线性代数与概率统计 课件 第二章 一维随机变量及其概率分布

第二章一维随机变量及其概率分布引

言本章随机变量的概念引进随机现象中变量的随机性的刻画方法,从而更加深入地研究随机现象讨论随机变量第一节S={红色、白色}

非数量将S数量化在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色。

引例

可采用下列方法红色白色S随机变量的定义X(ω)R

设Ω是试验E的样本空间，若对ω∈Ω，规定它对应于一个实数,记为X(ω),称定义在Ω上的实值单值函数X=X(ω)为一维随机变量，通常用大写字母X,Y,Z来表示.为什么引入随机变量?为什么引入随机变量？概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，需将任意的随机事件数量化。当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念。随机变量与普通变量的区别？定义域不同：普通函数的定义域为数集，随机变量的定义域为样本空间1随机变量的取值依赖于试验结果，取某个值有一定的概率2随机变量举例抛掷一颗骰子，观察出现的点数X=X(ω)=ω表示出现的点数事件A={出现的点数为偶数}={2，4，6}.用随机变量X可将A表示为“X∈{2，4，6}”从一批灯泡中任取一只，测试其寿命.Ω={t/t≥0}X=X(t)=t

表示测试灯泡的寿命事件A={寿命不低于3000小时}

=

{

t/t≥3000}.用随机变量X可将A表示为X∈{t/t≥3000}按照随机变量可能取值情况，可以这样分类：连续型混合型随机变量类型离散型非离散型本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布离散型随机变量第二节引

言随机变量类型·离散型·非离散型·连续型·混合型1.离散型随机变量的定义随机变量X

的全部可能取值只有有限个或可列无限个.2.分布律设

X的所有可能取值为

x1,x2,…,

xk,

… .记

pk=

P

{

X

=

xk

}，k

=1,2,

…

,称此数列{

pk

}为X的分布律列表表示01非负性02规范性3.分布律的性质(一)(0―1)分布4.常用特殊离散分布其分布是(0―1)分布的分布律也可写成4.常用特殊离散分布例1“抛硬币”试验,观察正、反面情况.

随机变量X服从(0―1)分布.

其分布律为(二)伯努利试验、二项分布4.常用特殊离散分布伯努利(Bernoulli)试验.则称这一n重伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它有广泛的应用,是研究最多的模型之一.例2抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.二项概率公式·若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X所有可能取的值为且两两互不相容.得X的分布律为称这样的分布为二项分布.记为·二项分布两点分布例3在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.(三)泊松分布而取各个值的概率为例4商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为λ=10的泊松分布。为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？解设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，按照题意要求为由附录的泊松分布表知于是，这家商店只要在月底进货该种商品15件（假定上个月无存货），就可以以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销。小结离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布2.二项分布与（0-1）分布、泊松分布之间的关系。二项分布是（0-1）分布的推广，对于n次独立重复伯努利试验，每次试验成功的概率为p，设：若第i次试验成功，若第i次试验失败。他们都服从（0-1）分布并且相互独立，那么:服从二项分布，参数为（n，p）。以n，p（np=λ）为参数的二项分布，当n→时趋于以λ为参数的泊松分布，既本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布随机变量的分布函数第三节分布函数对于随机变量X,我们不仅要知道X

取哪些值,

X

取这些值的概率;而且更重要的是想知道X

在任意有限区间内取值的概率.引例

例如

分布函数的定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数。说明01分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况02分布函数F(x)是x的一个普通实函数分布函数的性质

01且0203重要公式12例题讲解例1解设H—正面，T—反面，则因此分布律为求分布函数例2设随机变量X的分布律为求X的分布函数，并求解X仅在-1,2,3三点处的概率不为0，而F(x)的值是X≤x的累积概率值，由概率的有限可加性本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布连续型随机变量第四节如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。连续型随机变量的分布函数是连续函数.连续型随机变量的定义概率密度的性质关于连续型随机变量X概率密度f

(x

)并不是

X在点x处的概率值，f

(

x

)

越大，说明X

落在点x的小邻域内的概率越大1F(

x

)

是连续函数。

由此可知：X

落在任一区间上的概率与区间端点无关。即对任意实数a有：P{X=a}=0.2其他

计算举例例1设连续型随机变量

X

的概率密度为1确定常数k2求X的分布函数3求其他.得于是X的概率密度为解解即

解其他,常用特殊连续分布均匀分布一均匀分布函数连续型随机变量X具有概率密度若称X在(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)则其他.例设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900Ω~1100Ω。求R的概率密度及R落在950Ω~1050Ω的概率。按题意,R的概率密度为

解故有指数分布二连续型随机变量X具有概率密度为若其中

随机变量X的分布函数为易知

应用背景某些元件或设备的寿命服从指数分布。无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命例如于是

例

{

X>0X≤0由题意，X的概率密度为解

正态分布三正态分布的概率密度函数若连续型随机变量X的概率密度为其中

f(x)的图形如图所示分布函数为

即有易知正态分布的应用背景正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸、直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布原函数不是初等函数正态分布的计算方法转化为标准正态分布查表计算引理则例

正态分布的重要性

正态分布有极其广泛的实际背景,是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量。

二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布。所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布。

小结1.连续型随机变量分布函数概率密度均匀分布正态分布指数分布2.常见连续型随机变量的分布本小节结束！第二章一维随机变量及其概率分布随机变量的函数的分布第五节引言某种商品的需求量是随机变量X，其销售收入就是需求量的函数，对于这类问题，用数学的语言来描述就是：例如

已知X

的概率分布，如何求其函数Y=g(x)

的概率分布？设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X的取值x的值而取y=f(x)的值，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记作Y=f(X)若已知的随机变量X的分布，如何来求随机变量Y=f(X)的分布？问题离散型随机变量的函数分布例1

解Y所有可能取的值为0,1,4如果X是离散型随机变量，其函数Y=g(X）也是离散型随机变量若X分布律为则Y=g(X）的分布律为

连续型随机变量的函数分布