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文档简介
山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列四个图形中是中心对称图形的是()A. B. C. D.解析:解:选项A、B、C中的图形都不能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.选项D中的图形能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.故选:D.2.如图,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱时,只用找到BC的中点D,这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了,工人师傅这种操作方法的依据是()A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一”解析:解:∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”,故选:D.3.交通法规人人遵守,文明城市处处安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标态.则通过该桥洞的车高x(m)的范围在数轴上可表示为()A. B. C. D.解析:解:由题意可得:通过该桥洞的车高x(m)的取值范围是:0<x≤4.5.在数轴上表示如图:.故选:D.4.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,4),B(﹣1,1),C(2,2),如果将△ABC先向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到△A′B′C′,那么点B的对应点B′的坐()A.(﹣4,0) B.(2,0) C.(﹣4,2) D.(2,2)解析:解:∵将△ABC先向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到△A′B′C′,∴点B的对应点B'的坐标是(﹣1﹣3,1+1),即(﹣4,2).故选:C.5.若a<b,则下列不等式一定成立的是()A.a﹣6>b﹣6 B.3a>3b C.﹣2a<﹣2b D.a﹣b<0解析:解:A、已知a<b,根据不等式的基本性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变,所以a﹣6>b﹣6错误;B、不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,所以3a>3b错误;C、不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,所以﹣2a<﹣2b错误;D、a﹣b<0即a<b两边同时减去b,不等号方向不变.不等式一定成立的是a﹣b<0.故选:D.6.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中()A.每一个内角都大于60° B.每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.有一个内角小于60°解析:解:用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.故选:A.7.已知点A(a﹣2,2a+6)在第二象限,则a的取值范围是()A.a<﹣3或a>2 B.﹣3<a<2 C.a<2 D.a>﹣3解析:解:由题意知,,解得﹣3<a<2,故选:B.8.如图,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°,则∠A的度数()A.35° B.75° C.55° D.65°解析:解:根据题意,把△ABC绕C点顺时针旋转35°,得到△A′B′C,由旋转的性质,可得∠ACA′=35,∠A=∠A′,∵∠A′DC=90°,∴∠A′=90°﹣∠ADA′=55°,∴∠A=∠A′=55°.故选:C.9.如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,则a必须满足()A.a<0 B.a≤1 C.a>﹣1 D.a<﹣1解析:解:∵不等式(a+1)x>(a+1)的解为x<1,∴a+1<0,解得:a<﹣1.故选:D.10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为()A. B. C. D.解析:解:作DM⊥AB于M,由题意知AD平分∠BAC,∵DC⊥AC,∴CD=DM,∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC==4,∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积,∴AC•BC=AC•CD+AB•MD,∴4×3=4CD+5CD,∴CD=,∴BD=BC﹣CD=3﹣=.故选:D.二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.如图是环岛行驶的交通标志,表示在环形交叉路口中,车辆按逆时针方向绕行.将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则旋转的角度至少为120°.