高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)3.2基本不等式(原卷版+解析)

3.2基本不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.2基本不等式 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式 2二、典型题型 2题型1由基本不等式比较大小 4题型2由基本不等式证明不等关系 5题型3由基本不等式求积的最大值 7三、难点题型 7题型1由基本不等式求和的最小值 9题型2基本不等式“1”的妙用求最值 10题型3条件等式求最值 12题型4基本不等式恒成立问题 13题型5对勾函数求最值 14题型6基本不等式的应用 15四、活学活用培优训练 26一．基础知识点知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式例1给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则例3（1）证明：若，，则．（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：二．典型题型题型1由基本不等式比较大小解题技巧：1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.例1已知a，b是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2（多选题）a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④恒成立的序号为（

）A．① B．② C．③ D．④例3已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？题型2由基本不等式证明不等关系解题技巧：1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．例1已知，，，下列不等式正确的个数有（

）①，②，③，④.A．1 B．2 C．3 D．4例2（多选题）设，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．例3已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.题型3由基本不等式求积的最大值解题技巧：在运用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正数．二定：①和a＋b一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即积ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；②积ab一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得a＋b≥2eq\r(ab)，即和a＋b有最小值2eq\r(ab).三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．例1已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32例2（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为2例3已知正数a，b满足a+3b=2(1)求ab的最大值，写出取得最大值时a，b的值；(2)求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.三．难点题型题型1由基本不等式求和的最小值解题技巧：在运用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正数．二定：①和a＋b一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即积ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；②积ab一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得a＋b≥2eq\r(ab)，即和a＋b有最小值2eq\r(ab).三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．例1十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（多选题）下列推导过程，正确的是（

）A．因为，为正实数，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，，，所以，当且仅当时，等号成立例3求函数的最值.题型2基本不等式“1”的妙用求最值解题技巧：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．例1已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为例3（1）设，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．题型3条件等式求最值解题技巧：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．例1若实数满足：，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多选题）已知实数，，，则的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10例3已知正实数，满足，求的最小值.题型4基本不等式恒成立问题解题技巧：含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．例1当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知，，且，若恒成立，则实数的可能值是（

）A． B． C． D．例3（1）比较与的大小.（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.题型5对勾函数求最值解题技巧：1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋eq\f(b,x)(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．例1设，则下列说法正确的是（

）A．B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．，使得例2（多选题）下列函数中，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．例32022年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？题型6基本不等式的应用解题技巧：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．例1一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（

）A．等于8克 B．大于8克 C．小于8克 D．不能确定例2（多选题）下列命题中正确的是（

）A．若，则B．已知，若，则C．已知，若，则D．命题“，都有成立”的否定是“，使成立”例3某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．(1)写出n关于x的函数关系式；(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．四．活学活用培优训练一、单选题1．“，”是“”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．64．已知，则的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．25．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．16．已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．二、多选题7．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．8．已知，，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．9．已知，（m是常数），则下列结论正确的是（

）A．若的最小值为，则B．若的最大值为4，则C．若的最大值为m，则D．若，则的最小值为2三、填空题10．若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．12．已知实数，，且满足，则的最小值为__．四、解答题13．（1）已知，求的最小值；（2）已知是正实数，且，求的最小值．14．若，，求的最大值.15．已知，求的最小值．16．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．3.2基本不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.2基本不等式 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式 2二、典型题型 2题型1由基本不等式比较大小 4题型2由基本不等式证明不等关系 5题型3由基本不等式求积的最大值 7三、难点题型 7题型1由基本不等式求和的最小值 9题型2基本不等式“1”的妙用求最值 10题型3条件等式求最值 12题型4基本不等式恒成立问题 13题型5对勾函数求最值 14题型6基本不等式的应用 15四、活学活用培优训练 26一．基础知识点知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式例1给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据基本不等式的性质可直接判断.【详解】由基本不等式可知，要使成立，则，所以，同号，所以①③④均可以，故选：C.例2（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，若，，则，即，故C正确；对于D，当，时，满足，但，故D不正确．故选：ABC．例3（1）证明：若，，则．（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用不等式的性质证明即可，（2）根据题意利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性质可证得结论【详解】（1）证明：因为，，所以，，所以，即，所以，得证；（2）因为都是正数，所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；所以（当且仅当时取等号），即．二．典型题型题型1由基本不等式比较大小解题技巧：1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.例1已知a，b是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式及两个条件的推出关系可得正确的选项.【详解】若，则，故，取，则成立，但，故推不出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A.例2（多选题）a、b是正实数，以下不等式①；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④恒成立的序号为（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】对于①④：利用基本不等式进行判断，注意等号成立的条件；对于②：根据绝对值不等式，进行处理判断；对于③：利用作差法进行整理判断，注意等号成立的条件．【详解】①，即当且仅当时等号成立，①不正确；②∵a、b是正实数，则，∴，②正确；③，即，当且仅当时等号成立，③不正确；④，当且仅当时等号成立，即，④正确；故选：BD．例3已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？【答案】(a-c)≥4【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断．【详解】(a-c)≥4，理由如下：因为a-c=(a-b)+(b-c)，所以[(a-b)+(b-c)]=2++，又a>b>c，所以+≥2，故(a-c)≥4，当且仅当=时，取等号.题型2由基本不等式证明不等关系解题技巧：1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．例1已知，，，下列不等式正确的个数有（

