新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用章末综合提升学生用书新人教A版必修第二册

第6章平面对量及其应用章末综合提升类型1平面对量的线性运算1．向量的线性运算有平面对量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面对量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和依据线性运算求参问题．2．通过向量的线性运算，培育数学运算和逻辑推理素养．【例1】(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．34AB－14ACC．34AB＋14AC(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2平面对量数量积的运算1．平面对量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积推断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．【例2】(1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满意b·(a＋b)＝3，则()A．|b|＝2B．(2a＋b)∥(a＋2b)C．向量2a－b与a－2b的夹角为πD．向量a在向量b上的投影向量的模为5(2)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3利用余弦、正弦定理解三角形1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了学问的交汇性．2．借助解三角形，培育逻辑推理、数学运算素养．【例3】(2024·湖南长郡中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为3，且满意43sinBcosC＝2a－c．(1)求角B；(2)若AC边上的中线长为52，求△ABC[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型4余弦、正弦定理在实际问题中的应用1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等许多方面．解决这类问题，关键是依据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．留意隐含条件和最终将结果还原为实际问题进行检验．2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．【例4】甲船在静水中的速度为40海里/时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60°方向的点P处，甲船接着向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向．(1)假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离；(2)若水流的速度为10海里/时，方向向正东方向，甲船保持40海里/时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________章末综合提升例1(1)A(2)12[(1)法一：如图所示，EB＝ED+DB＝12AD＋12CB＝12×12法二：EB＝AB-AE＝AB－12AD＝AB－12×12(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝12例2(1)AC(2)－103[(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝-12+1因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cosθ＝2a-b·a-2b2a-ba-2向量a在向量b上的投影向量的模为a·bb＝12＝(2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－103例3解：(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为3，则a＝23sinA，c＝23sinC，又43sinBcosC＝2a－c，则2sinBcosC＝2sinA－sinC，则2sinBcosC＝2sinBcosC＋2cosBsinC－sinC，又sinC＞0，即cosB＝12又0＜B＜π，则B＝π3(2)由题意可得b＝23sinB＝23×32又AC边上的中线长为52则|BA+即c2＋a2＋2×ac×12即a2＋c2＋ac＝25，①又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×12即a2＋c2－ac＝9，②由①②可得ac＝8，即△ABC的面积为12acsinB＝12×8×32例4解：(1)两船的位置图如下：由图可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝AB2+AP2-所以点B