备战2024年高考数学一轮复习4.3利用导数求极值最值(精练)(原卷版+解析)

4.3利用导数求极值最值（精练）（提升版）题组一题组一无参函数的极值（点）1.（2022·山东·巨野县实验中学）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（

）A． B．C． D．3．（2022·福建省连城县第一中学）函数的极值点的个数是（

）A． B． C． D．无数个4．（2022·全国·哈师大附中）已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．5．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数C．为的极小值点 D．2为的极大值点6．（2022·湖北·南漳县第一中学）函数的极大值为（

）A．-2 B．2 C． D．不存在7（2022·天津河北）设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．当时， B．当或时，C．当或时， D．函数f（x）在处取得极小值题组二题组二已知极值（点）求参数1．（2022·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·重庆·万州纯阳中学校）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·四川省成都市新都一中）已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2022·湖北）函数在内存在极值点，则（

）A． B． C．或 D．或5．（2022·河南）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022·安徽·蒙城第一中学）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7（2022·陕西·长安一中）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2022·四川·绵阳中学实验学校）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（

）A．1 B．4 C． D．11．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2022·安徽·合肥市第八中学）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．413．（2022·河北承德）已知是函数的极值点，则的极大值为_____．14．（2022·北京·101中学）设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．15．（2022·浙江宁波）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．题组三题组三无参函数的最值1．（2022·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为32．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．4．（2022·全国·高三专题练习）若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．5．（2022·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．6．（2022·天津实验中学）函数在区间上的最小值为__________．7．（2022·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.8．（2022·河南开封）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．题组四题组四已知最值求参数1．（2022·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（

）．A．0 B．1 C．2 D．e4．（2022·辽宁·辽师大附中）设函数(n为正整数)，则在[0，1]上的最大值为（

）A．0 B． C． D．5．（2022·河南安阳）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·江西）设两个实数a，b满足：，则正整数n的最大值为（

）．（参考数据：）A．7 B．8 C．9 D．10题组五题组五最值极值的综合运用1．（2022·浙江·宁波市李惠利中学）（多选）对于函数，下列选项正确的是（

）A．函数极小值为，极大值为B．函数单调递减区间为，单调递增区为C．函数最小值为为，最大值D．函数存在两个零点1和2．（2022·福建泉州）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（

）A．-1 B．0 C．3 D．43．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校）（多选）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则4．（2022·河南·三模）已知函数．(1)讨论极值点的个数；(2)证明：．5．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知函数.(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；(2)讨论极值点的个数.6．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.8．（2022·四川省峨眉第二中学校）已知，函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，若对恒成立,求实数b的最大值.9（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数，（为自然对数的底数，）．(1)求函数的单调区间；(2)若，，当时，，求的最小值．10．（2022·天津市新华中学）已知函数，其中且(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值.4.3利用导数求极值最值（精练）（提升版）题组一题组一无参函数的极值（点）1.（2022·山东·巨野县实验中学）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】由导函数在区间内的图像可知，函数在内的图像与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值有个，故选：A.2．（2022·天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对选项A，，故没有极值点；对选项B，，则极值点为，故正确；对选项C，，故没有极值点；对选项D，，故没有极值点；故选：B3．（2022·福建省连城县第一中学）函数的极值点的个数是（

）A． B． C． D．无数个【答案】A【解析】由题，，故无极值点故选：A4．（2022·全国·哈师大附中）已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，∴，∴，∴故选：D5．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数C．为的极小值点 D．2为的极大值点【答案】D【解析】由导函数的图像可知，在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；在区间上，，则是增函数，则选项不正确；由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；故选：D.6．（2022·湖北·南漳县第一中学）函数的极大值为（

）A．-2 B．2 C． D．不存在【答案】A【解析】＝1－＝．令得或（舍）．由于，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.故函数在处取得极大值．故选：A7（2022·天津河北）设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（

