EB∥CD，EC∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，在△ABC中，∵AC=2，BC＝4，AB=3∴（2）2+42＝2+16＝18＝（32）2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴DC＝AD＝DB=12AB∴四边形CEBD是菱形，四边形CEBD的周长＝4DB＝4×322故选：C．2．（温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（）A．4 B．33 C．523 【思路点拨】连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．【解题过程】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，依据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD=B∴BO=12BD＝2故选：D．3．（新华区月考）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD，利用对角线相互垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；丙：该题目错误，依据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错【思路点拨】由全等三角形的性质证出BF＝DF＝BE＝DE，则四边形FBED是菱形，故甲对；再由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则OF＝OE，得四边形FBED是平行四边形，然后由AC⊥BD，得平行四边形FBED是菱形，故乙对，即可得出结论．【解题过程】解：甲：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，在△BAF和△DAF中，AB=AD∠BAF=∠DAF∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），∴BE＝DE，BF＝BE，∴BF＝DF＝BE＝DE，∴四边形FBED是菱形；乙：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AF＝CE，∴OA+AF＝OC+CE，即OF＝OE，∴四边形FBED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形FBED是菱形；综上所述，甲对、乙对，丙错，故选：A．4．（垦利区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=12AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④【思路点拨】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=12③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OG=12CD，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，则S△ACD＝4S△②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，则S四边形ODGF＝S△ABF，②错误；即可得出结论．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，∠AGB=∠DGE∠BAG=∠EDG∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG=12∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；∵OA＝OC，AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥CD∥AB，OG=12∴S△ACD＝4S△AOG，∵S△AOG＝S△BOG，∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；连接FD，如图：∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三边的距离相等，∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；正确的是①③④，故选：C．5．（澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【思路点拨】由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH=12BC，再由BC=12AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，然后由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，证出四边形ADFE为平行四边形，最终由平行四边形的性质得出【解题过程】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EFA中，AC=AE∠ACB=∠EAF∴△ABC≌△EFA（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH=12∵BC=12AB，AB＝∴BD＝4FH，故④正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠FEA，在△DBF和△EFA中，∠BDF=∠FEA∠DFB=EAF∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AB＞AC，∴AD＞AE，∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；∵AG=12∴AG=14∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③正确，故选：C．6．（宜兴市校级月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为2．【思路点拨】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝1，证平行四边形ABCD是菱形，得AD＝CD，再求出CD＝AD＝2AF＝2，然后由菱形面积公式即可求解．【解题过程】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝1，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝α＝30°，∠AFD＝90°，∴CD＝AD＝2AF＝2，∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝2×1＝2，故答案为：2．7．（寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于7.8．【思路点拨】证四边形ABCD是菱形，得CD＝AD＝5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN＝4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．【解题过程】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD于点O，∴平行四边形ABCD是菱形，AD=A∴CD＝AD＝5，连接PD，如图所示：∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴12AD•PM+12DC•PN=1即12×5×PM+12∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．8．（葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是①③⑤【思路点拨】依据直角三角形的性质得到∠BAC＝60°，AC=12AB，依据等边三角形的性质得到∠ACD＝60°，求得CD∥AB，得到BF＝AF=12AB，推出四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，依据直角三角形的性质得到CF＝AF=12AB，推出四边形ADCF是菱形；故③正确；依据垂直的定义得到AC⊥DF，故①正确；依据三角形的三边关系得到DA+DF＞BE，故②错误；设AC＝x，则【解题过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC=12∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵F为AB的中点，∴BF＝AF=12∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AF＝BF，∴CF＝AF=12∴四边形ADCF是菱形，故③正确；∵四边形BCDF为平行四边形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正确；∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故②错误；设AC＝x，则AB＝2x，∴S△ACD=34x2，S△ACB=32x2，S△ABE∴S△ACD故答案为：①③⑤．9．（永州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有①②③④．（填序号）【思路点拨】依据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，由线段中点的定义得到AF=12AD，BG=12BC，于是得到四边形ABGF是平行四边形，依据平行线的性质得到CE⊥FG；依据AD＝2AB，AD＝2AF，得到AB＝AF，于是得到四边形ABGF是菱形；延长EF，交CD延长线于M，依据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，推出∠AEC＝∠【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF=12AD，BG=∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵点G是BC的中点，∴BC＝2EG，故③正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，∠A=∠FDMAF=DF∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，∴CF=12∴∠ECM＝90°，∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∵DF＝AF=12AD，CD＝AB=∴四边形CDFG是菱形，∴FG∥CD，∴∠DCF＝∠CFG，∵FG⊥CE，∴∠EFG＝∠CFG，∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，故答案为：①②③④．10．