2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁三中高一（下）月考数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合为(

)

A.⌀ B.{1,2} C.{3,4} D.{5,6}2.复数z满足z(2−i)=i(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，则这个三角形一定是(

)A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N分别为棱AB，ABA.90°

B.60°

C.45°

D.30°

5.中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为(

)A.310 B.12 C.156.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器ABC−A1B1C1，现往内灌进一些水，设水深为ℎ.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为△A1BA.3 B.4 C.42 7.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且对∀λ∈R，|bA.−2 B.−1 C.1 D.28.如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点.若AB=2，PA=3，记直线PB与平面PAC所成的角为α，∠ABC=β，则sinαsinβ的最大值为(

)A.74

B.75

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b，c是三个非零向量，则下列命题正确的有(

)A.(a⋅b)c=(c⋅a)b

10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有(

)A.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

B.若m⊥α，m/​/n，n/​/β，则α⊥β

C.若α/​/β，m⊂α，n⊥β，则m⊥n

D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，侧面AA1A.直三棱柱的侧面积是4+23

B.直三棱柱的外接球表面积是4π

C.三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(−1,λ)，若(a+b)⊥13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是______．14.在平面四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=2，则四边形ABCD的面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求证：PB/​/平面AEC．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,−π2≤φ≤π2)的图象关于直线x=π2对称，且图象上相邻2个最高点的距离为π．

(1)求17.(本小题15分)

本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试(满分100)，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示频率分布直方图．

(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；

(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[60,70)的概率．18.(本小题17分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c−2b)cosA+acosC=0．

(1)求角A的大小；

(2)若a=4，b+c=8，求△ABC的面积；

(3)若角C为钝角，直接写出cb的取值范围．19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|=2，|BC|=|CD|=1，AB/​/CD，∠ABC=90°，∠APB=90°，|PA|=|PB|．

(1)求点D到平面PAC的距离；

(2)求二面角A−BD−P的正切值．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.−3

13.2314.7

15.证明：(Ⅰ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，

可证得：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ)设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，

所以O为BD的中点，E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，

所以OE/​/PB，

又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

可证得：PB/​/平面AEC．

16.解：(1)由函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象上相邻2个最高点的距离为π，

可得函数的周期为2πω=π，求得ω=2．

再根据f(x)的图象关于直线x=π2对称，可得2×π2+φ=kπ+π2，k∈Z，

再结合−π2≤φ≤π2，可得17.解：(1)由频率直方图得(a+0.02+0.035+0.025+a)×10=1，则a=0.01，

所以高二数学成绩的平均数为95×0.1+85×0.25+75×0.35+65×0.2+55×0.1=75.5，

前3组的频率和为0.1+0.2+0.35=0.65，所以85%分位数为0.85−0.650.25×10+80=88．

故高二数学平均成绩为75.5，85%分位数为88．

(2)分层抽样6人中，[50,60)的有6×0.10.1+0.2=2人，记为1，2.[60,70)的有6−2=4人，记为3，4，5，6，

从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，

其中2人分数都在[60,70)的有34，35，36，45，46，56共6种，

所以从6人中任取2人，分数都在18.解：(1)由(c−2b)cosA+acosC=0及正弦定理得：

(sinC−2sinB)cosA+sinAcosC=0，

因为sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，

则有sinB(1−2cosA)=0，又0<B<π，sinB>0，

则cosA=12，又0<A<π，故A=π3；

(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，又a=4，A=π3，

代入得b2+c2−bc=16，由b+c=8，

可得(b+c)2−3bc=16，即bc=16，

故△ABC的面积S=12bcsinA=12×16×32=4319.解：(1)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且∠ABC=90°，即BC⊥AB，BC⊂面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，而AP⊂平面PAB，

∴BC⊥AP，

又∠APB=90°，所以AP⊥BP，又BC∩BP=B，BC，BP⊂平面PBC，

∴PA⊥平面PBC，BP，PC⊂面PBC，

即AP⊥BP，AP⊥PC，

由BP⊂面PAB，则BC⊥BP，

又|PA|=|PB|，|AB|=2，|BC|=|CD|=1，

∴|PA|=|PB|=2，|PC|=|PB|2+|BC|2=3，

则PC2+AP2=AB2+BC2=AC2，故PC⊥AP，

∴S△APC=12|AP|⋅|PC|=62,S△ADC=12|DC|⋅|BC|=12，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴点P到平面ABCD的距离即为点P到直