）A．当时， B．当或时，C．当或时， D．函数f（x）在处取得极小值【答案】D【解析】A.由图象知：当时，函数f（x）递增，所以，故正确；B.由图象知：当或时，函数f（x）递增，所以，故正确；C.由图象知：当或时，函数f（x）分别取得极小值和极大值，故正确；D.由图象知：函数f（x）在处取得极大值，故错误；故选：D题组二题组二已知极值（点）求参数1．（2022·山东潍坊）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对函数求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，在同一坐标系内作出函数的图像和直线，如图，观察图象知，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是.故选：B2．（2022·重庆·万州纯阳中学校）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，则，即，解得.故选：B.3．（2022·四川省成都市新都一中）已知没有极值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】；在上没有极值，，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.4．（2022·湖北）函数在内存在极值点，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则，易得在内单调递减，值域为，故.故选：A.5．（2022·河南）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意有两个不等实根，，设，，当时，，递增，当时，，递减，时，为极大值也是最大值，时，，所以，时，，与轴只有一个交点，所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．故选：B.6．（2022·安徽·蒙城第一中学）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由函数有两个极值点，则等价于有两个解，即与有两个交点，所以.直线过点由在点处的切线为，显然直线过点当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，，令，则，所以单调递增，，即，故选：D.7（2022·陕西·长安一中）已知在中，三个内角，，的对边分别为，，，若函数无极值点，则角B的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，若无极值点，即无变号零点，又二次函数开口向上，所以恒成立，等价为判别式，即，得，所以，因为，，所以的最大值为；故选：C．8．（2022·四川·绵阳中学实验学校）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【解析】，又时有极值10，解得或当时，此时在处无极值，不符合题意经检验，时满足题意故选：B9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数，则下列不是函数极大值点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得，令，得或，，则当时，，当时，，所以函数在，，上单调递增，在，，上单调递减，故不是函数极大值点的是.故选：D.10．（2022·全国·高三专题练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（

）A．1 B．4 C． D．【答案】B【解析】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，从而有，求导得：，当或时，，当时，，于是，在处取得极小值，在处取得极大值，所以的极大值为4.故选：B11．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，即，解得，且，；，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴有极大值，∴，∴，故选：A.12．（2022·安徽·合肥市第八中学）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（

）A．-1 B．2 C．-3 D．4【答案】B【解析】，所以因为函数在处取极小值，所以，所以，，，令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.故选：B13．（2022·河北承德）已知是函数的极值点，则的极大值为_____．【答案】0【解析】因为，所以，得，所以，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增，所以是的极大值点，则．故答案为：014．（2022·北京·101中学）设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】,因为是函数的两个极值点，且，所以是方一元二次方程的两个实根，且，所以，即，解得.故答案为：15．（2022·浙江宁波）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】的定义域为是函数的唯一极值点是导函数的唯一根（Ⅰ）在无变号零点令，则，即在上单调递增此时（Ⅱ）当在有解时，此时，解得此时在和上均单调递增，不符合题意故答案为：题组三题组三无参函数的最值1．（2022·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3【答案】C【解析】因为定义域为，所以，所以当或时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即，，又，，故函数在上最大值为；故选：C2．（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．【答案】3【解析】令，则当时，单调增，当时，令，时，递减时，递增∴综上：故答案为：3．3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.4．（2022·全国·高三专题练习）若实数a、b、c、d满足，则的最小值为______．【答案】【解析】∵，∴点是曲线上的点，是直线上的点，∴．∵，由得，；由得．∴当时，取得极小值为1．如图，要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．∵，直线的斜率，∴，∴或（由于，故舍去）．∴．设点到直线的距离为d，则．∵，∴的最小值为．故答案为：.5．（2022·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】对求导，可得：故在区间上单调递减，在区间单调递增可得：，，可得：故在区间上的最大值为故答案为：6．（2022·天津实验中学）函数在区间上的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得极小值，又，所以在区间上的最小值为，故答案为：7．（2022·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.【答案】【解析】由得：，令，则，；，令，则，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即的最小值为.故答案为：.8．（2022·河南开封）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．【答案】1【解析】，，所以，又因为是奇函数，所以，所以当，，，令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以.所以当时，的最小值为1.故答案为：1.题组四题组四已知最值求参数1．（2022·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，则等价于，即，令，，，因为，所以，，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以的最大值为；故选：B2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，即，∴，，∴，令，则，令，则，∴在上单调递增，且，∴存在唯一使得，当时，，，当时，，，∴，即取得最小值时，，由零点的存在定理验证的根的范围，当时，，当时，，故，故选：．3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（

