新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列第2课时离散型随机变量的分布列及两点分布课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第七章7.2第2课时A级——基础过关练1．(多选)下列问题中的随机变量听从两点分布的有()A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，取出白球，,0，取出红球))D．某医生做一次手术，手术胜利的次数为随机变量X【答案】BCD【解析】A中随机变量X的取值有6个，不听从两点分布．2．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.88 B．0.79C．0.51 D．0.28【答案】B【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.3．已知随机变量X的分布列如下(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是()A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3【答案】C【解析】易得a＝0.1，则P(X≥3)＝0.3，故C错误．4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是() 【答案】C【解析】选项A，D不满意分布列的概率和为1，选项B不满意分布列的概率为非负数．5．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为()X－11P4a－13a2＋aA．eq\f(1,3) B．－2C．eq\f(1,3)或－2 D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】由分布列的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－1＋3a2＋a＝1，,0≤4a－1≤1，,0≤3a2＋a≤1，))解得a＝eq\f(1,3).6．(2024年长春期末)已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X＝2)＝()X123Pa2a3aA．eq\f(1,9) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)【答案】D【解析】依题意a＋2a＋3a＝1，解得a＝eq\f(1,6)，所以P(X＝2)＝2×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).故选D．7．随机变量X全部可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P(X＝－2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝5)＝eq\f(1,12)，则P(－1<X<4)的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】C【解析】依题意可得P(X＝0)＝1－P(X＝－2)－P(X＝3)－P(X＝5)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,12)＝eq\f(1,6)，所以P(－1<X<4)＝P(X＝0)＋P(X＝3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).故选C．8．随机变量Y的分布列如下：Y123456P0.2x0.350.10.10.2则x＝________，P(Y≤3)＝________．【答案】0.050.6【解析】由分布列的性质，得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.9．(2024年兰州模拟)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.【答案】0.5【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5.10．一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．(1)从中随意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出红球，))求X的分布列；(2)从中随意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．解：(1)由题意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7).所以X的分布列为X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由题意知P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7).所以X的分布列为X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)B级——实力提升练11．(2024年包头期末)两名学生参与考试，随机变量X代表通过的学生数，其分布列为X012Peq\f(1,3)eq\f(1,2)a那么这两人通过各自考试的概率的最小值分别为()A．eq\f(1,6)，eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)，eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)，eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)【答案】B【解析】这两名同学通过各自考试的事务是相互独立的，设这两人通过各自考试的事务分别是A，B，依题意得[1－P(A)]·[1－P(B)]＝eq\f(1,3)，P(A)P(B)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)或P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3).所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为eq\f(1,3).故选B．12．(多选)一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则()A．P(X＝1)＝eq\f(1,2) B．P(X>1)＝eq\f(3,7)C．P(X＝2)＝eq\f(1,3) D．P(X＝3)＝eq\f(1,7)【答案】BD【解析】依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)P(X＝2).由分布列的性质，得1＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝2)＝eq\f(7,2)P(X＝2)，解得P(X＝2)＝eq\f(2,7)，所以P(X＝1)＝eq\f(4,7)，P(X＝3)＝eq\f(1,7)，P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,7).故选BD．13．若随机变量X听从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________．【答案】0.8【解析】因为Y＝3X－2，所以X＝eq\f(1,3)(Y＋2).当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.14．若随机变量X的分布列如下表所示，X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．【答案】eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))【解析】因为a，b，c是等差数列，所以2b＝a＋c.又因为a＋b＋c＝1，所以b＝eq\f(1,3)，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又因为a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，由分布列的性质，得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3)，0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3)，所以－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).15．(2024年天津模拟)为了预防流感，某市有关部门供应了编号为1，2，3，4的四种疫苗供市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种，现有甲、乙、丙三人接种疫苗．(1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率；(2)设三人中选择的疫苗编号最大的数为X，求X的分布列．解：(1)由题意可知总的基本领件个数为43＝64，三人注射的疫苗编号互不相同的基本领件个数为Aeq\o\al(3,4)＝24,∴所求的概率为p＝eq\f(24,64)＝eq\f(3,8).(2)随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝eq\f(1,64)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3),64)＝eq\f(7,64)