）①，②，③，④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．【详解】因为，，，所以，得，当且仅当时取等号，②对；由，当且仅当时取等号，①对；由得，所以，当且仅当时取等号，③对；由，当且仅当时取等号，④对故选：D例2（多选题）设，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据特值可判断A，利用基本不等式可判断BCD.【详解】因为，，令，则，故A错误．因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；所以，当且仅当时取等号，故C正确；因为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：CD.例3已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1），然后利用均值不等式可得答案；（2）由，，可证明.（1）因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.（2）因为，同理，，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立题型3由基本不等式求积的最大值解题技巧：在运用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正数．二定：①和a＋b一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即积ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；②积ab一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得a＋b≥2eq\r(ab)，即和a＋b有最小值2eq\r(ab).三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．例1已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，化简可得2，∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B．例2（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为1C．的最小值为2 D．的最小值为2【答案】ABD【分析】根据基本不等式判断．【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.故选：ABD例3已知正数a，b满足a+3b=2(1)求ab的最大值，写出取得最大值时a，b的值；(2)求的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.【答案】(1)的最大值为，此时(2)的最小值为，此时【分析】（1）利用基本不等式求得的最大值，并求得此时的值.（2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时的值.(1)，当且仅当，即时等号成立.(2)，当且仅当，即时等号成立.三．难点题型题型1由基本不等式求和的最小值解题技巧：在运用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”．一正：a，b是正数．二定：①和a＋b一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即积ab有最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；②积ab一定时，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)变形得a＋b≥2eq\r(ab)，即和a＋b有最小值2eq\r(ab).三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．例1十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用基本不等式，求出的最小值即可.【详解】，当且仅当时等号成立，，，当且仅当时等号成立，；故选：B.例2（多选题）下列推导过程，正确的是（

）A．因为，为正实数，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，，，所以，当且仅当时，等号成立【答案】AD【分析】根据基本不等式的“一正：各项都是正数；二定：积或和是定值；三相等：等号能取到”逐个选项判断即可.【详解】对A，因为，为正实数，所以，均大于零，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对B，，当且仅当时等号成立，不符合，故B错误；对C，当时，，故C错误；对D，由基本不等式推导过程知D正确；故选：AD例3求函数的最值.【答案】最大值为，没有最小值【分析】由基本不等式求解即可【详解】