）．A．0 B．1 C．2 D．e【答案】C【解析】令，得到，函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，即函数与至多有2个不同的交点令，则，当时，，单调递增，当或时，，单调递减，所以与为函数的极值点，且，且在R上恒成立，画出的图象如下：有图可知：或时，符合题意，其中，解得：设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，由可得：，所以，综上：实数a的最大值为2故选：C4．（2022·辽宁·辽师大附中）设函数(n为正整数)，则在[0，1]上的最大值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由，令，可得或或，在上，即递增；在上，即递减，所以在[0，1]上的最大值为.故选：D5．（2022·河南安阳）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得当时恒成立则，即∴当时，在图像的下方，则，则故选：B．6．（2022·江西）设两个实数a，b满足：，则正整数n的最大值为（

）．（参考数据：）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由题设且，令且，且，所以，故时，时，则上递增，上递减，即；，故时，时，则上递减，上递增，即；综上，只需，整理得，取对数有，所以时，不等式恒成立；当时，，此时递增且，，综上，，故n的最大值为9.题组五题组五最值极值的综合运用1．（2022·浙江·宁波市李惠利中学）（多选）对于函数，下列选项正确的是（

）A．函数极小值为，极大值为B．函数单调递减区间为，单调递增区为C．函数最小值为为，最大值D．函数存在两个零点1和【答案】AD【解析】的定义域为，所以，所以为奇函数，当时，，，令，解得，当时，，则为单调递增函数，当时，，则为单调递减函数，因为为奇函数，图象关于原点对称，所以在上单调递减，在是单调递增，所以的极小值为，极大值为，故A正确；的单调递减区间为，单调递增区为，故B错误；在无最值，故C错误；令，解得，结合的单调性可得，存在两个零点1和，故D正确.故选：AD2．（2022·福建泉州）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（

）A．-1 B．0 C．3 D．4【答案】AB【解析】，.当时，令，，，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；当时，令，，.当时，，，单调递增，在，，单调递减，则在处取得极大值；当时，若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极小值，不合题意，舍去；若，即时，恒成立，单调递增，不合题意，舍去；若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；综上所述：时，函数在处取得极大值.故选：AB.3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校）（多选）已知函数，下列命题正确的是（

）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则【答案】ABC【解析】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，对于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，故选：ABC4．（2022·河南·三模）已知函数．(1)讨论极值点的个数；(2)证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析﹒【解析】(1)由题意可知，，对于二次函数，．当时，，恒成立，f(x)在单调递减，有0个极值点；当时，二次函数有2个大于零的零点，由数形结合可知，有2个极值点；当时，二次函数只有1个大于零的零点，由数形结合可知，有1个极值点．(2)要证，即证．设，则，在上为增函数，∵，，∴在上，存在唯一的m，使得，即，．∴在上＜0，h(x)单调递减；在上，＞0，h(x)单调递增；∴，当且仅当m＝1时取等号，∵，∴等号不成立，∴，∴，从而原不等式得证．5．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知函数.(1)当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；(2)讨论极值点的个数.【答案】(1)；(2)当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点.【解析】(1)因为，所以，因为函数的定义域为：，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，因此要想在上存在最大值，只需，所以m的取值范围为；(2)，方程的判别式为.（1）当时，即，此时方程没有实数根，所以，函数单调递减，故函数没有极值点；（2）当时，即，此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，设两个实数根为，设，则，函数的定义域为：，显然当时，此时方程有两个不相等的正实数根，此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，所以当时，函数有两个极值点，当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，因此当时，函数有一个极值点，综上所述：当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点.6．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【解析】(1)由题知，当时，，∴，令，．∴时，，单调递减；时，，单调递增．∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值．(2)由题知，∴，；令，∴，∵，∴恒成立，∴单调递增，即单调递增．①当时，∴，∴单调递增∴恒成立，即在上无零点，∴．②当时，令，，，又单调递增，∴时，，时，，∴在时单调递减，时，单调递增，∴，又∵时，∴，，即在上有零点，不合题意；综上所述．7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点的个数，并说明理由.【答案】(1)(2)综上：当或时，无极值点；当或或时，有两个极值点.【解析】(1)当时，，定义域为