（中山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形；（2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得x=119【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，在△ABE和△CBF中，∠A=∠CAE=CF∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，解得：x=119∴BE=1∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×12011．（通川区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数．【思路点拨】（1）依据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）过P作PH⊥AD于H，交BC于G，由含30°角的直角三角形的性质得AP=12AB＝3，FP＝BP＝33，AH=12AP=32，PH=12PF=332，则DH＝AD﹣【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE．∴∠BAE＝∠AEB．∴AB＝BE．同理：AB＝AF．∴AF＝BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：过P作PH⊥AD于H，交BC于G，如图所示：则GH⊥BC，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝6，∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，BP＝FP，∠ABF＝∠AFB＝30°，∴AP=12AB＝3，FP＝BP=3AP∴AH=12AP=32，PH∴DH＝AD﹣AH＝9-3∴PD=PH2同理：PG＝PH=332，BG=∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝9，∴CG＝BC﹣BG=9∴PC=PG2∵PC2+CD2＝PD2，∴△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°．12．（官渡区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．【思路点拨】（1）先证四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB＝（2）由勾股定理得AC＝20，再由菱形的性质得AD＝AE=252，然后证S菱形AECD＝S△ABC，则AD•EF=12【解题过程】（1）证明：AB∥CD，AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴CE=12AB＝∴平行四边形AECD是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC=A∵点E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ACE，由（1）得：AE=12AB=25∴AD＝AE=25∴S菱形AECD＝2S△ACE，∴S菱形AECD＝S△ABC，∵EF⊥AD，∴AD•EF=12BC•即252EF=解得：EF＝12，即线段EF的长为12．13．（东台市月考）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE=12CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点（1）求证：四边形BCEF是菱形．（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．【思路点拨】（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC＝CE，即可得出结论；（2）依据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．【解题过程】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴EF∥BC，∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∵DE=12∴BC＝CE，∴平行四边形BCEF是菱形；（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，由（1）知BC＝CE，∵∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝CE＝BC＝2，∵EG⊥BC，∴BG=12在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG=B∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×3=214．（白碱滩区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．【思路点拨】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF＝DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可；（3）依据直角三角形的性质得出AD＝5，进而利用菱形的性质解答即可．【解题过程】证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD，则AF＝DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，∴AD＝DC，∴平行四边形ADCF是菱形；（3）∵△ABC是直角三角形，AB＝6，BC＝10，BD＝DC，∴AD＝DC＝5，AC=B∵四边形ADCF是菱形，∴AC⊥DF，∴DE=A∴S菱形ADCF即12解得：DG=2415．（拱墅区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝8，△ACE的面积为64，求菱形ABCD的面积．【思路点拨】（1）证CE＝CF＝EH＝FH，即可得出结论；（2）由三角形面积求出AE＝16，设AB＝CB＝x，则BE＝16﹣x，再在Rt△BCE中，由勾股定理得出方程，求出AB＝10，即可解决问题．【解题过程】（1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CAE＝∠CAF=12∠∴CE=12AC，CF=∵点H为对角线AC的中点，∴EH＝FH=12∴CE＝EH＝FH＝CF，∴四边形CEHF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∵CE⊥AB，△ACE的面积为64，∴12AE•CE即12AE∴AE＝16，设AB＝CB＝x，则BE＝16﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理得：82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，∴AB＝10，∴S菱形ABCD＝AB•CE＝10×8＝80．16．（株洲期末）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD、EF和（1）求证：DE＝CF；（2）求证：四边形CDEF为菱形．（3）若BC＝2，求AF．【思路点拨】（1）依据三角形的中位线即可得结论；（2）先证明四边形CDEF是平行四边形，再证明△DEC是等边三角形，进而可得结论；（3）依据菱形的性质和等边三角形的性质可得∠EAF＝∠EFA＝30°，所以得∠AFC＝90°，再依据含30度角的直角三角形即可得结果．【解题过程】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12∵CF=12∴DE＝CF；（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形，∵∠CAB＝∠B＝30°，∴∠ACF＝60°，∴∠CED＝60°，∵DE=12BC，CE=12AC，∴DE＝CE，∴△DEC是等边三角形，∴DE＝DC，∴平行四边形CDEF为菱形．（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，∴DE＝EF＝FC＝CD，∵△DEC是等边三角形，∴DE＝EC＝CD，∴EF＝FC＝EC，∵AE＝EC，∴AE＝EF＝EC，∵∠CEF＝60°，∴∠EAF＝∠EFA＝30°，∴∠AFC＝90°，∵CF=12∴AF=3CF=17．（宽城区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE=23，干脆写出四边形ABCD【思路点拨】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可证得结论；（2）首先证得．△AEF是等边三角形，得到∠EAF＝60°，由平行线的性质求出∠DAF＝30°，即∠BAE＝30°，得到AB＝2BE，依据勾股定理求出BE，得到AB，即可求得菱形ABCD的周长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADF，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB和△AFD中，∠B=∠ADFBE=DF∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图，∵∠CEF＝30°，AE⊥BC，∴∠AEF＝60°，由（1）知，△AEB≌△AFD，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝30°，∴∠BAE＝30°，∴BE=12∴AB＝2BE，∵AB2＝BE2+AE2，AE＝23，∴（2BE）2＝BE2+（23），∴BE＝2，∴AB＝4，∵由（1）知，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的周长＝4AB＝16．18．（南岗区期末）已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何帮助线的条件下，请干脆写出图2中四个度数为30°的角．【思路点拨】（1）证△DOF≌△BOE（ASA），得到DF∥BE，DF＝BE，则四边形DEBF为平行四边形，再依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；（2）证四边形ADFE是平行四边形，得AE＝DF，再证△ADE是等边三角形，得∠AED＝60°，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得∠EDB＝∠EBD=12∠AED＝30°，同理∠FDB＝∠【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，由（1）得：四边形DEBF是菱形，∴DE＝DF＝BE，∴AD＝DE，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∵DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD=12∠同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FD