河南省创新发展联盟2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题

2023—2024学年高一下学期期末检测数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册占70%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，则（）A． B． C．－2 D． 2．已知集合，，则中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某公司共有940名员工，其中女员工有400人．为了解他们的视力状况，用分层随机抽样（按男员工，女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（）A．21 B．24 C．27 D．304．若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍5．已知是第三象限角，，则（）A． B． C． D．6．已知甲、乙、丙三人的年龄均为正整数，且甲的年龄大于乙的年龄，则“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于2”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件7．从正四面体的6条棱中任选2条，这2条棱所在直线互相垂直的概率为（）A． B． C． D．8．苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市风凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底A，B（A为东塔塔底，B为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点C，并测得米．在点C测得东塔顶的仰角为45°，在点C测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（）A．30米 B．33米 C．36米 D．44米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正中，D为BC的中点，则（）A． B． C． D．在上的投影向量为 10．在正四棱柱中，，，，则（）A．正四棱柱的侧面积为24B．与平面所成角的正切值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．三棱锥内切球的半径为 11．已知函数，则（）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．函数的零点个数为5D．函数的零点个数为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．若一组数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，则正整数的最小值为______．13．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______．（用区间表示）．14．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内．现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数．16．（15分）已知函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若的值域为，求的取值范围；（3）当时，求的单调递减区间．17．（15分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮．已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立．（1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；（2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率．18．（17分）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且．（1）若，求周长的最大值．（2）设，．（ⅰ）求外接圆的半径； （ⅱ）求的面积．19．（17分）如图，在正四棱雉中，．（1）证明：平面平面．（2）若以为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值．（3）已知当时，取得最小值．请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值．2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷参考答案1．A．2．B依题意得，则，所以中元素的个数为3．3．C设男员工的样本量为，由分层随机抽样的定义可得，解得．4．B设新圆台与原圆台的体积分别为，，则，所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍．5．A因为是第三象限角，，所以，，所以．6．C若乙的年龄大于丙的年龄，则乙与丙的年龄之差不小于1．因为甲的年龄大于乙的年龄，所以甲与乙的年龄之差不小于1，所以甲与丙的年龄之差不小于2，反之不成立．故“乙的年龄大于丙的年龄”是“甲与丙的年龄之差不小于”的充分不必要条件．7．D从正四面体的6条棱中任选2条的所有情况为，，，，，，，，，，，,,，其中异面的3对棱互相垂直，所以这2条棱所在直线互相垂直的概率为．8．B设苏州双塔的高度为米，依题意可得米，米．因为0.75，所以由余弦定理得，解得．9．，A错误．，则，正确．，C正确．在上的投影向量为，正确．10．正四棱柱的侧面积为，正确．设，易证平面，则与平面所成的角为，通过计算可得，，则，B正确．易证，则异面直线与所成的角为或其补角，通过计算可得，则，C错误．三棱锥的表面积，三棱锥的体积，所以三棱锥内切球的半径为，D正确．11．ACD，，，A正确，B错误．由，得，因为，所以由，得，结合图象可知，函数的零点个数为5，C正确．由，得，因为，所以由，得，，结合图象可知，函数的零点个数为9，D正确．12．6剔除，将剩余7个数按照从小到大的顺序排列为3，3，4，6，7，8，9，因为，且数据3，4，6，m，8，3，7，9的第40百分位数为6，所以．13．因为与的夹角为锐角，所以解得．14．连接交于，连接，因为，共面，且平面，所以，易知为的中点，所以为的中点．设四面体外接球的球心为，则平面，设，则，所以，解得，故四面体外接球的表面积为．15．解：（1）由频率分布直方图可得，解得．（2）由题意，估计平均分分（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为．16．解：（1）因为为偶函数，所以，所以，则恒成立，所以，所以，则．（2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，所以，解得．（3）当时，，在上单调递减，在上单调递增，由，得，在上单调递增，根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为．17．解：（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，故所求概率为．（2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率．若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中，所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率．故所求概率为．18．解：（1）由余弦定理得，即，所以，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为6．（2）（ⅰ）由正弦定理得，，代入，得，即．因为，所以．（ⅱ）的面积．因为，所以．因为是锐角，所以，则，所以．因为，所以．又因为A，B是锐角，所以，所以，所以，则，所以故．19．（1）证明：设与交于点，连接，则底面．因为平面，所以．在正四棱雉中，底面为正方形，所以，因为，所以