解析:解:∵360°÷3=120°,∴旋转的角度是120°的整数倍,∴旋转的角度至少是120°.故答案为:120°.12.某校举行“学以致用,数你最行”数学知识抢答赛,共有20道题,规定答对一道题得10分,答错或放弃扣4分,在这次抢答赛中,八年级1班代表队被评为优秀(88分或88分以上),则这个队至少答对12道题.解析:解:设这个队答对了x道题,则答错或放弃(20﹣x)道题,根据题意得:10x﹣4(20﹣x)≥88,解得:x≥12,∴x的最小值为12,即这个队至少答对12道题.故答案为:12.13.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P,连接CP.若∠A=75°,∠ABC=62°,则∠ACP的度数为12°.解析:解:∵BP是∠ABC的平分线,∠ABC=62°,∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=31°,∵P是线段BC的垂直平分线上一点,∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,∴∠ABP=∠CBP=∠PCB=31°,∵∠A=75°,∠ABC=62°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ACB=43°,∴∠ACP=∠ACB﹣∠PCB=12°,故答案为:12.14.若不等式组的解集是x>3,则m的取值范围是m≤3.解析:解:,解①得x>3,∵不等式组的解集为x>3,∴m≤3.故答案为m≤3.15.如图,已知在四边形ABCD中,AD∥BC,AM平分∠BAD交BC于点M,BE⊥AM于点E,EF⊥AD于点F,AB=7,EF=3,则△ABM的面积为21.解析:解:过E作EG⊥AB于G,如图:∵AM平分∠BAD,∴EG=EF=3,∠DAM=∠BAM,∴S△ABE=×7×3=,∵AD∥BC,∴∠DAM=∠AMB,∴∠BAM=∠AMB,∴AB=BM,∵BE⊥AM,∴BE是△ABM边AM上的中线,∴S△ABM=2S△ABE=2×=21.故答案为:21.16.如图,函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象经过点B(2,0),与函数y=2x的图象交于点A,下列结论:①点A的横坐标为2;②关于x的不等式kx+b<0的解集为x>2;③关于x的方程kx+b=2x的解为x=2;④关于x的不等式组0<kx+b<2x的解集为1<x<2.其中正确的是②④(只填写序号).解析:解:由所给函数图象可知,A点的纵坐标为2,则2x=2,解得x=1,所以点A的横坐标为1.故①错误.因为点B坐标为(2,0),所以当x>2时,函数y=kx+b的图象在x轴下方,即kx+b<0,则不等式kx+b<0的解集为x>2.故②正确.因为函数y=2x和函数y=kx+b交点的横坐标为1,所以方程kx+b=2x的解为x=1.故③错误.由函数图象可知,当x>1时,函数y=kx+b的图象在函数y=2x图象的下方,即kx+b<2x,当x<2时,函数y=kx+b的图象在x轴上方,即kx+b>0,所以关于x的不等式组0<kx+b<2x的解集为1<x<2.故④正确.故答案为:②④.三、作图题(本大题满分4分)用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.17.(4分)已知:如图,四边形ABCD;求作:点P,使点P在四边形ABCD内部,PD=PC,且点P到∠BAD两边的距离相等.解析:解:如图,点P即为所求.四.解答题(本大题共7小题,共68分)18.(20分)计算:(1)解不等式x﹣1≥2x;(2)解不等式,并把解集表示在数轴上;(3)求不等式3(x﹣3)﹣6<2x﹣10的非负整数解;(4)解不等式组:;(5)解不等式组:.解析:解:(1)移项得,x﹣2x≥1,合并同类项得,﹣x≥1,x的系数化为1得,x≤﹣1;(2)去分母得,4+3x≤2(1+2x),去括号得,4+3x≤2+4x,移项得,3x﹣4x≤2﹣4,合并同类项得,﹣x≤﹣2,x的系数化为1得,x≥2,在数轴上表示为:;(3)去括号得,3x﹣9﹣6<2x﹣10,移项得,3x﹣2x<﹣10+9+6,合并同类项得,x<5,故其非负整数解为:0,1,2,3,4;(4),由①得,x≤1,由②得,x<3,故不等式组的解集为:x≤1;(5),由①得,x<,由②得,x≥1.故不等式组的解集为:1≤x<.19.(6分)如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.(1)求证:△ABC是等腰三角形;(2)若∠A=60°,AB=2,求△ABC的高BD.解析:(1)证明:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠ADB=∠AEC=90°,在Rt△CDB和Rt△BEC中,,∴Rt△CDB≌Rt△BEC(HL),∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)解:∵∠A=60°,∠BDA=90°,∴∠ABD=30°,∴AD=AB=1,∴BD===.20.(6分)△ABC的各顶点坐标分别为A(1,4),B(3,4),C(3,1),将△ABC先向下平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到△A1B1C1.