湖南省永州市道县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2024年上期期中学业质量监测九年级数学（试题卷）温馨提示：1.本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．3.本试卷满分120分，考试时间120分钟，共26个小题．如有缺页，考生须声明．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）1.的倒数是（）A. B.2024 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．【详解】解：∴的倒数为，故选：C．2.4月21日7时45分，长征二号丁运载火箭成功发射遥感四十二号02星，中国航天实力杠杠的．下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项是错误的；B、不是中心对称图形，故该选项是错误的；C、不是中心对称图形，故该选项是错误的；D、是中心对称图形，故该选项是正确的；故选：D3.我国自主研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知为米，数据用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．【详解】解：数据用科学记数法表示为．故选：B．4.下列运算中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断即可．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B．5.值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（）A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线C.垂线段最短 D.以上说法都不对【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答．【详解】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线．故选：B．6.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程．【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得故选：A【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键．7.如图，是半圆的直径，，是圆上的两点，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆内接四边形的性质．先利用直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆内接四边形对角互补，进行计算即可解答．掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵是半圆的直径，∴，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴的度数为．故选：C．8.若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状．【详解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，，∴，∴这个三角形是直角三角形，故选：B．9.如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布：年龄（岁）13141516人数（名）1452则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（）A.极差是4 B.中位数是C.众数是15 D.平均数是15【答案】C【解析】【分析】本题考查了众数与中位数的意义，平均数与极差的含义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据极差，中位数和众数，平均数的定义分别求解，再判断即可．【详解】解：观察图表可知：这12名队员年龄的极差为．故A不符合题意；共12人，中位数是第6，第7个数的平均数，因而中位数是15．故B不符合题意；年龄是15岁的人数最多的是5人，众数是15．故C符合题意；平均数为．故D不符合题意；故选：C．10.伟大阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过150N，则动力臂（单位：m）需满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握杠杆的平衡条件．根据杠杆的平衡条件列出方程，即可解得答案．【详解】解：根据杠杆的平衡条件可得：，∴．∵与成反比例，∴若小明想使动力不超过150N，则动力臂需满足．故选：D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】本题考查分解因式，直接利用提公因式法求解即可．掌握因式分解的方法是解题的关键．【详解】解：．故答案为：．12.函数中，自变量的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-3≥0，

解得：x≥3．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13.一个不透明盒子里有5个标号为1，2，3，4，5的大小相同的小球，从中取出一个小球，小球标号为偶数的概率是_______．【答案】##0.4【解析】【分析】随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球标号为偶数的有2种结果，根据概率公式求解即可．本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．【详解】解：随机摸出一个小球共有5种等可能结果，其中摸出的小球标号为偶数的有2种结果，所以摸出的小球标号为偶数的概率是，故答案为：．14.平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了关于x轴对称点特征，解题时，要注意：关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于x轴对称点的特征分析得出即可．【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．故答案为：．15.分式方程的解为______．【答案】2【解析】【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解．【详解】解：，，，经检验是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．16.一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17.已知一次函数与，则的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及解一元一次不等式，根据建立不等式求解，即可解题．【详解】解：，，解得，故答案为：．18.数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在处测得点的仰角，然后在距离处米的处测得点的仰角，已知测倾器的高度为米，、、在水平直线上，则车辆限高杆的高度为______米．（，结果保留两位小数）【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了矩形的判定和性质．【详解】解：延长，交于点，由题意得：，，，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∴四边形，是矩形，∴，设米，∴，在R中，，∴，中，，解得：，∴（米），∴车辆限高杆的高度为米．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19.计算：．【答案】5【解析】【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简乘方、绝对值、余弦值、以及负整数指数幂，再运算加减，即可作答．【详解】解：原式．20.先化简，再求值：，其中，．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了整式混合运算及代数式求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及相关运算法则是解题关键．先利用完全平方公式和平方差公式进行运算，再按照整式加减法则和整式除法法则完成化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式．当，时，原式．21.如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积为，求的面积．【答案】16【解析】【分析】本题考查了中位线的性质以及相似三角形的判定与性质，先得出是的中位线，再证明，再列比例式进行计算，即可作答．【详解】解：点分别是的中点∴是的中位线，，，，所以的面积为16．22.我县组织开展研学活动，共有月岩，陈树湘烈士纪念馆，濂溪故里，葫芦岩红军渡4个地点可供选择，让同学们投票决定最终研学地点，现将同学们的投票结果制成如下统计图（其中：月岩，：陈树湘烈士纪念馆，：濂溪故里，：葫芦岩红军渡），根据相关信息，回答下列问题：（1）本次抽样的样本容量为_______，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中的值为_______，圆心角的度数为_______；（3）若我县有名同学参加研学活动，试估计去月岩的有多少？【答案】（1）；作图见解析（2）；（3）人【解析】【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，（1）用去“”地的人数除以求得本次抽样的样本容量，进而得出去“”地研学的人数；（2）用减去分别去“”、“”、“”三地的人数所占百分比之和即可得出去“”地人数所占的百分比，用乘去“”地人数所占百分比可以求得去“”地人数所占圆心角的度数；（3）用乘样本中去“”地人数所占百分比即可；解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．【小问1详解】解：本次抽样的样本容量：，故答案：，∴去“”地研学的人数：（人），补全条形统计图如下：【小问2详解】∵，∴，∵，∴，故答案为：；；【小问3详解】（人），答：估计去月岩的有人．23.如图所示，中，是边上的中线，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】可延长AM到D，使MD=AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB=CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．【详解】证明：如下图，延长到，使，连，∵是边上的中线，∴，在△ABM和△DCM中，∴，∴，在中，则，即，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形．24.某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价（单位元）如下表：配件甲乙成本售价（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个（2）甲型号配件生产万个，乙型号配件生产万个，最大利润为108万【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个，依题意，列式，再解方程，即可作答．（2）设甲型号配件生产万个，利润为，列出不等式得，再根据题意得出，运用一次函数的性质进行作答即可．【小问1详解】解：设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个根据题意得，，解方程得，，所以，甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个【小问2详解】解：设甲型号配件生产万个，利润为，则有，解得：，所以，，而一次函数随的增大而增大，故当时，有最大值，所以公司4月份最大利润为108万元．25.如图，是的直径，是的切线，以，为邻边作平行四边形，边交于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长度；（3）在（2）的条件下，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，继而得到，，证明，得，结合切线的性质得，即可得证；（2）如图，过点作于点，延长交的延长线于点，连接交于点，根据，，得，，，，证明，得，即可得解；（3）由（2）知：，证明，得，继而得到，最后由即可．【小问1详解】证明：如图，连接，∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵是的切线，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：如图，过点作于点，延长交的延长线于点，连接交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵为直径，∴，即，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，在中，，又∵为的中点，，∴，，∴，∴∴，∴；【小问3详解】由（2）知：，∵，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，由（1）（2）知，，∴．【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，解直角三角形等知识点．掌握切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质及锐角三角