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文档简介

6.3线性方程组1.非齐次线性方程组设有线性方程组为记方程组写成矩阵形式是AX=

B

对应的齐次线性方程组为AX=0下面讨论求解线性方程组的三个问题：（1）方程组在什么条件下有解？（2）有解时有多少解？（3）如何求出方程组的全部解？如果方程组用它的增广矩阵[A|B]表示，那么，对方程组实施加减消元也就相当于对增广矩阵[A|B]实施初等变换.因此，类似于过去的“分离系数法”，我们就可以把线性方程组的求解或解的情况的判定过程用矩阵的形式表示出来.例6.3.1

求解线性方程组解对方程组的增广矩阵[A|

B]施行行初等变换：由矩阵[C|D]可知，R（A）=R（A|B）=3=n，将阶梯形矩阵B化成行简化矩阵（即矩阵的每一行的第一个非零元素为1，它所在列的其他元素全为0）矩阵[E|F]所对应的方程组的解为：例6.3.2

求解线性方程组解对方程组的增广矩阵[A|

B]施行行初等变换：与[C|D]对应的方程组为：得方程组的解为：其中为自由未知量，可取任意值。由此例可知，当R(A)=R(A|B)时，线性方程组（6.3.1）有无穷多解。例6.3.３求解线性方程组解对方程组的增广矩阵[A|

B]施行行初等变换：由矩阵[C|D]可知，R（A）=3R（A|B）=4，阶梯形矩阵[C|D]的第四行所对应的方程是矛盾方程，故方程组无解。由此例可知，当R（A）R（A|B）时，线性方程组无解。归纳以上三个例子的结论，可以得出n元非齐次线性方程组解的情况分为三种：（1）当R(A|B)=R(A)=n

时，方程组有唯一解；（2）当R(A|B)=R(A)<n

时，方程组有无穷多个解；（3）当R(A|B)R(A时，方程组无解。一般地，求解线性方程组可以按以下步骤进行：（1）对增广矩阵[A|B]施行行初等变换化成阶梯形矩阵，根据R(A|B)与R(A)是否相等来判断线性方程组是否有解；（2）如果有解，用初等行变换将阶梯形矩阵进一步简化为和简化矩阵，写出线性方程组的解。2.齐次线性方程组对于齐次线性方程组或矩阵形式

AX=O恒有R(A)=R(A|B)，所以方程组一定有解（至少有零解）所以我们关心的是它有没有非零解。

n元齐次线性方程组AX=O存在非零解的充要条件是R(A)<n，例6.3.5求解齐次线性方程组即方程组中方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有非零解。而当AX=O只有零解的充要条件是R(

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