(1)如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的,则平移的距离是2个单位长度;(2)在y轴上有点D,则AD+CD的最小值为5个单位长度;(3)作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2.解析:解:(1)∵将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的,∴平移的距离是=2个单位长度;故答案为:2;(2)如图点D为所求,∴AD+CD的最小值为=5个单位长度;故答案为:5;(3)如图,△A2B2C2即为所求.21.(8分)如图,已知△ABC,以AC为边构造等边△ACD,连接BD,在BD上取一点O,使∠AOD=60°,在OD上取一点E,使AO=AE,连接OC.(1)求证:△AOC≌△AED;(2)OA,OB,OC三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等?请说明理由.解析:(1)证明:∵∠AOE=60°,AO=AE,∴△AOE是等边三角形,∴∠OAE=60°,∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD,∠CAD=60°=∠OAE,∴∠OAC=∠EAD,在△OAC和△EAD中,,∴△AOC≌△AED(SAS);(2)解:结论:BD=OA+OB+OC.理由:∵△AOE是等边三角形,∴OA=OE,∵△AOC≌△AED,∴OC=DE,∴BD=OB+OE+ED=OB+OA+OC.22.(9分)两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游,该景区售出的门票分为成人票和儿童票,小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元,小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元.(1)求成人票和儿童票的单价;(2)售票处规定:一次性购票数量达到30张,可购买团体票,即每张票均按成人票价的八折出售.若干个家庭组团到该景区旅游,导游收到通知该团成人和儿童共30人,估计儿童8至16人.导游选择哪种购票方式花费较少?解析:解:(1)设成人票的单价是x元,儿童票的单价是y元,根据题意得:,解得:.答:成人票的单价是100元,儿童票的单价是50元;(2)设该团儿童有m人,则该团成人有(30﹣m)人,购买团体票所需费用为100×0.8×30=2400(元),不购买团体票所需费用为100(30﹣m)+50m=(﹣50m+3000)元,当2400<﹣50m+3000时,m<12,∴当8≤m<12时,购买团体票花费较少;当2400=﹣50m+3000时,m=12,∴当m=12时,两种购票方式花费一样多;当2400>﹣50m+3000时,m>12,∴当12<m≤16时,不购买团体票花费较少.答:当8≤m<12时,购买团体票花费较少;当m=12时,两种购票方式花费一样多;当12<m≤16时,不购买团体票花费较少.23.(9分)【问题情境】如图①,△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线BD,CD交于点D.【建立模型】(1)如图②,过点D作BC的平行线分别交AB,AC于点E,F.请你写出EF与BE,CF的数量关系并证明.(2)如图③,在图①的基础上,过点A作直线l∥BC,延长BD和CD,分别交l于点E,F,若AB=4,AC=3,请你直接写出EF的长度(不需要证明).【类比探究】如图④,△ABC的内角∠ABC的平分线BD,与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D,过点D作BC的平行线分别交AB,AC于点E,F.请你写出EF与BE,CF的数量关系并证明.解析:解:(1)EF=BE+CF,理由如下:如图②,∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,∴∠DBC=∠DBE,∠DCB=∠DCF,∵EF∥BC,∴∠BDE=∠DBC,∠CDF=∠DCB,∴∠DBE=∠BDE,∠CDF=∠DCF,∴BE=DE,CF=DF,∴DE+DF=BE+CF,即EF=BE+CF;(2)EF=7;理由如下:如图③,∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,∴∠EBC=∠ABE,∠FCB=∠ACF,∵EF∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∠FCB=∠AFC,∴∠ABE=∠AEB,∠ACF=∠AFC,∴AE=AB,AF=AC,∵AB=4,AC=3,∴EF=AE+AF=4+3=7;(3)EF=BE﹣CF,理由如下:如图④,∵∠ABC的平分线BD与∠ACG的平分线CD交于点D,∴∠DBC=∠ABD,∠ACD=∠DCG,∵DE∥BC,∴∠DBC=∠BDE,∠CDF=∠DCG,∴∠ABD=∠BDE,∠ACD=∠CDF,∴DE=BE,DF=CF,∵EF=DE﹣DF,∴EF=BE﹣CF.24.(10分)如图,在长方形ABCD中,DC=3cm,AD=6cm,延长BC至点E,使CE=4cm
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