新教材2024版高中数学第六章概率5正态分布学生用书北师大版选择性必修第一册

§5正态分布最新课标(1)通过误差模型，了解听从正态分布的随机变量，通过详细实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．(2)了解正态分布的均值、方差及其含义．[教材要点]要点一正态分布由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝12假如随机变量X听从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，σ2)．其中EX＝________，DX＝________．状元随笔(1)对参数μ，σ的理解①正态分布由参数μ、σ唯一确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．②参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．(2)听从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X听从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不行能事务，所以概率为0的事务不愿定是不行能事务，从而P(X<a)＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同．要点二正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线________对称．(3)曲线的最高点位于________处．(4)当x<μ时，曲线________；当x>μ时，曲线________；并且当曲线向左、右两边无限延长时，以x轴为渐近线．(5)当σ确定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变更而沿x轴________．(6)当μ确定时，曲线的形态由σ确定．σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越________；σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越________．要点三正态分布随机变量X在三个特殊区间取值的概率P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.在实际应用中，通常认为听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为________．状元随笔对小概率事务(一般状况下，指发生的概率小于0.27%的事务)要有一个正确的理解：(1)这里的“几乎不行能发生”是针对“一次试验”来说的，假如试验次数多了，该事务当然是很有可能发生的；(2)当我们运用“小概率事务几乎不行能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能．[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变更而变更的．()(2)正态曲线可以关于y轴对称．()(3)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．()(4)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形态由σ确定．()2．已知三条正态曲线fi(x)＝12πσie-xA．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ33．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A．1B．－1C．0D．不确定4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝________．题型一正态曲线及其性质例1(1)如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态分布密度曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3(2)[多选题]甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别听从正态分布N(A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量听从的正态分布的参数σ2＝1.99方法归纳用正态曲线的性质可求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ；(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．跟踪训练1(1)[多选题]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成果听从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102πeA．这次考试的数学平均成果为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．这次考试的数学成果的标准差为10(2)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________．题型二正态分布的概率计算例2(1)已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84(2)若随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975(3)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)听从正态分布N(174，9)．若该市共有高二男生3000人，试估计该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为________．方法归纳求解正态分布的概率问题的思路利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形推断，常用结论如下．1．对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对随意的实数a，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．2．对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个公式：(1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；(2)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．3．当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.跟踪训练2(1)已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0<x<3)＝0.5，P(0<X<1)＝0.2，则P(X<3)＝()A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8(3)某工厂制造的某种机器零件的尺寸X～N(100，0.01)，现从中随机抽取10000个零件，尺寸在(99.8，99.9]内的个数约为________．题型三正态分布的实际应用例3有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)听从正态分布，即X～N(20，4)．若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？方法归纳解答这类问题的关键是：第一，能够依据正态分布的参数，判别出所供应区间与特殊区间的关系；其次，熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上的概率值，同时又要依据已知的正态分布确定给定区间属于上述三个区间中的哪一个．跟踪训练3某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ(单位：cm)听从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？易错辨析混淆正态分布的均值与标准差例4[多选题]把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法正确的是()A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2解析：正态密度函数为f(x)＝1σ2πe－x-μ22σ2，正态曲线的对称轴为直线x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝1σ2π.所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形态没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标答案：ABD【易错警示】易错缘由纠错心得混淆了μ和σ的意义导致错选或漏选．切记正态密度函数中μ是均值，σ是标准差，正态曲线关于直线x＝μ对称，σ的大小确定曲线的“胖瘦”．[课堂特殊钟]1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x2A．0和8B．0和4C．0和2D．0和22．设X～N(10，0.64)，则DX等于()A．0.8B．0.64C．0.642D．6.43．已知随机变量ξ听从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于()A．15B．C．13D．4．已知随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________．5．一批灯泡的运用时间X(单位：小时)听从正态分布N(10000，4002)，求这批灯泡中“运用时间超过10800小时”的概率．§5正态分布新知初探·课前预习要点一μσ2要点二(2)x＝μ(3)x＝μ(4)上升下降(5)平移(6)越大分散越小集中要点三3σ原则[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小确定曲线的形态，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2<σ3.故选D.答案：D3．解析：由正态曲线性质知EX＝0.故选C.答案：C4．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称的特点可知c＝μ.答案：μ题型探究·课堂解透例1解析：(1)利用正态曲线的性质求解，当μ＝0，σ＝1时，正态密度曲线f(x)＝12πe-x22，在x＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态密度曲线的性质，当μ确定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<(2)由图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即12πσ2答案：(1)D(2)ABC跟踪训练1解析：(1)由正态分布密度函数知这次考试的数学平均成果为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，C正确．(2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12π·σ＝1因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2.答案：(1)ACD(2)202例2解析：(1)由X～N(2，σ2)可知，其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.(2)由随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.(3)因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168，180]范围内的概率为0.9544.因为μ＝174，所以身高在(168，174]和(174，180]范围内的概率相等，均为0.4772.故该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为3000×0.4772≈1432.答案：(1)A(2)C(3)1432跟踪训练2解析：(1)因为随机变量X听从正态分布N(2，σ2)，所以μ＝2，对称轴是x＝2.因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，所以P(0<ξ<4)＝0.6，所以P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.(2)由题意可得P(1<x<3)＝0.5－0.2＝0.3.∵随机变量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)＝0.3＋0.5＝0.8.故选D.(3)∵X～N(100，0.01)，∴μ＝100，σ＝0.1，则P(99.8<X≤99.9)＝P(μ－2σ<X≤μ－σ)＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝1答案：(1)C(2)D(3)1359例3解析：(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