第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O­ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示为eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（

）A．，，两两不共线，但两两共面B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得C．，，能构成空间另一个基底D．若，则实数，，全为零变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（

）A． B．C． D．变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（

）A． B．C． D．变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示）变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（

）A．1 B． C． D．变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B． C． D．－1变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______．变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（

）A．2 B． C． D．例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（

）A． B． C． D．变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（

）A．B．C．D．变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．(1)试证：与，共面；(2)，，，试用基底{，，}表示向量．变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且平面ABC，则实数________．变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.(1)用，，表示；(2)计算.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中，，，两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（

）A． B．C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.(1)用表示，并求的长；(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（

）A．B．C．直线AC与直线是相交直线D．与AC所成角的余弦值为考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（

）A． B．2 C． D．变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.(1)将空间向量与用表示出来；(2)求线段BM的长.变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设（1）以为基底表示，则＝________；（2）若且则________.变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.一、单选题1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（

）A． B． C． D．12．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（

）A．若，则B．两两共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能构成空间的一个基底5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．7．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．8．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A．