2023-2024学年安徽省皖北县中联盟联考高一下学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省皖北县中联盟联考高一下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A，B满足A∪B={1,3,5,7,9}，A∩B={1,7}，A={1,5,7}，则集合B中的元素个数为(

)A.3 B.4 C.5 D.62.复数z=1+2i31−i(i为虚数单位A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(9,m2)，b=(−1,1)，则“m=−3”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′/​/B′C′，O′A′ =2B′C′=4，A′B′=2，则该平面图形的高为(

)

A.2 B.2 C.225.某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为(

)A.15 B.25 C.356.函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心，则A.(23π,76π) B.[7.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1A.30∘ B.45∘ C.60∘8.已知△ABC中，AO=λAB+(1−λ)AC，且O为△ABC的外心.若BA在BC上的投影向量为μBC，且cos∠AOC∈[A.[15,310] B.[二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中，有10位评委对每位选手进行评分(评分互不相同)，将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列选项正确的是(

)A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小

C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大10.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为22，则(

)A.圆台的母线与底面所成的角为45∘

B.圆台的侧面积为82π

C.圆台的体积为1411.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论错误的是(

)

A.这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形

B.若BB′=3，sin∠ABB′=5314，则A′B′=2

C.若AB=2A′B′，则AB′=10BB′

D.若A′是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为

．13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=4，则过点14.人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则其曼哈顿距离为d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值;(2)估计样本中指标数据的70%分位数．16.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcosC+ccosB)tanB=2asinB.

(1)求B;

(2)若b=217.(本小题12分)某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分.甲答对每道题的概率为12，乙答对每道题的概率为p(0<p<1)，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响.已知第一题至少一人答对的概率为5(1)求p的值;(2)求甲、乙得分之和为30分的概率．18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=(1)求证：MN/​/平面ABCD;(2)求证：CD⊥平面PBD;(3)若直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为33，求二面角B−PC−D19.(本小题12分)已知函数f(x)满足f(x)=13f(x+3)+n，且f(1)=2，当x∈[3,6]时，(1)求实数n的值;(2)当x∈[0,3)时，求f(x)的解析式;(3)设ℎ(x)=2sinx+λcos2x，是否存在实数λ，使不等式f[ℎ(x)]>g[ℎ(x)]在x∈[0,π2]时恒成立?参考答案1.B

2.D

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.B

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.60

13.614.72515.解：(1)由图可知，5×(0.02+m+0.05+0.08+0.02)=1，

解得m=0.03．

(2)由频率分布直方图可知，数据小于25的指标数据所占比例为10%+15%+25%=50%，，

数据小于30的指标数据所占比例为10%+15%+25%+40% = 90%，

所以70%分位数一定在[25,30)内，由25+0.70−0.500.08=27.5，

所以估计样本中指标数据的70%分位数为16.解：(1)由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)⋅sinBcosB=2sinAsinB，

即sin(B+C)⋅sinBcosB=2sinAsinB，sinAsinBcosB=2sinAsinB，

17.解：(1)设A=“甲答对第一题”，B=“乙答对第一题”，则P(A)=12，P(B)=p，

因为A与B相互独立，所以A与B相互独立．

由于事件“第一题至少一人答对”的对立事件是“第一题甲、乙都答错”，

根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为1−P(AB)=1−(1−12)(1−p)=12+12p，

由题意可知，12+12p=56，解得p=23．

(2)设A1表示甲答对1道题目，A2表示甲答对2道题目;B1表示乙答对1道题目，B2表示乙答对2道题目，则P(A1)=12×(1−1218.解：(1)证明：法一：连接AC，

在△ACP中，因为M、N为对应边上的中点，

所以MN为中位线，MN//AC，

又MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴MN/​/平面ABCD；

法二：设AB中点为S，BC中点为T，连接SM、ST、TN，

在△ABP中，因为S、M为对应边上的中点，

所以SM为中位线，SM//BP且SM=12BP，

同理，在△CBP中，TN//BP且TN=12BP，

∴TN//SM且TN=SM，

∴四边形TNMS为平行四边形，

∴MN//ST，

又MN⊄平面ABCD，ST⊂平面ABCD，

∴MN/​/平面ABCD；

(2)在四边形ABCD中，AD/​/BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，

所以△ABD，△BCD都为等腰直角三角形，即CD⊥DB，

又因为平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，平面PBC∩平面ABCD=BC，

所以直线PB⊥平面ABCD，

又CD⊂平面ABCD，

所以PB⊥CD，

又PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，

所以CD⊥平面PBD．

(3)∵直线PD与底面ABCD所成角的余弦值为33，且PB⊥平面ABCD，

∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDB，

又BC=2，

则AB=1，CD=BD=2，

∴在Rt△PBD中，cos∠PDB=BDPD=33，

∴PD=6，PB=2，

设BC的中点为E，连接DE，过点E作PC的垂线交PC于F，连接DF，

由(1)知，DE⊥CB，DE⊥PB，且PB、BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，

则DE⊥平面PBC，

∵PC⊂平面PBC，

∴DE⊥PC，

∵DE、EF⊂平面DEF，

∴PC⊥平面DEF，

∵DF⊂平面DEF，

∴PC⊥DF，

又PC⊥EF，

则∠DFE是二面角B−PC−D的平面角，

∵DE=AB=1，EF⊥CF，∠PBC=19.解：(1)当x=1时，x+3=4，故f(1)=13f(4)+n，

因为x∈[3,6]时，f(x)=3x2−15x+30，所以f(4)=18，

因为f(1)=2，所以2=13×18+n，解得n=−4．

(2)当x∈[0,3)时，x+3∈[3,6)，

则f(x+3)=3(x+3)2−15(x+3)+30=3x2+3x+12，

又f(x)=13f(x+3)−4，

故f(x)=13f(x+3)−4=13(3x2+3x+12)−4=x2+x，

所以当x∈[0,3)时，f(x)=x2+x．

(3)由2+74x−1>0，即2×4x+54x−1>0⇒4x−1>0⇒x>0，

所以g(x)=log2(2+74x−1)的定义域为(0,+∞)，

故ℎ(x)=2sinx+λcos2x>0在x∈[0,π2]时恒成立

即ℎ(x)=2sinx+λcos2x=−2λsin2x+2sinx+λ>0在x∈[0,