线性代数与概率统计 课件 3.1数学期望3.2方差

第三章随机变量的数字特征主讲教师：王佳新数学期望第一节一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三数学期望的性质离散型随机变量的数学期望一年龄X1819202122人数16841解平均年龄可以反映某一人群的代表性年龄水平，对我校某专业20名学生年龄(X)进行统计，数据如下表所示。求其平均年龄？引例忽略了人数的比重20x

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1

19.920 20 20 20 20

18

1

19

6

20

8

21

4

22

1年龄X1819202122人数6841nx

xk

pk

k

1数学期望离散型随机变量的数学期望一定义1设离散型随机变量X的分布律为若级数绝对收敛，的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)

.则称级数即Notea)随机变量的期望由其分布唯一确定。b)数学期望刻画了随机变量取值的“平均数”。X ~

b(1,

p),

求E(

X

).（0-1）分布例1解因X的分布律为故X的数学期望为

0

(1

p)

1

p

pE(

X

)

xk

pkk

01Note服从（0-1）分布的随机变量的期望为p。设X ~

(

)，求E(

X

).泊松分布例2解X的分布律为(k

0,1,2,

,

0)k!

k

e

P{X

k}

则X的数学期望为

e

e

e

k

1

k

e

k

0 k

0k

1(k

1)!k!E(

X

)

xk

pk

kNote服从泊松分布的随机变量的期望为λ。连续型随机变量的数学期望二定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量

X的数学期望，记为E(X)，即设X ~

U

(a,b)，求E(

X

).均匀分布例3解X的概率密度为0,其他X的数学期望为即数学期望位于区间（a,b）的中心。Note服从均匀分布的随机变量的期望即为区间中点。则

xde1

1

0000

0

e dx

e dxx

e

dxxf

(x)dx

E(

X

)

x

x

x

e

x

x

x设X ~

E(

)

(

0),

求E(

X

).指数分布例4解由题知，X

的概率密度为x

0x

0f(x)=0，

e

xNote服从指数分布的随机变量的期望为参数λ则

t

e

1

2

2111edx2

2e 2

dt2

e 2

dt2

2

(

x

)2

t

2

t

2

t

2

E(

X

)

xf(x)dx

x

(

t

)

dt

0

x

记t=设X ~

N

(

,

2

)

(

0),

求E(

X

).

正态分布例5解由题知，X的概率密度为1e2

22

(

x

)2,

x

Rf(x)=Note正态分布的第1个参数即其期望.数学期望的性质三设C是常数，则有E(C)=C1设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)2设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)3E(XY)=E(X)E(Y)设X,Y是相互独立的随机变量，则有4小结四数学期望是一个实数，而非变量，它是一种加权平均，不同一般的平均值，它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。11数学期望的性质E(CX)=CE(X)E(C)=CE(X+Y)=E(X)+E(Y)X和Y相互独立→E(XY)=E(X)E(Y)1234方差第二节引例有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别记为X1

和

X2，其分布律如下（单位：s）：X1

2

1012pk0.030.070.80.070.03X

2

2

1012pk0.10.20.40.20.15k

1E(X1)

xkpk

2

0.03

(

1)

0.07

0

0.8

1

0.07

2

0.03

0

2

0.1

(

1)

0.2

0

0.4

1

0.2

2

0.1

0k

1E(X2)

xkpk5一、方差的定义则此例表明，E(X1)=E(X2)，从期望无法判断二者的优劣.A此时需引进新的随机变量[X-E(X)]2，记D(X)=E[X-E(X)]2则有D(X1)<D(X2)，故甲品牌的手表要优于乙.BNote:定义设X是一个随机变量，

存在，记为D(X)或VarD(X)，即称为标准差或均方差。Note:方差实际上是随机变量X函数的期望.A方差反映了随机变量取值的分散程度.B一、方差的定义1、利用定义计算二、方差的计算对于离散型随机变量1对于连续型随机变量22、利用公式计算X的分布律为

P{X

0}

1

p,

P{X

1}

p.E(

X

)

p.又

E(

X

2

)

02

(1

p)

12

p

p,则

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

p

p2

p(1

p).且设随机变量X~

b(1,

p)分布,

求D(

X

).0-1分布例1解Note：泊松分布的随机变量的期望与方差相同.E(

X

2

)

E[

X

(

X

1)

X

]

E[

X

(

X

1)]

E(

X

)故=

2

且

E(

X

)

.又D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

.设X~

(

)(

0)，

求D(

X

).泊松分布例2解,

k

0,1,2,

,

0.k!

k

e

P{X

k}

a

b

.2且

E(

X

)又

E(

X

)

x

ab

a1dx

1

(a2

ab

b2

)2 b 23.12)222(aa

b

(b

a)2ab

b )

(2

13故

D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2设X~

U

(a,

b)，求D(

X

)..均匀分布例3解1, a

x

b,0,

其他.f

(x)

b

aX的概率密度为则

E(

X

)

1

，且02

2

dx

x

eE(

X )

x222

1 1

.

2

2

2D(

X

)

E(

X

2

)

[E(

X

)]2

故设X~

E(

)(

0)，求D(

X

).指数分布例4解f(x)

e

x

,

x

0,0,

其他.X的概率密度为且

E(

X

)

，故2

D(

X

)

x

f(x)dx

2

Note：正态分布的两个参数分别为其期望和方差．设X~

N

(

,

2

)

(

0),

求D(

X

)