，(当取到等号)，，故函数的最大值为，没有最小值.题型2基本不等式“1”的妙用求最值解题技巧：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．例1已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】因为，所以，而为正实数，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为8.故选：C例2（多选题）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：ABD例3（1）设，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为；（2）因为，，所以，．又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为题型3条件等式求最值解题技巧：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．例1若实数满足：，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据基本不等式可求的最小值.【详解】因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.例2（多选题）已知实数，，，则的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】根据题中条件配凑，再运用“1”的代换与基本不等式求出原式范围即可得到答案.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以，可能为8,9,10.故选：BCD例3已知正实数，满足，求的最小值.【答案】0.【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正实数，满足，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值.题型4基本不等式恒成立问题解题技巧：含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．例1当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案．【详解】当时，不等式恒成立，对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．例2（多选题）已知，，且，若恒成立，则实数的可能值是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，，解得.故选：BCD.例3（1）比较与的大小.（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）利用作差法求解即可，（2）先利用基本不等式求出的最小值为8，然后解不等式即可【详解】（1）作差得：（i）当时，，故；（ii）当时，，故；（iii）当时，，故.2故，当且仅当，即时，等号成立依题意必有，即，得，所以k的取值范围为题型5对勾函数求最值解题技巧：1．基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋eq\f(b,x)(积定)型和y＝ax(b－ax)(和定)型．2．多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围．3．两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到．例1设，则下列说法正确的是（

）A．B．“”是“”的充分不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．，使得【答案】C【分析】举反例否定选项A；求得“”与“”的逻辑关系判断选项B；求得“”与“”的逻辑关系判断选项C；当时，求得的取值范围判断选项D.【详解】选项A：当时，显然有.判断错误；选项B：由可得或，即由不能得到;由可以得到.则“”是“”的必要不充分条件.判断错误；选项C：时，（当且仅当时等号成立），而只需即可，则“”是“”的充分不必要条件.判断正确；选项D：当时，有，故，使.判断错误.故选：C.例2（多选题）下列函数中，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A中x无法确定正负，不能求出最值；B是二次函数，配方求解最值；C看成关于的二次函数，配方求最值；D变换构造，用基本不等式求最小值﹒【详解】A中的正负无法确定，其函数值可以为负数；B中，最小值为2；C中，当时，其最小值为2；D中，当且仅当，即时取等号﹒故选：BCD﹒例32021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？【答案】(1)；(2)万件时最大利润为18万元.【分析】（1）由题意，结合已知函数写出解析式；（2）根据二次函数、对勾函数分别求出、上对应的利润最大值，比较它们的大小，即可确定最大年利润及对应的年产量.(1)由题设，，所以.(2)当时，故时最大利润为12万元；当时，当且仅当时等号成立，此时最大利润为18万元；综上，当万件时最大利润为18万元.题型6基本不等式的应用解题技巧：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．例1一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买8克黄金，售货员先将4克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将4克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际得到的黄金（

）A．等于8克 B．大于8克 C．小于8克 D．不能确定【答案】C【分析】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，则根据物理知识可得，，根据基本不等式可得克.【详解】设天平的左右臂长分别为，第一次加黄金克，第二次加黄金克，则根据物理知识可得，且，即，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以等号不成立，所以克.故选：C例2（多选题）下列命题中正确的是（

）A．若，则B．已知，若，则C．已知，若，则D．命题“，都有成立”的否定是“，使成立”【答案】BC【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式，以及全称命题与存在性命题的关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，若，则，所以A错误；对于B中，由基本不等式，得，当且仅当时等号成立，因为，可得，故B正确；对于C中，由，可得，当且仅当时等号成立，又由，故C正确；对于D中，命题“，者有成立”的否定是“，使成立”，故D错误.故选：BC.例3某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．(1)写出n关于x的函数关系式；(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．【答案】(1)（且）(2)21名【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.(1)由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为所以有，可得（且）．(2)设总损失为y，则，当且仅当时，即时，等号成立．所以应派21名工人去抢修，总损失最小．四．活学活用培优训练一、单选题1．“，”是“”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】由a=b时即可证明充分性不成立，由a、b异号可证明必要性不成立，从而得到结论．【详解】当，时，，即，当时，不成立，故充分性不成立；当时，，可以异号，故，不一定成立，故必要性不成立．综上，知“，”是“”的既不充分又不必要条件．故选：D．2．函数的最大值是（

）A．6 B．8 C．10 D．18【答案】A【分析】根据题意，直接利用基本不等式，即可得到答案【详解】解：因为，所以所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值是6，故选：A3．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【详解】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．4．已知，则的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】∵，∴，∴≥＝6，当且仅当即时，取最小值6，故选：A．5．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．6．已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．故选：B.二、多选题7．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于C：因为，所以，，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：BCD8．已知，，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】AB选项，利用基本不等式进行求解；C